4) Теоремы существования.

К теоремам существования относят теоремы вида ( х  ) А (х). Квантор существования (значок ) в русском языке соответствует словам: «существует такой элемент х из множества М, что...», «для некоторого х из множества М...», «найдётся такой элемент х из множества М, что...». Теоремы существования в явном виде рассматриваются в школьном курсе геометрии, хотя утверждения с квантором существования встречаются и доказываются уже на самых ранних этапах обучения математике.

Для доказательства истинности утверждения с квантором существования (( х) А (х)) достаточно привести пример элемента из множества М, для которого А (х) истинно. Доказать ложность утверждения с квантором существования можно лишь путём логических рассуждений. При этом доказывается истинность утверждения ( х) , которое является отрицанием исходного утверждения. В отличие от квантора общности квантор существования в русском языке пропускать нельзя, иначе истинностное значение утверждения изменится.

Пример 5. Высказывание «Некоторые простые числа кратны трём» является истинным. Если же опустить слово «некоторые», то получим: «Простые числа кратны трём». Данное высказывание является ложным, так как не все простые числа кратны трём, например, 5 не делится на 3.

В школьных учебниках математики утверждения с квантором существования зачастую формулируются в следующей форме: доказать, что существует объект, обладающий свойством А. Попытки выделить условие и заключение в теореме существования обречены на провал, так как сами эти термины относятся только к импликативным теоремам.

Краткая запись теоремы существования может выглядеть следующим образом:

Найти (построить) объект х, обладающий свойством А.

Как правило, в чистом виде теоремы существования встречаются редко. Практически каждая из них имеет вид: ( xМ) ( yМ₁) А(х,у), то есть формулировка теоремы содержит как квантор общности, так и квантор существования.

Пример 6. «Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной». Данную теорему можно отнести, прежде всего, к теоремам общего вида, а уже затем – к теоремам существования. Краткая запись данной теоремы имеет вид:

Дано: а – прямая, А а.

Построить прямую b так, что A  b, b  а.

Пример 7. Выполним краткую запись теоремы «Около любого треугольника можно описать окружность». Данная теорема также «смешанного» типа. Её краткую запись можно выполнить следующими способами:

1. Дано: АВС – треугольник.

Построить окружность, описанную около треугольника АВС.

В процессе дальнейшей работы над теоремой возможны такие её переформулировки:

2. Дано: АВС – треугольник.

Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

3. Дано: АВС – треугольник.

Построить точку, равноудаленную от всех вершин треугольника.

Очевидно, запись 2 может появиться лишь после выяснения ответа на вопрос: что надо знать, чтобы построить окружность? Запись 3 появится лишь после выяснения, какая точка является центром описанной окружности и её радиусом.

Переформулировки теоремы часто помогают выбрать правильный путь её доказательства. Особое значение они имеют при поиске доказательства теорем существования.