2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.

Пусть дано утверждение (х) (А(х)  В(х)). Иначе его можно записать А(х)  В(х). Нужно доказать его истинность.

Прямое доказательство. Выбирается произвольный элемент х из множества М. При условии, что А(х) истинно, доказывается, что В(х) истинно.

Краткая запись теоремы.

Дано: х  ; А (х).

Доказать: В (х).

В начале доказательства выбирается произвольный элемент х₀ так, что А (х₀) – истинное высказывание. Доказывается, что В (х₀) истинно.

Метод от противного. Он основан на равносильности высказываний: (АВ) и ((А )Л). Здесь буквой Л обозначается ложное высказывание. Суть метода от противного излагается в учебнике геометрии для 7-го класса. Но с рассуждениями, аналогичными тем, которые проводятся при доказательстве методом от противного, учащиеся встречались и ранее.

Пример 3. При изучении простых чисел в пятом классе ученица рассуждала: «12 – число не простое, так как если бы оно было простым, то имело бы только 2 делителя, а число 12 делится и на 1, и на 2, и на 4, и на 6. Значит, число 12 не будет простым».

В данном рассуждении не хватает лишь фразы: «Пришли к противоречию с определением простого числа».

Метод от противного целесообразно применять для доказательства утверждений в том случае, когда нужно доказать, что какое-то условие не выполняется.

Например, этот метод часто применяется в школьных теоремах, когда требуется доказать параллельность прямых или плоскостей. Доказать, что две прямые параллельны, означает, показать, что они не имеют общих точек или не лежат в одной плоскости. Предполагая противное, получим, что у рассматриваемых объектов есть общая точка, а значит, будет предмет для дальнейших рассуждений.