4) Следствия из определения.

Определения не являются высказываниями. Поэтому при проведении рассуждений в математике используются следствия из определений. Следствие из определения – это теорема, истинность которой следует из определения. Например, предложение «Если в треугольнике две стороны равны, то он является равнобедренным» является истинным высказыванием по определению равнобедренного треугольника.

Различают тривиальные и нетривиальные следствия из определения.

Пусть определение имеет следующую логическую форму:

Пусть х – математический объект из множества М.

Тогда (x) (x), где Т(х) означает «х называется термином Т», а Р(х) – определяющий признак (1). Тогда тривиальными следствиями называют следующие истинные высказывания:

(x) ((x)  (x)), (x) (Р(x)  Т(x)), (x) ((x)  (x)).

К примеру, тривиальными следствиями из определения параллельных прямых в пространстве являются: а) если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны; б) если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются; в) две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Кроме тривиальных следствий можно получить и нетривиальные следствия из определения. К нетривиальным следствиям из определения параллельных прямых относятся, например, высказывания: а) если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости; б) если две прямые параллельны, то они не пересекаются.