3.2.2 Операции над множествами

Результатом операций над множествами всегда является множество.

1. Пересечением множеств А и В называется такое множество, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству А и принадлежащих множеству В (т.е. их общих элементов). Например:

а) Если А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6}, то А  В ={2}.

б) Если А={1, 2}, В={3, 4}, то А  В= .

в) Если А={1, 2}, В={1, 2, 3}, то А  В = {1, 2} =А.

г) Если А = В, то А  В = А = В.

2. Объединением множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы множества А или множества В (т.е. все элементы А и все элементы В). Например:

а) Если А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6}, то А  В ={1, 2, 3, 4, 6}.

б) Если А={1, 2}, В={3, 4}, то А  В ={1, 2, 3, 4}.

в) Если А={1, 2}, В={1, 2, 3}, то А  В ={1, 2, 3}.

г) Если А = В, то А  В = А = В.

3. Разностью множеств В и А называют множество, которому принадлежат все те элементы множества В, которые не принадлежат А. Например:

а) Если А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6}, то В \ А={4, 6}.

б) Если А={1, 2}, В={3, 4}, то В \ А={3, 4}.

в) Если А={1, 2, 3}, В={1, 2}, то В \ А= Ǿ.

с) Если А=В, то В \ А= Ǿ.

4. В случае, когда А  В, можно рассмотреть частный случай разности множества В и А. Дополнением множества А до множества В называется такое множество, которому принадлежат все те элементы множества В, которые не принадлежат А.

5. Декартовым произведением множества А на множество В называется множество всевозможных пар, первый элемент которых принадлежит множеству А, а второй − множеству В.

А х В = {(а, в), а  А, в  В}.

Пара – упорядоченное множество, состоящее из двух элементов.

А={1, 2}, В={3, 4}, А х В={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.

Свойство переместительности.

Для операций пересечения и объединения верно следующее правило: от перестановки местами множеств результат не изменится, т.е. выполняется свойство переместительности: А  В = В  А; А  В = В  А.

Если в кругах Эйлера заштриховать разными цветами А  В и В  А, то на картинке заштрихованные разными цветами области совпадают.

Для операций разности и декартового произведения свойство переместительности не выполняется: А \ В  В \ А, А х В  В х А.

Пусть А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6}, тогда В \ А={4, 6}, а А \ В={1, 3}.

Если в кругах Эйлера заштриховать разными цветами А \ В и В \ А, то на картинке заштрихованные разными цветами области не совпадут.

Пусть А={а, о}, В={н, м}, тогда АхВ={ан, ам, он, ом}, а ВхА={но, на, мо, ма}.