logo
Теоретическипе основы обучения математике

1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.

Пример 1. Рассмотрим доказательство теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».

Краткая запись теоремы:

Д ано: АВСD – прямоугольник, ВD и АС – его диагонали.

Доказать: ВD = АС.

Доказательство.

1

Рис.4.

)  А =  D, так как в прямоугольнике все углы равны. 2) АВ = СD, так как в прямоугольнике противоположные стороны равны.

3)

(∆ АВС = ∆ СDА) (по первому признаку

равенства треугольников).

4) ВD = АС, так как BD и AC лежат в равных треугольниках против равных углов (по следствию из определения равных треугольников). Что и требовалось доказать.

Нетрудно заметить, что каждый пункт доказательства представляет собою дедуктивное рассуждение, но в некоторых из них пропущены частные посылки, в других не названы общие. Отличается и форма записи дедуктивных рассуждений. Представим доказательство в развёрнутом виде, указав частные, общие посылки и вывод в каждом рассуждении.

№

Общие посылки

Частные посылки

Заключение

1

В прямоугольнике все углы прямые (следствие из определения)

А и D – углы прямоугольника

А=D

2

В прямоугольнике противоположные стороны равны (теорема)

АВ и СD – стороны прямоугольника

АВ = СD

3

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (теорема)

АD – общая сторона;

АВ = СD;

А = D

∆АВС =

=∆СDА

4

Против равных углов в равных треугольниках лежат равные стороны (следствие из определения равных треугольников)

ВD и АС лежат в равных треугольниках против равных углов

ВD = АС

Рассмотренный пример подтверждает следующий вывод: доказательство теоремы – это цепочка логически связанных дедуктивных рассуждений, среди частных посылок которых содержатся все условия теоремы, общими посылками являются аксиомы, определения и известные факты, а последний вывод совпадает с заключением теоремы.