3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.

Формирование умения изучать математический объект, открывать его свойства и признаки можно осуществить с использованием исследовательского подхода. При этом можно спроектировать познавательную деятельность учащихся таким образом, чтобы воспроизвести (с некоторой долей достоверности!) деятельность учёного-математика, направленную на изучение нового объекта и построение теории понятия.

При исследовательском подходе совместная деятельность учителя и учащихся проходит по следующим этапам:

• определение цели деятельности;

• эмпирическое изучение нового математического объекта;

• формулирование гипотез относительно его свойств как результат предыдущего этапа (получение совокупности суждений, в которых отражены свойства нового объекта);

• начало построения теории понятия: введение термина, выбор определяющего признака, формулировка определения нового объекта;

• начало систематизации суждений: формулирование утверждений о свойствах объекта и проверка их истинности путём дедуктивных доказательств;

• поиск признаков исследуемого объекта (доказательство обратных утверждений);

• систематизация суждений о новом объекте: уточнение логических связей между суждениями; логическое упорядочение содержания нового понятия;

• обучение применению нового понятия в деятельности: решение опорных задач; выделение общих приёмов деятельности, способствующих применению понятия (например, отыскание эвристик);

• применение понятия в нестандартных ситуациях.

Пример 3. Рассмотрим данный подход на примере изучения понятия «параллелограмм».

У чащимся предлагается изучить соотношения между сторонами и углами представленного на рис.15 четырёхугольника c попарно параллельными сторонами. При этом термин «параллелограмм» пока не вводится. В результате наблюдений ученики могут высказать следующие суждения.

В четырёхугольнике ABCD:

1) AB||CD и BC||AD.

2) AB||CD и AB =CD.

3) BC||AD и BC = AD.

4) Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

5) ∆ ABD = ∆ BDC и AB || CD.

6) Противоположные углы четырёхугольника равны.

7) Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, попарно равны.

Возможно, учащиеся выскажут и некоторые другие суждения.

Учитель проводит следующую беседу: «В математике ничего не принимается «на веру». Наши наблюдения, даже если они справедливы, должны быть обоснованы. Поскольку мы изучали определённый математический объект – четырёхугольник определённой формы, то желательно его как-то назвать. В математике такой четырёхугольник называется параллелограммом. Для того, чтобы проверить справедливость высказанных суждений, необходимо одно из них принять за основу построения новой теории. Такой основой служит определение нового объекта. Определение выбирает тот учёный, который первым выстраивает теорию. В качестве определяющего выбирается такой признак объекта, по которому нетрудно его распознать среди других четырёхугольников. Судя по названию, параллелограммом следует назвать четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Выполним краткую запись определения:

Четырёхугольник – параллелограмм противоположные стороны четырёхугольника параллельны.

После этого формулируются утверждения о свойствах параллелограмма – соответствующие теоремы. Предпринимаются попытки их доказать».

Учащиеся с помощью учителя формулируют теоремы:

• Если четырёхугольник – параллелограмм, то его противоположные стороны равны.

• Если четырёхугольник – параллелограмм, то диагонали точкой пересечения делятся пополам. И т.д.

Доказательство этих теорем можно организовать в форме групповой самостоятельной работы или обычным способом. Если учитель на предыдущих уроках провёл необходимую подготовительную работу к доказательству свойств параллелограмма, то ребята самостоятельно справляются с ними. Итогом данной работы должно стать составление логической схемы для содержания понятия «параллелограмм». С помощью схемы выясняются связи между отдельными суждениями, например. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то диагонали его точкой пересечения делятся пополам. При этом не следует жалеть времени на выяснение роли свойств в учебно-познавательной деятельности: в процессе решения задач, при доказательстве теорем. После изучения свойств учитель обучает учащихся их применению. После доказательства свойств (на следующем уроке) учитель сообщает учащимся, что дальше математики, как правило, формулируют обратные утверждения к доказанным теоремам и пытаются их доказать. Здесь важно донести до учащихся содержательный смысл обратных утверждений, а именно, что на самом деле мы проверяем, можно ли использовать выделенные ранее суждения о параллелограмме 1-7 в качестве его признаков, то есть проверяется возможность их использования для распознавания параллелограмма среди других четырёхугольников. После доказательства каждой теоремы вносятся соответствующие изменения в логическую схему понятия «параллелограмм». Понятие «параллелограмм» изучается в 8-м классе. Но подобную работу в курсе геометрии можно начать уже с семиклассниками при изучении равнобедренного треугольника. Вообще исследовательский подход к изучению понятий эффективен тогда, когда математический объект имеет наглядный образ, понятие «богато» свойствами и признаками. К таким понятиям можно отнести геометрические понятия: равнобедренный треугольник, ромб, квадрат, равнобедренная трапеция и др.