2) Основные формулировки одной и той же теоремы.

Под переформулировкой теоремы будем понимать такую её языковую интерпретацию, которая не изменяет смысла теоремы.

Основными формулировками одной и той же теоремы будем считать: а) импликативную её форму; б) формулировку теоремы в общем виде; в) формулировку с использованием слов «необходимо» или «достаточно»; г) формулировку с использованием слов «свойство» или «признак» понятия.

В математической литературе используются также формулировки теорем, в которых используются слова «тогда и только тогда, когда»; «только тогда, когда». Мы их рассматривать не будем, так как это синонимы терминов «необходимо и достаточно» и «необходимо» или «достаточно».

Проанализируем переход от импликативной формулировки теоремы к другим её формулировкам.

Пусть дана теорема А (х)  В (х), в которой идёт речь о некотором объекте х. А (х) – условие теоремы, В (х) – заключение.

Основные её формулировки будут следующими:

а) для любого объекта х, для которого выполняется условие А, выполняется и условие В;

б) для того, чтобы А(х), необходимо В(х); для того, чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х);

в) условие В является свойством объекта х, удовлетворяющего условию А; условие А является признаком объекта х, удовлетворяющего условию В.

В двух последних случаях, где указаны две формулировки, всё-таки по смыслу теоремы приоритет отдаётся только одной из них.

Очевидно, чтобы не ошибиться, переформулируя теорему, полезно сформулировать её в импликативной форме, а затем получать другие формулировки, как показано выше.

Пример 2. Рассмотрим основные формулировки теоремы «Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

а) «Четырёхугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом»;

б) «Для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы его противоположные стороны были равны». Именно такая формулировка теоремы (со словом «достаточно») соответствует её смыслу. Это теорема о признаке параллелограмма. Верной будет и формулировка «Для того, чтобы противоположные стороны четырёхугольника были равны, необходимо, чтобы он был параллелограммом». Но по нормам русского языка получается, что это теорема о противоположных сторонах четырёхугольника, а не о параллелограмме.

в) «Равенство противоположных сторон четырёхугольника является признаком параллелограмма». Формулировка со словом «свойство» не соответствует смыслу теоремы.

Пример 3. Пусть теорема дана в общем виде: «Диагонали ромба перпендикулярны». Основные её формулировки будут следующими:

а) импликативная форма: «Если четырёхугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны»;

б) «Для того, чтобы четырёхугольник был ромбом необходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны»; «Для того, чтобы диагонали четырёхугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы четырёхугольник был ромбом»;

в) «Перпендикулярность диагоналей есть свойство ромба».

Пример 4. Пусть теорема сформулирована с использованием слов «свойство»: «Равенство углов при одном из оснований трапеции является свойством равнобедренной трапеции».

а) «Если трапеция равнобедренная, то углы при одном из её оснований равны»;

б) «В равнобедренной трапеции углы при одном из её оснований равны»;

в) «Для того, чтобы трапеция была равнобедренной, необходимо, чтобы углы при одном из её оснований были равны»; «Для того, чтобы углы при одном из оснований трапеции были равны, достаточно, чтобы трапеция была равнобедренной».