2) Структура определений.

Под определением математического объекта (понятия) будем понимать математическое предложение, в котором вводится термин для обозначения данного математического объекта и только его.

Большинство определений школьного курса математики имеет следующую логическую структуру:

Разъяснительная часть: Ввод термина Определяющий признак

Формализованная запись определения:

Пусть х  М. Тогда (x) Р(x), (1)

где Т(х) означает «х называется термином Т»;

Р(х) – один из критериев понятия Т, который назовём определяющим признаком;

«пусть х  М» – разъяснительная часть, она читается: «х – произвольный элемент множества М», «х – произвольный математический объект».

Пример 1. Рассмотрим структуру определения параллелограмма. Определение: «Параллелограммом называется выпуклый четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны».

Разъяснительная часть данного определения: пусть Х – выпуклый четырёхугольник. Ввод термина: Х есть параллелограмм. Определяющий признак: противоположные стороны Х параллельны.

Пример 2. Рассмотрим структуру определения нулевой степени числа а. Определение: «Ненулевое число а в нулевой степени по определению равно единице».

Разъяснительная часть: пусть а – произвольное число, отличное от нуля; х – произвольное число. Ввод термина: х есть нулевая степень числа а. Определяющий признак: х = 1.

Введём обозначение х = а⁰. Можно сделать следующую символическую запись определения: «Пусть а, х – произвольные числа, причём а ≠ о. Тогда (х = а⁰ х = 1)».

Как следует из примеров 1 и 2, по структуре эти определения мало отличаются друг от друга, хотя в содержательном плане они имеют существенные различия. Определением параллелограмма выделяется класс объектов из некоторого известного множества по определённому признаку – в формальной логике такие определения называются определениями через род и видовые отличия. Определением нулевой степени вводится лишь символ для обозначения математического объекта: числа 1. Такие определения в логике называют номинальными. В дидактическом плане классификация определений, принятая в формальной логике, не имеет практической ценности, а потому мы её рассматривать не будем.