1) О сущности определений.

В настоящее время в основу методики изучения определений положена следующая точка зрения, заимствованная в формальной логике: определение рассматривается как логическая операция, как некий процесс выделения существенных черт объектов, в результате которого и рождается определение. Основываясь на данном подходе, в обучении математике в школе нашла широкое распространение ложная тенденция – обучение «открытию» определений. Например, авторы одного известного пособия для учителей рекомендуют построить работу над определением угла, вписанного в окружность, таким образом: учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены окружность и 4 угла, среди них только один угол является вписанным. «Задаётся вопрос: Подумайте, какой из углов мы будем называть вписанным в окружность? После обсуждения различных ответов составляется определение».

Внешне деятельность учащихся по «открытию» определений выглядит вполне современно, побуждает детей к анализу ситуации. В действительности такая работа сводится к угадыванию нужного ответа, она утомляет детей, а главное, создаёт неверные представления обо всей математике в целом. По поводу «открытия» определений Г. Фройденталь, автор известного пособия для учителей, писал: «Как можно определить нечто, коль скоро не знают того, что определяют?» 52, с. 48.

Основная цель учителя – организовать деятельность учащихся таким образом, чтобы они открыли для себя новый объект, а не его определение.

На самом деле математические определения играют двоякую роль: во-первых, они закрепляют термин за изучаемым математическим объектом (или отношением между ними), во-вторых, служат начальным звеном в цепи дедуктивных рассуждений, в результате которых возникают научные теории, новые математические понятия.

Строгие определения понятий появляются лишь после того, как теория уже настолько развита, что возникает потребность в её логическом упорядочении.