5) Отрицание определения.

Отрицанием определения (1) называют высказывание: (х) .

Нетрудно заметить, что при построении отрицания определения разъяснительная часть остаётся неизменной. Отрицание является следствием из определения, а потому оно всегда истинно. При построении отрицаний полезно использовать следующие правила отрицания высказываний, известные из математической логики:

1. При построении отрицания простого предложения частица «не» ставится перед сказуемым.

2. При построении отрицания конъюнкции или дизъюнкции применяются законы де Моргана: а)

3. При построении отрицаний импликации надо пользоваться правилом:

4. При построении отрицаний высказываний с кванторами квантор всеобщности заменяется на квантор существования, а квантор существования – на квантор всеобщности, отрицание же переносится на предикат.

5. При построении отрицания определения разъяснительная его часть остаётся неизменной.

Пример 4. 1) Построим отрицание определения правильного многоугольника: выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Очевидно, определяющий признак содержит два квантора общности: все его стороны равны, все его углы равны. При построении отрицания их нужно заменить кванторами существования, а союз «и» заменить союзом «или». Тогда отрицанием определения правильного многоугольника будет следующее предложение: выпуклый многоугольник не является правильным, если у него найдётся хотя бы одна пара неравных сторон или пара неравных углов.

2) Построим отрицание определения функции, возрастающей на промежутке .

Для того чтобы не допустить ошибки, выполним формализованную запись определения: Определение: Пусть f – произвольная функция, I – промежуток из области определения функции f.

f – функция, возрастающая на промежутке I ( х₁, х₂  )(х₁  х₂  f (x₁)  f (x₂)).

Отрицанием данного определения будет высказывание: функция f не является возрастающей на промежутке I тогда и только тогда, когда

( х₁, х₂  ) (х₁  х₂  f (x₁)  f (x₂)).

3) Построим отрицание определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

Определение: Пусть  – произвольная плоскость, а и b – произвольные прямые.

(а  ) (b) (b   a  b).

Формализованная запись отрицания будет иметь вид:

() (а) ( ( )  (b) (b  )).

На естественном языке это высказывание читается следующим образом: прямая а не является перпендикулярной к плоскости , если в плоскости  найдётся хотя бы одна такая прямая b, которая не перпендикулярна данной прямой a.

Отрицание определения помогает учителю построить всевозможные контрпримеры, необходимые как для усвоения определения, так и для исправления ошибок, которые допускают в определениях ученики.