Характеристика этапов
Подготовительный этап должен включать актуализацию знаний учащихся, необходимых для усвоения новых знаний; мотивацию изучения данного понятия; постановку цели изучения данного понятия.
Введение понятия. Под введением математического понятия понимается этап ознакомления учащихся с новым математическим объектом, который заканчивается его определением.
В процессе изучения нового объекта, который может продолжаться сколь угодно долго, происходит формирование нового понятия.
В методической литературе до недавнего времени рассматривалось два подхода к введению математических понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный. В работе [10] рассмотрен и получил своё название ещё один подход к введению понятий –исследовательский. Характеристика подходов к введению нового математического объекта приведена в следующем пункте.
Раскрытие структуры понятия. Этап выяснения структуры понятия занимает продолжительное время. Так при формировании понятия числа, этот этап длится в течение всех лет обучения математике в школе и вузе.
В процессе изучения теории понятия учителю необходимо решать следующие задачи:
формировать понятия «свойство» и «признак» понятия;
формировать умение изучать математический объект – высказывать гипотезы относительно его свойств и признаков и их проверять;
формировать умение применять свойства и признаки понятия в учебно-познавательной деятельности.
Понятия свойство и признак встречаются не только в процессе изучения математики. Термины свойство и признак используются, например, в биологии, химии и других предметах. Кроме того, учащимся знаком и житейский смысл этих слов. Поэтому нет необходимости вводить строгие определения этих понятий в школе, нужно лишь вести целенаправленную работу по уточнению смысла этих терминов в каждом случае, где это возможно. О свойствах и признаках понятия речь идёт в теоремах. Подробнее об изучении таких теорем см. в п. 4.6.
При рассмотрении систем упражнений необходимо также вести соответствующую работу по формированию понятий.
Найдите упражнения, в которых идёт речь о понятии Р.
Что говорится о данном понятии в упражнении № ?
Какие новые свойства понятия Р вы узнали, выполняя эти упражнения?
Назовите упражнение, в котором рассматривается новый признак понятия Р.
В каком случае на практике используется свойство понятия, а в каком – признак?
Пример 1. Рассмотрим систему упражнений к теме «Сумма углов треугольника» (учебник «Геометрия 7-9». Авторы А.А. Атанасян и др.) Во-первых, решая задачи, учащиеся знакомятся, с такими свойствами понятия «равнобедренный треугольник», как: углы при его основании острые; биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противоположной основанию, параллельна основанию. Причём первое свойство не является признаком, а второе свойство одновременно является и свойством и признаком понятия «равнобедренный треугольник». Во-вторых, в одном из упражнений доказывается свойство равностороннего треугольника: каждый угол треугольника равен 600 . В-третьих, в одной из задач (№231) нужно доказать, что если медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС, то треугольник является прямоугольным. Очевидно, в этой задаче сформулирован признак прямоугольного треугольника. Можно бы пополнить систему упражнений ещё одной задачей: «Если в равнобедренном треугольнике есть угол 600, то треугольник является равносторонним». Этот признак равностороннего треугольника часто применяется при решении задач.
Таким образом, система упражнений даёт широкий простор для продолжения формирования ранее изученных понятий, а также служит материалом, на котором может быть организовано формирование представлений о признаках и свойствах понятия вообще.
При изучении теорем, в которых учащимся трудно выявить понятие, о котором идёт речь в теореме, рассмотрение этого вопроса можно оставить до того момента, когда учащиеся приобретут некоторый опыт применения теоремы. Уместно это сделать на уроке систематизации и обобщения знаний по данной теме.
Пример 2. Так при изучении теоремы о трёх перпендикулярах учащимся трудно ответить на вопрос, о каком понятии идёт речь в теореме? Хотя теорема о трёх перпендикулярах изучается в теме «Перпендикулярность в пространстве», немногие учащиеся задумываются над тем, для чего нужна эта теорема, где она может быть использована. Поэтому учитель должен тщательно обсудить ответы на эти вопросы и подвести учащихся к следующему выводу: в данной теореме доказан ещё один признак перпендикулярности прямых, особым образом расположенных в пространстве.
Включение понятия в систему других понятий протекает в процессе изучения последующего материала. Специальное место этому этапу отводится на уроках обобщения и систематизации знаний по изученной теме. Связь данного понятия с другими устанавливается посредством структурирования материала, оформления его в виде схемы. Установлению связей данного понятия с другими понятиями способствует также рассмотрение определений, эквивалентных изученному (см. п. 3.5).
Подробная характеристика этапа работы над определением понятия дана в пункте 3.6.
Формирование умения применять новое понятие в деятельности осуществляется в процессе изучения определения, теорем о свойствах и признаках понятия по той же методике, что и формирование любого умения
- Содержание
- Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- Глава 5. Задачи 129
- Предисловие
- Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- 1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- 1) Значение математического образования в жизни человека.
- 2) Цели обучения математике в школе.
- 3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- 4) Принципы обучения.
- 1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- 1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- 1) О структуре математического языка.
- 2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- 1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- 1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- 2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- 1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- 1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- 2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- 1.6. Планирование целей урока математики
- 1) Планирование целей урока математики.
- 2) Образовательные цели урока математики.
- 3) Развивающие цели урока математики.
- 4) Воспитательные цели урока математики.
- 1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- 1) Проект и конспект урока.
- 2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- 2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- 1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- 2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- 2.2. Типовой проект формирования математического действия
- 1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- Типовой проект формирования нового действия
- 2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- 2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- 1) Упражнение. Система упражнений.
- 2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- 2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- 3.1. Сущность категории «понятие»
- 1) Роль и функции понятий в мышлении.
- 2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- 3) Процесс образования научных понятий.
- 3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- 1) О структуре математического понятия.
- 2) Логическая схема понятия.
- 3) Свойства и признаки понятия.
- 4) Необходимые и достаточные условия.
- 3.3. Основные этапы формирования понятия
- Характеристика этапов
- 3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- 1) Конкретно-индуктивный подход.
- 2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- 3) Исследовательский подход.
- 4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- 5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- 3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- 1) О сущности определений.
- 2) Структура определений.
- 3) Определяющий признак, его структура.
- 4) Следствия из определения.
- 5) Отрицание определения.
- 6) Определения рабочие и нерабочие.
- 7) Эквивалентные определения.
- 3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- 1) Анализ определения.
- Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- 3.7. Уровни усвоения математического понятия
- 1) Усвоение понятия: что это такое?
- 2) Уровни усвоения математического понятия.
- Глава 4. Теоремы и их доказательства
- 4.1. Теоретические основы изучения теорем
- 1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- 2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- 3) Теоремы общего вида.
- 4) Теоремы существования.
- 5) Теоремы единственности.
- 4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- 1) Рассуждения, структура рассуждений.
- 2) Дедуктивные рассуждения.
- 3) Недедуктивные рассуждения.
- 3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- 4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- 4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- 1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- 2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- 3) План анализа теоремы.
- 4) План анализа доказательства теоремы.
- 4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- 1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- 2) Подготовительный этап.
- 3) Работа над содержанием теоремы.
- Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- 3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- 4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- 1) Поиск доказательства теоремы.
- 2) Доказательство теоремы.
- 3) Запись доказательства.
- 4) Применение теоремы.
- 5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- 4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- 1) Теорема о свойстве понятия.
- 2) Теорема о признаке понятия.
- 3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- 4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- 1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- 2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- Глава 5. Задачи
- 5.1. Теоретические сведения о задачах
- 1) Понятие «задача». Структура задачи.
- 2) Классификации задач.
- 3) Процесс решения задачи.
- 4) Основные требования к решению задачи.
- 5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- 6) Роль и функции задач в обучении.
- 5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- 1) Типовой проект работы над задачей.
- Типовой проект работы над задачей
- 3) Поиск решения задачи.
- 4) Запись решения задачи.
- 6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- 5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- 1) Что такое «сюжетная задача»?
- 2) Особенности решения сюжетных задач.
- 3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- 4) Задачи «на уравнивание».
- 5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- 1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- 2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- 3) Задачи «на движение».
- 4) Задачи «на работу».
- Итоговый тест
- Список литературы
- Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- 656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,