2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
Деятельность, ориентировочную основу которой составляет алгоритм, называют алгоритмической.
Под алгоритмом в математике понимается предписание, указывающее, какие операции, в какой последовательности нужно выполнить с некоторыми данными, чтобы решить задачу определённого типа.
Разрабатывая алгоритм, необходимо помнить, что шаги его должны быть элементарными, то есть посильными ученику. Они также должны удовлетворять свойству детерминированности. Это означает, что решение задачи по алгоритму – процесс строго направленный от первого шага к каждому последующему.
Пример 4. Рассмотрим алгоритм сложения десятичных дробей.
Чтобы найти сумму десятичных дробей нужно:
Записать дроби одну под другой так, чтобы запятая оказалась под запятой.
Уравнять количество десятичных знаков в обеих дробях.
Сложить числа как натуральные, не обращая внимания на запятые.
В результате поставить запятую под запятой.
Записать ответ.
Алгоритмы, выступающие в качестве ООД в школьной математике, формулируются в виде правил.
Учителю следует помнить:
правило не всегда совпадает с алгоритмом;
на первом уроке изучения действия учащиеся должны запомнить не правило, а ООД выполнения действия.
Правило учащиеся запоминают дома.
Например, в правиле умножения десятичных дробей: «Чтобы умножить две десятичные дроби, нужно их умножить как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, затем отделить в произведении столько знаков справа, сколько их в обоих множителях вместе» явно не выделен этап подсчёта знаков после запятой в каждом слагаемом и их суммирование. Если учитель этого не заметит, то может произойти сбой в усвоении нового действия: правило ученики выучили, а умножать дроби не умеют.
При рассмотрении алгоритмов как ООД, в конечном счёте, сам алгоритм не является целью обучения. Цель в этом случае – обучение действию. Но алгоритмы в математике являются и самостоятельными структурными единицами содержания. Алгоритмы в школе – это описание метода решения некоторого класса задач. Примерами такого рода алгоритмов являются: алгоритм решения неравенств методом интервалов; алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке; алгоритм Евклида (алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел) и др.
Не всякая математическая деятельность является алгоритмической. Например, решение тригонометрического уравнения, которое нельзя отнести ни к одному из известных видов, не является алгоритмической. Даже в таких случаях, когда алгоритма указать нельзя, учителю необходимо продумать систему ориентиров по выполнению подобной деятельности.
Пример 5. Система ориентиров по решению тригонометрических уравнений незнакомого вида (10-й класс) может быть следующей:
Старайся разложить левую часть уравнения на множители.
Если не получилось, переходи к одному аргументу в тригонометрических выражениях и снова разлагай на множители.
Если не получилось, переходи к одной функции и сделай замену переменных.
Если и после этого не удалось решить уравнение, то применяй формулы понижения степени, если это возможно. И так далее.
Система ориентиров может быть не всегда корректной с научной точки зрения. Иногда учителю приходится прибегать к «ориентирам», которые не имеют отношения к математике. Например, при обучении учащихся преобразованию логарифмических выражений вида (a > 0, a 1, b > 0) учитель даёт указание: «Верхний показатель выносится «вверх», а нижний показатель выносится «вниз»». В этом указании «вынести вверх» означает записать показатель в числитель дроби, «вынести вниз» означает записать показатель в знаменатель дроби. В результате получится . Даже такие примитивные ориентиры помогают ученикам правильно выполнить это действие.
Умение разработать систему ориентиров для обучения учащихся неалгоритмической деятельности является одной из составляющих профессионализма учителя.
После того, как ООД сформулирована, принята учащимися, необходимо выполнить ряд упражнений под контролем учителя. Как правило, один ученик выполняет упражнение у доски с обязательным комментированием, остальные записывают в тетрадь. На этом этапе действие должно быть представлено в развёрнутом виде, ООД должна проговариваться вслух и «про себя». Результатом этого этапа должно стать понимание и запоминание ООД, умение уверенно выполнять операции, из которых состоит действие, в определённой последовательности.
На уроках формирования нового действия контроль и коррекция выполнения учащимися нового действия является необходимым этапом. Для этого целесообразно организовать обучающую самостоятельную работу. В процессе самостоятельной работы учитель может определить в некоторой степени уровень усвоения нового действия, а главное, организовать своевременную коррекцию деятельности учащихся, акцентируя их внимание на отдельных моментах решения заданий, а также организуя помощь слабым учащимся.
Доведение выполнения действия учащимися до совершенства (до умения или навыка) происходит в процессе выполнения системы упражнений.
- Содержание
- Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- Глава 5. Задачи 129
- Предисловие
- Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- 1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- 1) Значение математического образования в жизни человека.
- 2) Цели обучения математике в школе.
- 3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- 4) Принципы обучения.
- 1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- 1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- 1) О структуре математического языка.
- 2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- 1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- 1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- 2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- 1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- 1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- 2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- 1.6. Планирование целей урока математики
- 1) Планирование целей урока математики.
- 2) Образовательные цели урока математики.
- 3) Развивающие цели урока математики.
- 4) Воспитательные цели урока математики.
- 1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- 1) Проект и конспект урока.
- 2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- 2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- 1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- 2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- 2.2. Типовой проект формирования математического действия
- 1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- Типовой проект формирования нового действия
- 2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- 2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- 1) Упражнение. Система упражнений.
- 2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- 2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- 3.1. Сущность категории «понятие»
- 1) Роль и функции понятий в мышлении.
- 2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- 3) Процесс образования научных понятий.
- 3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- 1) О структуре математического понятия.
- 2) Логическая схема понятия.
- 3) Свойства и признаки понятия.
- 4) Необходимые и достаточные условия.
- 3.3. Основные этапы формирования понятия
- Характеристика этапов
- 3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- 1) Конкретно-индуктивный подход.
- 2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- 3) Исследовательский подход.
- 4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- 5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- 3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- 1) О сущности определений.
- 2) Структура определений.
- 3) Определяющий признак, его структура.
- 4) Следствия из определения.
- 5) Отрицание определения.
- 6) Определения рабочие и нерабочие.
- 7) Эквивалентные определения.
- 3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- 1) Анализ определения.
- Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- 3.7. Уровни усвоения математического понятия
- 1) Усвоение понятия: что это такое?
- 2) Уровни усвоения математического понятия.
- Глава 4. Теоремы и их доказательства
- 4.1. Теоретические основы изучения теорем
- 1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- 2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- 3) Теоремы общего вида.
- 4) Теоремы существования.
- 5) Теоремы единственности.
- 4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- 1) Рассуждения, структура рассуждений.
- 2) Дедуктивные рассуждения.
- 3) Недедуктивные рассуждения.
- 3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- 4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- 4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- 1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- 2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- 3) План анализа теоремы.
- 4) План анализа доказательства теоремы.
- 4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- 1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- 2) Подготовительный этап.
- 3) Работа над содержанием теоремы.
- Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- 3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- 4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- 1) Поиск доказательства теоремы.
- 2) Доказательство теоремы.
- 3) Запись доказательства.
- 4) Применение теоремы.
- 5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- 4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- 1) Теорема о свойстве понятия.
- 2) Теорема о признаке понятия.
- 3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- 4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- 1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- 2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- Глава 5. Задачи
- 5.1. Теоретические сведения о задачах
- 1) Понятие «задача». Структура задачи.
- 2) Классификации задач.
- 3) Процесс решения задачи.
- 4) Основные требования к решению задачи.
- 5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- 6) Роль и функции задач в обучении.
- 5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- 1) Типовой проект работы над задачей.
- Типовой проект работы над задачей
- 3) Поиск решения задачи.
- 4) Запись решения задачи.
- 6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- 5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- 1) Что такое «сюжетная задача»?
- 2) Особенности решения сюжетных задач.
- 3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- 4) Задачи «на уравнивание».
- 5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- 1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- 2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- 3) Задачи «на движение».
- 4) Задачи «на работу».
- Итоговый тест
- Список литературы
- Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- 656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,