7) Эквивалентные определения.

Термин «эквивалентные определения» мы используем в случае, когда в каждом из них вводится одно и то же понятие (математический объект).

Определение. Пусть определение (1) имеет вид:

«Пусть х. (Т(х) Р(х))».

Определение (2) «Пусть х₁. (Т(х) Q(x))» называется эквивалентным определению (1), если выполняются следующие условия:

1) В каждом из них вводится один и тот же термин Т.

Множества  и ₁, из которых выбираются определяемые объекты, должны быть связаны отношением включения, то есть М₁ или ₁.

Определяющие признаки Р(х) и Q(x) должны быть равносильны, то есть Р(х)  Q(x) на множестве М М₁.

Пример 5. Так эквивалентными будут определения: 1) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. 2) Треугольник называется равнобедренным, если его два угла равны. 3) Треугольник называется равнобедренным, если одна из его биссектрис является медианой и высотой. Разъяснительные части этих определений одинаковы, вводится один и тот же термин, определяющие признаки равносильны.

Пример 6. Покажем, что следующие определения ромба эквивалентны.

Определение 1: Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, называется ромбом.

Определение 2: Выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Для доказательства эквивалентности данных определений нужно рассмотреть две взаимообратные теоремы.

Теорема 1. Дано: АВСD – параллелограмм, AB = AD.

Доказать: все стороны АВСD равны между собой.

Теорема 2. Дано: в четырёхугольнике АВСD все стороны равны.

Доказать: АВСD – параллелограмм, AB = AD.

Доказательство их тривиально.

Из этих теорем следует, что определения 1 и 2 эквивалентны.