3) Недедуктивные рассуждения.

Кроме дедуктивных рассуждений в обучении математике достаточно широко используются недедуктивные рассуждения. К ним относится, например, неполная индукция.

Неполная индукция – это метод рассуждений, в результате которого на основании того, что некоторые объекты данной совокупности обладают некоторым свойством, делается вывод, что все объекты имеют это свойство. Неполная индукция не является дедуктивным рассуждением, так как из истинных посылок можно получить ложный вывод.

Пример 3. Рассмотрим многочлен n² + n + 41. Если n равно 1, 2, 3, 4, 5, 6, то многочлен принимает значения, которые являются простыми числами: 43, 47, 53, 71, 83. В результате такой проверки нередко делается вывод, что значения данного многочлена при любых натуральных значениях n являются простыми числами. Хотя посылки, из которых этот вывод следует, являются истинными, вывод является ложным: при n = 41 получится составное число.

Рассуждения, проведённые методом неполной индукции могут быть правильными, а могут быть и неверными.

Несмотря на то, что неполная индукция может привести к ложным выводам, этот метод рассуждений имеет большое значение в обучении математике.

Во-первых, неполную индукцию применяют вместо метода математической индукции, который является дедуктивным методом рассуждений, но учащиеся с ним не знакомы. Например, в курсе алгебры 9-го класса неполная индукция применяется при выводе формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Во-вторых, неполная индукция широко используется для иллюстрации истинности свойств алгебраических операций: коммутативности, ассоциативности сложения и умножения чисел; дистрибутивности умножения относительно сложения; свойства нуля и единицы и др.

В-третьих, чаще всего, выводы, которые получаются при проведении рассуждений методом неполной индукции, носят характер гипотезы, которую нужно либо доказать, либо опровергнуть. Доказательством считается лишь проведение дедуктивных рассуждений.

Таким образом, индукция и дедукция в обучении математике тесно связаны.

Наряду с рассуждениями методом неполной индукции в математике применяется метод полной индукции.

Полная индукция – это метод рассуждений, при котором на основании того, что каждый объект совокупности обладает некоторым свойством, делается вывод, что все объекты данной совокупности этим свойством обладают. Его ещё называют методом перебора всех возможных случаев.

Рассмотрим пример.

Пример 4. Отвечая на вопрос: «Сколько простых чисел в первом десятке?», ученик просматривает каждое число первого десятка и приходит к выводу, что таких чисел всего четыре.

Иногда при использовании этого метода рассматривается не каждый отдельный объект, а целые группы объектов.

Пример 5. При доказательстве теоремы об измерении угла, вписанного в окружность, рассматриваются 3 возможных случая: а) центр окружности лежит на стороне вписанного угла; б) центр окружности лежит между сторонами угла; в) центр лежит вне угла. Теорема доказывается для каждого случая отдельно, затем делается вывод относительно величины любого вписанного угла.

Если в рассуждении методом полной индукции рассмотрены все возможные случаи, и в каждом отдельном случае рассуждения носят дедуктивный характер, то полную индукцию можно отнести к полноценному методу доказательства истинности математических утверждений.

В обучении математике, кроме названных методов рассуждений, используются так называемые рассуждения по аналогии.

Пример 6. При решении задачи об отыскании множества точек, равноудалённых от граней двугранного угла, проводится аналогия со свойством биссектрисы плоского угла, что помогает учащимся сделать предположение о том, что искомым будет множество точек полуплоскости, делящей данный двугранный угол пополам.

При проведении рассуждения по аналогии осуществляется перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект. Рассуждения по аналогии не являются дедуктивными, так как могут привести к ложному выводу. Выводы, полученные по аналогии или с помощью неполной индукции, должны проверяться дедуктивными методами. Эти способы рассуждений важны тем, что наводят учащихся на догадки, предположения, гипотезы, развивают их математическую интуицию, эвристические способности.

Анализ и синтез. Задача учителя в процессе формирования умения правильно рассуждать заключается в организации деятельности, способствующей развитию таких важных мыслительных процессов как анализ и синтез. Эффективным средством решения данной задачи является организация деятельности учеников, соответствующей названным мыслительным операциям. В качестве такой деятельности выступают рассуждения, которые проводятся при поиске и проведении доказательства теорем, в процессе поиска решения задач.

Термины анализ и синтез используются в различных областях знания и имеют порою различный смысл. В словаре С.И. Ожегова находим: Анализ: 1.Метод научного исследования путём рассмотрения отдельных сторон, свойств, составных частей чего-нибудь. 2. Всесторонний разбор, рассмотрение. Синтез: 1. Метод исследования какого-нибудь явления в единстве и взаимной связи частей, обобщение, сведение в единое целое данных, добытых анализом. В данном пособии термины «анализ» и «синтез» будут иметь следующие значения.

Анализ будем понимать как метод рассуждений, при котором изучаемый объект мысленно разбивается на составные элементы, каждый из которых затем исследуется отдельно.

Синтез – это метод рассуждений, при котором устанавливаются связи отдельных элементов объекта и он рассматривается как единое целое.

Анализ позволяет переходить от следствий к причинам, а синтез – от причин к следствиям.