logo
Теоретическипе основы обучения математике

2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему

В пункте 1.5 был рассмотрен план анализа некоторой темы и системы упражнений по данной теме. Но есть пункты учебника, посвящённые изучению некоторого математического действия, например, действия умножения десятичных дробей, действия сравнения чисел с разными знаками. Естественно, анализ такого пункта следует проводить, опираясь не только на предложенную выше схему, но и на типовой проект изучения нового действия.

Прочитайте текст. Если цель изучения данного пункта учебника – формирование умения выполнять предметное действие, то проведите анализ содержания пункта по следующему плану.

План анализа

Результатом проведённого анализа должна стать разработка частных задач изучения темы. Такую работу невозможно сделать качественно без анализа системы упражнений, прилагающейся к данному пункту. После того, как будут решены все упражнения к данному пункту, учитель должен дать ответы на следующие вопросы:

Пример 3. Выполним анализ пункта «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений» и системы упражнений к нему (учебник «Алгебра 7» под редакцией С.А. Теляковского, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова).

Данный пункт посвящён изучению действия «преобразование квадрата двучлена в многочлен». Ориентировочной основой выполнения данного действия служат формулы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, применение которых можно преобразовать в систему указаний: чтобы найти квадрат суммы (разности) двух выражений a и b, нужно: 1) записать квадрат а; 2) поставить знак + (-), если в левой части равенства стоит знак +(-); записать произведение 2ab; 3) поставить знак + ; 4) записать b2; 5) выполнить действия возведения в квадрат и умножения; 6) записать многочлен в стандартном виде.

  1. Для того чтобы выполнить новое действие, необходимо уметь: а) возводить числа и одночлены в квадрат, б) умножать одночлены. Потому на подготовительном этапе следует повторить эти действия.

  2. К мотивации изучения нового действия в тексте можно отнести слова «…В некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения». Очевидно, что для урока необходимо подобрать упражнения, с помощью которых можно заинтересовать учащихся.

  3. Теоретическое обоснование действия проведено путём вывода соответствующих формул. Вводятся термины: «формула квадрата суммы» и «формула квадрата разности».

  4. ООД в тексте представлена в форме перевода соответствующих формул на русский язык. Система указаний, как план выполнения действия, не сформулирована.

  5. В пункте приведены образцы выполнения действия в стандартных ситуациях (примеры 1-3). Причём рассмотренные примеры соответствуют принципу «от простого к сложному». Так в примере 1 двучлен (8х + 3) содержит только одно выражение с переменной. В примере 2 в двучлене (10х – 7y) оба выражения содержат переменные. В примере 3 квадрат двучлена -5а – 4 заменяется квадратом противоположного выражения. В примере 4 новое действие применяется вместе с другими действиями над одночленами и многочленами.

  6. В тексте рассмотрены все ситуации применения нового действия, причём упражнения рассматриваются по нарастанию сложности.

Выполним анализ системы упражнений к данному пункту.

Изучение данной темы рассчитано на несколько уроков, потому система упражнений по теме содержит 38 заданий, в каждом от 2-х до 4-х упражнений. Выделены задания обязательного уровня и задания для домашней работы.

В качестве мотивационных упражнений можно использовать, например, №869 в), г): вычислить 612, 1992.

Упражнения расположены по нарастанию сложности. Специальных методов решения заданий здесь нет, но упражнения составлены таким образом, что применение формул сокращённого умножения осуществляется в различных ситуациях. Особое внимание следует обратить на упражнения № 864, где двучлены представлены в нестандартной ситуации, например, на первом месте стоит член с отрицательным коэффициентом: (– х + 5)2. Здесь же рассматриваются упражнения, в которых двучлен следует заменить противоположным ему двучленом.

Среди упражнений есть такие, которые направлены на применение формул в вычислениях, например, №№ 869-870. Здесь требуется вычислить, например, 7022, 1,0052.

Задания к упражнениям, решение которых одинаково, сформулированы по-разному: представьте в виде многочлена; преобразуйте в многочлен; выполните возведение в квадрат; упростите выражение. Разнообразная формулировка заданий способствует развитию речи учащихся.

Упражнения можно разделить на следующие группы по уровню сложности:

Первая группа. Упражнения на усвоение ООД, на применение формул в стандартных ситуациях: №№ 859-868.

Вторая группа. Упражнения на применение нового действия в практике вычислений: №№ 869-870.

Третья группа. Упражнения, требующие от учащихся умения выполнять действия над дробными числами и над одночленами, например: преобразовать в многочлен выражение (0,2xy+0,5x2y2)2. К этой группе можно отнести №№ 871-873.

Четвёртая группа. Упражнения на применение нового действия в совокупности с другими действиями над многочленами: №№ 875-877, №№ 881-883.

Пятая группа. Упражнения на применение нового действия при решении уравнений и в других нестандартных ситуациях: №№ 879-880, № 887.

Шестая группа упражнений. Это особая группа. Сюда включены задания познавательного характера, а именно такие, выполняя которые учащиеся приобретают новые знания и обучаются новым действиям. К ним относится упражнение № 861, в котором выясняется геометрический смысл формул сокращённого умножения, правда, только для положительных значений членов двучлена a + b и a – b. В упражнении № 866 доказываются свойства квадратов: (a – b)2 = (b – a)2 и (-a – b)2 = = (a + b)2, которые в дальнейшем изучении математики часто используются. В упражнениях № 884 и № 885 выводятся формулы куба суммы и куба разности двух выражений. В тексте пункта эти формулы не рассматриваются.

Седьмая группа. Сюда можно отнести только задание № 874, так как оно включает упражнения на выполнение обратных операций к тем, которые входят в состав изучаемого действия. Например, нужно заменить  одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: ( + 2b)2 = a2 + 4ab + b2 . Такие упражнения выступают в качестве подготовительных для изучения обратного действия: преобразование многочлена в квадрат двучлена.

Система упражнений позволяет учить учащихся правильным рассуждениям, обоснованиям фактов. В процессе выполнения упражнений доказывается ряд свойств квадратов, выводятся новые формулы. В результате изучения темы учащиеся должны научиться заменять квадрат двучлена многочленом стандартного вида в стандартных и нестандартных ситуациях. В качестве учебных действий, которые можно формировать у школьников, можно отметить обучение планированию деятельности, составлению системы ориентиров, наглядное представление ООД в виде схемы (см. пункт 2.2 данного пособия).

В итоге можно сделать вывод, что система упражнений составлена с учётом всех требований. Она направлена на формирование всех действий, необходимых для работы с многочленами. Особенностью данной системы упражнений является значительное число упражнений познавательного характера.