5) Теоремы единственности.

Они тесно связаны с теоремами существования. В этих теоремах утверждается, что найденный объект х, обладающий свойством А, является единственным, то есть любой объект у, имеющий то же свойство А, совпадает с объектом х. Запись теоремы существования и единственности в символах:

( х) (А(х)  (у) (А(у)  (х = у)).

Существуют и другие формы записи теорем существования и единственности, но данная запись в полной мере отражает сущность школьных теорем данного вида.

Краткая запись теоремы существования и единственности.

1. Найти объект х из множества М, имеющий свойство А.

2. Доказать, что объект х единственный.

Доказать, что объект х единственный, – значит показать, что другого объекта, обладающего тем же свойством, нет. Потому доказательство теоремы единственности проводится методом от противного. Допускаем, что существует объект у, который, как и объект х, имеет свойство А. Доказываем, что х и у совпадают, или приходим к противоречию с каким либо известным фактом.

Пример 8. Рассмотрим доказательство теоремы: «Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну» (10-й класс).

Краткая запись:

Дано: а – прямая, Аа.

Построить прямую b так, что b  а и А  b.

Доказать: прямая b – единственная.

Доказательство:

1. Докажем существование прямой b.

1) Построим плоскость  (а, А) (на основании соответствующей теоремы такая плоскость существует).

2) В плоскости  всегда найдётся прямая (обозначим её буквой b), которая параллельна прямой а и проходит через точку А (это известно по аксиоме параллельности для плоскости).

Таким образом, теорема существования доказана.

2. Докажем теорему единственности методом от противного.

1) Допустим, что существует прямая с, проходящая через точку А параллельно прямой а.

2) Проведём плоскость  (с, а). Это можно сделать, так как прямые с и а пересекаются (аксиома стереометрии). Тогда точка А и прямая а лежат в плоскости , но и в плоскости  тоже.

3) Так как через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость (известная теорема), то плоскости  и  совпадают.

4) В плоскости через точку А можно провести только одну прямую.

Теорема доказана.

Нередко можно услышать на уроке: «Я не знаю с чего начать!».

Формулировка теоремы (задачи) может помочь учащемуся правильно выполнить краткую её запись и определиться с выбором метода доказательства. В 10-м классе при изучении темы «Параллельность в пространстве» одной из первых решается задача: «Доказать, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости». Доказательство достаточно простое, однако опыт решения задач по стереометрии к этому времени у школьников ещё не велик, поэтому задача вызывает большие затруднения. Ученики не знают, с чего начать решение, а главное, как его записать. Наблюдения показывают, что причиной затруднений учащихся здесь является не только недостаток опыта. Главная причина заключается в том, что формулировка данной задачи содержит два квантора: общности и существования, то есть логическая структура задачи достаточно сложна. В процессе работы над формулировкой учитель с помощью учеников должен переформулировать её так, чтобы квантор существования был явно выделен. Формулировка должна принять вид: «Для любых прямых, пересекающих две данные произвольные параллельные прямые, найдётся такая плоскость, которой они принадлежат». Теперь получилось утверждение общего вида. Дальнейшая работа над задачей приведёт к выводу, что из всех прямых, пересекающих данные параллельные прямые нужно выбрать только одну произвольную прямую. Доказать существование плоскости – это значит найти, построить такую плоск ость, в которой лежат все такие прямые. После подобных рассуждений делается чертёж (рис. 2), на основе которого учащиеся высказывают предположение относительно искомой плоскости и доказывают, что произвольная прямая, пересекающая две данные параллельные прямые, лежит в этой плоскости.

Конечно, можно было бы не уделять так много внимания этой задаче, так как содержательная её ценность не велика: утверждение, которое доказано, больше нигде не используется. Ценность подобных задач и теорем состоит в том, что они предоставляют возможность знакомить учеников с видами математических предложений и способами их доказательства, учить школьников понимать язык математики. Такие моменты на уроке упускать нельзя.