2) Подготовительный этап.

Перед изучением новой теоремы необходимо убедиться, что учащиеся владеют знаниями и умениями, которые нужны для успешного изучения данной теоремы. Для этого предварительно можно задать на дом повторить нужный материал, а в классе организовать проверку, причём таким образом, чтобы в итоге можно было осуществить переход к новой теореме. Полезно подготовить вспомогательные упражнения, решение которых снимет трудности в понимании смысла теоремы или отдельных моментов доказательства.

Мотивация изучения теоремы проводится различными средствами. Перечислим некоторые из них, на наш взгляд, наиболее эффективные.

1. Обращение к жизненному опыту учащихся.

2. Использование элементов историзма: рассказ о математике, который имел отношение к доказательству теоремы; история открытия данного факта; история развития данной теории в математике.

3. Постановка проблемы, которая затем будет решена в процессе рассмотрения новой теоремы.

4. Решение проблемной задачи.

5. Использование наглядных пособий (моделей многогранников, таблиц, электронных презентаций).

6. Выполнение лабораторных и практических работ.

Рассмотрим примеры организации подготовительного этапа работы над теоремой.

Пример 1. Рассмотрим начало работы над теоремой, которая называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в плоскости, перпендикулярна каждой их двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Перед изучением теоремы полезно повторить определение, выяснить, какими фактами можно воспользоваться для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости. При этом ответ должен быть следующим: чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, нужно выбрать на плоскости произвольную прямую и доказать, что она перпендикулярна данной прямой. Очевидно, использовать определение на практике неудобно. Как же поступали в этих случаях при изучении других определений? После определения в таких случаях рассматривали новый, отличный от определяющего, признак нового понятия.

Подобные рассуждения заканчиваются постановкой проблемы – отыскать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Решению проблемы поможет пример с новогодней ёлкой: за счёт чего ёлка держится вертикально относительно плоскости пола? Учащиеся, как правило, отвечают: за счёт подставки. В конечном счете, они приходят к выводу, что достаточно крестовины, чтобы ёлка стояла вертикально. Делая соответствующие обобщения, переходя на язык математики, ученики самостоятельно формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Эти нехитрые рассуждения не только оживляют начало работы над теоремой, но и в некоторой степени служат примером использования метода научного познания. Тем самым они способствуют формированию научного мировоззрения учащихся. После подобного примера эффективно проходит работа над структурой теоремы, в частности несложно доказать ученикам, что прямые в плоскости должны быть пересекающимися, а слова «прямая, не лежащая в плоскости» можно и опустить, так как не существует в плоскости прямой, которая была бы перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в той же плоскости.

Пример 2. Перед доказательством теоремы Пифагора принято рассказывать учащимся о Пифагоре и его заслугах, сообщать о том, что существует около сотни доказательств этой теоремы. Всё это, несомненно, вызывает непроизвольный интерес учащихся. Однако более ценным для их развития будет обсуждение проблемы, которая приведёт к доказательству теоремы Пифагора.

Изучение любого многоугольника, в частности треугольника, сводится, прежде всего, к выявлению соотношений между его элементами. При рассмотрении прямоугольного треугольника также математиков интересует, как связаны между собою его углы и стороны. После подобного вступления повторяются уже известные к этому времени соотношения. Выясняется, какие соотношения ещё не выявлены. Таким образом, учащиеся сами могут сформулировать проблему, которая должна быть решена: отыскание связи между сторонами прямоугольного треугольника. После этого можно привести исторические сведения о Пифагоре и теореме. Гипотеза по поводу решения проблемы может быть осуществлена после небольшого исследования. Учащиеся строят прямоугольный треугольник и, измерив стороны, сравнивают квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Постановка проблемы даже тогда даёт положительный мотивационный эффект, когда её формулирует сам учитель. Постановка проблемы позволяет расширить представления учащихся о том, как устроена математика.

Пример 3. В методической литературе часто о проблемной задаче пишут как о задаче, при решении которой учащиеся встретились с затруднением. И это затруднение связано с недостатком имеющихся знаний. Наблюдения за работой учащихся на уроках показывают, что сами они, как правило, причину затруднения определить не могут. Потому к отбору проблемных задач нужно подходить с позиции разрешаемой в данной теореме проблемы. Например, в качестве проблемной задачи при изучении теоремы, обратной к теореме Пифагора, можно рассмотреть исторический факт из истории вавилонян: как использовали вавилоняне верёвку с узлами для построения прямого угла (рассказ об этом есть на страницах учебника геометрии). Очевидно, решить эту задачу вслед за вавилонянами учащиеся могут, если учитель приготовит соответствующее наглядное «пособие» – верёвку с узлами. После «эксперимента» ученики, как правило, находят правильное решение. Непроизвольный интерес на этом уроке обеспечен. Но учитель должен позаботиться о том, чтобы после экспериментирования была правильно сформулирована проблема, которую решили учащиеся. Решению задачи помогло отыскание правильного соотношения между сторонами и углами в построенном прямоугольном треугольнике. Учитель может подсказать, какое это соотношение: 3² + 4² = 5². Такой подход к мотивации теоремы даёт ещё и возможность рассказать о неполной индукции и дедуктивных методах рассуждений. Для учащихся 8-9-го класса, где изучается теорема Пифагора и теорема, обратная к ней, обсуждение подобных вопросов вполне доступно.

Пример 4. Наглядный образ математического объекта помогает установить его свойства, сформулировать нужные теоремы. Например, изучая модель куба, можно вместе с учениками сформулировать свойства параллельных плоскостей: прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью являются параллельными; отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

Рассматривая графики функций можно сформулировать теоремы о связи производной со свойствами функции.

Самостоятельное открытие новых фактов учащимися создаёт ситуацию успеха, а, следовательно, оказывает положительное воздействие на мотивацию деятельности учащихся, направленной на изучение теоремы и её доказательства.

Пример 5. Изучение теоремы о сумме углов треугольника многие учителя начинают с небольшой лабораторной работы: каждому учащемуся предлагается построить треугольник, измерить транспортиром его углы и сложить их величины. Либо у бумажной модели треугольника оторвать уголки и сложить из них развёрнутый угол. Затем на основе результатов «эксперимента» выдвигается гипотеза сумме углов произвольного треугольника.

Пример 6. При изучении темы «Призма» (11-й класс) учащимся может быть дано следующее задание: изучить свойства боковых граней призмы (1-й ряд); изучить свойства боковых рёбер (2-й ряд); изучить свойства двугранных углов призмы (3-й ряд). После непродолжительной работы с моделями призмы формулируются свойства. Ребята с первого ряда отметили следующие свойства: боковые грани призмы являются параллелограммами; если боковые грани проходят через параллельные стороны основания, то они параллельны. Ребята со второго ряда заметили, что боковые рёбра призмы параллельны и равны. Третий ряд предположил, что двугранные углы при параллельных гранях пирамиды в сумме составляют 180⁰; двугранные углы при параллельных рёбрах верхнего и нижнего основания либо равны, (когда рёбра принадлежат одной грани), либо в сумме составляют 180⁰, (когда рёбра принадлежат разным граням). После этого каждый ряд должен «защитить» свои гипотезы, то есть доказать предложенные утверждения.