5.1 Из истории развития геометрии. Происхождение названий геометрических фигур и их определение

О первых шагах накопления сведений по геометрии нет никаких письмен­ных источников. Безусловно, первоначальные геометрические пред­ставления складывались постепенно, в результате практической дея­тельности человека. В глубокой древности люди не отделяли понятие формы предметов от самих предметов. Затем было замечено, что многие предметы имеют одинаковую форму. Взяв за основу один предмет, люди стали использовать его название для обозначения других, сходных по форме, т.е. произошло абстрагирование формы предметов. Так, все предметы, имеющие форму, похожую на малярный валик, стали назы­вать цилиндром («цилиндр» в переводе с греческого обозначает «ва­лик», «вращаю», «катаю»).

В дошедших до нас самых древних матема­тических документах, написанных около 4 тыс. лет назад в странах Древнего Востока, уже встречаются геометрические понятия, проводятся вычисления площадей некоторых фигур. Возникновение геометрии было обусловлено практическими потребностями людей. Первые дошедшие до нас сведения связаны с задачами землемерия и вычисления объемов тел и площадей (Древний Египет, начало ИИ тыс. до н.э.). Однако археологами были обнаружены геометрические орнаменты, которые выполняли наши предки за 25 000 лет до н.э.

Колыбелью геометрии считается Египет. В Древней Греции восприняли и переработали достижения науки Древнего Востока. В VИ–V вв. до н.э. древнегреческие уче­ные систематизировали отдельные математические сведения, заимство­ванные у древних народов, особенно вавилонян. В Древней Греции сло­жилась большая часть современных математических терминов. В даль­нейшем они были переведены на латынь, которая служила на протяже­нии многих веков языком ученых. Отсюда многие математические тер­мины связаны с греческим и латинским языками.

Рассмотрим происхождение некоторых геометрических терминов. Выберем такую информацию, которая будет полезна воспитателям дошкольных учреждений. Параллельно будем давать общепринятые в современной математике соответствующие определения.

ВЕРШИНА. Общеславянское слово индоевропейского характера. Образовано от той же основы, что и греческое «орос» – «гора». Первичное значение – «то, что возвышается». До конца XИX в. в русских учебниках геометрии «вершиной» треугольника называлась только та, которая была действительно вверху и только в последнее десятилетие XИX в. «вершиной» становится любая вершина треугольника.

Вершина угла – это точка пересечения двух прямых, образующих угол.

ГЕОМЕТРИЯ. Греческое слово «геометрия» состоит из двух слов: «гео» – «земля» и «метрио» – «меряю», т.е. в переводе это слово означает «землемерие».

ГРАНЬ. Общеславянское слово. Первоначальное значение – «выступающее, торчащее, остроконечное».

Грань многогранника – это плоский многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника и ограниченный ее ребрами.

ДИАГОНАЛЬ. Термин состоит из греческих слов «диа» – «через» и «гон» – «угол». Буквальное значение слова – «проходящая через угол».

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не принадлежащие одной его стороне.

ДИАМЕТР. Греческое слово, в переводе означает «поперечник», «калибр».

Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через ее центр.

КВАДРАТ. Термин образовался как буквальный перевод соответствующего греческого слова «квадратус» – «четырехугольный».

Квадрат – это прямоугольник, у которого длины всех сторон равны. Квадрат – правильный четырехугольник.

КОНУС. Происходит от греческого «конос», что в переводе означает «сосновая шишка» или «остроконечная верхушка шлема», «кегля», «остроконечный предмет».

Конус – это геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей ее по замкнутой кривой.

Если основание конуса есть круг и вершина конуса проецируется в центр круга, то конус называется прямым круглым конусом. Он образуется вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Пирамида есть частный случай конуса, когда его основание многоугольник.

КРУГ. Общеславянское слово, имеющее соответствия в германских языках: в древнегерманском «кригер» – «кольцо», «круг», в греческом – «колесо», «круг»).

Круг – это множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которой до данной точки этой плоскости не больше данного расстояния.

КУБ. Происходит от греческого «кубос» – «игральная кость».

Куб – это правильный шестигранник. Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой.

ЛИНИЯ. Происходит от латинского слова «линеа», которое произошло от «линум» – «лен», «льняная нить». Линия не имеет четкой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница без поверхности».

ЛОМАНАЯ. Общеславянское слово, производное от «лом», «ломать».

Ломаная – это объединение отрезков, конец каждого из которых (кроме последнего) является началом следующего, причем смежные отрезки не лежат на одной прямой. Отрезки ломаной называются звеньями. Ломаная без самопересечений, у которой конец совпадает с началом, называется простой замк­нутой ломаной.

МАТЕМАТИКА. Греческое слово «масма» означает «наука», 2ученье», «учусь через размышление». Этот термин ввели пифагорейцы в Древней Гре­ции. В те времена (VИ в. до н.э.) математика включала в себя четыре отрасли науки: учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных, формах действительного мира.

МНОГОГРАННИК. Термин образован путем соединения двух слов «много» и «грань».

Многогранник – геометрическое тело, граница которого есть объединение конечного числа многоугольников.

Выпуклый многогранник называется правильным, если у него все грани – правильные конгруэнтные многоугольники и все многогранные углы конгруэн­тны.

МНОГОУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов «мно­го» и «угол». Имеет соответствия в индоевропейских языках (например, в гре­ческом «полигон» («многоугольник») составлено из «поли» – «много» и «гона» – «угол»).

Многоугольник – объединение простой замкнутой ломаной и его внутрен­ней области. Ломаная называется границей многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, вершины ломаной вершинами многоугольника.

Правильным многоугольником называется плоский выпуклый многоугольник, у которого стороны конгруэнтны и все внутренние углы тоже конгруэнтны.

ОВАЛ. Французское слово «оваль» – «овальный» произошло от латинского «овум» – «яйцо».

Овал – замкнутая выпуклая гладкая плоская кривая.

ОВАЛОИД. Этот термин образован путем соединения двух слов «оваль» – «овальный» и «эидос» – «вид».

Овалоид – это множество точек пространства, которое произвольная прямая пересекает не более чем в двух точках. Овалоид – это пространственный вариант овала.

ОКРУЖНОСТЬ. В переводе с греческого это слово означает «периферия».

Окружность – это множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в той же плоскости и называемой ее центром. Окружность – это граница круга.

ОСЬ. Общеславянское слово, имеющее соответствия в других индоевропейских языках (сравним в латинском «оксис» – «ось», «прямая»).

Ось – это прямая линия, проходящая через центр чего-то (или через центр вращения тела).

ОТРЕЗОК. Общеславянское слово, производное от «резать».

Отрезок – множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Это слово образовано путем соединения двух грече­ских слов: «параллелос» – «параллельный» и «грамме» – «линия», т.е. буквально переводится как «параллельнолинейный».

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. Термин образован путем соединения двух греческих слов: «параллелос» – «параллельный» и «эпипедос» – «плоскость».

Параллелепипед – призма, основанием котopoй является параллело­грамм.

Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основа­ния, то параллелепипед называется прямым, и противном случае – наклонным. Если основание прямого параллелепипеда – прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед с разны­ми измерениями называется кубом.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Термин был образован в средние века от латинского слова «перпендикулюм» – «отвес», которое, в свою очередь, произошло от слова «взвешивать».

Перпендикуляром к данной прямой называется прямая, пересекающая данную прямую под прямым углом.

ПИРАМИДА. Одни считают, что греческое слово «пирамида» происходит от египетского «пирамус» – «боковое ребро сооружения». Существует другое предположение: термин берет своё начало от формы хлебцев в Древней Гре­ции, т.е. является производным от греческого слова «пирос» – «рожь». Неко­торые ученые считают, что термин произошел от греческого слона «пир» – «огонь», т.к. пламя иногда напоминает по форме пирамиду.

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

ПРИЗМА. Греческое слово «призма» означает «отпиленный кусок», «отпи­ленная часть».

Призма – это многогранник, у которого две грани – конгруэнтные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – паралле­лограммы. Конгруэнтные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а другие грани (параллелограммы) – боковыми гранями призмы.

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется прямой призмой, в противном случае – наклонной. Призма, основанием кото­ром является параллелограмм, называется параллелепипедом.

ПРЯМАЯ. Общеславянское слово, имеющее соответствия в других индоевропейских языках (сравним в греческом «промос» – «передовой», «прямой»). Классификация линий на прямые, ломаные, кривые и углов – на пря­мые, острые и тупые берет свое начало в глубокой древности.

Прямая – одно из основных понятий геометрии, косвенное определение которому дается через аксиомы.

ПРЯМОУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов: «прямой» и «угол».

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Прямоугольник является параллелограммом. Прямоугольник, у которого смежные стороны конгруэнтны, называется квадратом.

ПРЯМОЙ УГОЛ. Одно из древних геометрических понятий, оно связано с образом вертикального положения человека и многих предметов окружающей среды.

Прямой угол – угол, конгруэнтный своему смежному. Величина прямого угла равна 90 градусов.

РАДИУС. Слово происходит от латинского «радиус» – «луч», «спица в ко­лесе». Термин становится общепринятым лишь в конце XVИИ в.

Радиус окружности – это расстояние от центра окружности до любой ее точки.

РАССТОЯНИЕ. Слово заимствовано из старославянского языка. Образовано от «расстояти» – «стоять в отдалении».

Расстояние от одной точки до другой – основное неопределяемое понятие в математике.

РЕБРО. Общеславянское слово, образованное от основы «реб», имеющей ин­доевропейский характер (сравним и англосакском «рибби» - «ребро», «узкий край», «сторона предмета»).

Ребрами многогранника называются стороны граней многогранника.

РОМБ. Одни считают, что этот термин произошел от греческого слова «ромбос», означающего «бубен», т.к. ромб похож на четырехугольный бубен, другие — что от греческого слова «ромб», которое означает «вращающееся тело», «веретено», т.к. сечение в обмотанном веретене имеет форму ромба.

Ромб – что параллелограмм, все стороны которого конгруэнтны.

СТОРОНА. Общеславянское слово, имеющее индоевропейский характер.

Сторонами многоугольника называются звенья границы многоугольника.

СФЕРА. Термин происходит от греческого «сфайра» – «шар», «мяч».

Сфера – это множество точек трехмерного пространства, находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки.

ТОЧКА. Общеславянское слово, происходит от глагола «ткнуть» и означает результат мгновенного прикосновения, укола.

Точка – это одно из основных понятий геометрии, косвенное определение которому дается в аксиомах.

ТРАПЕЦИЯ. Греческое слово «трапедзион» переводится как «столик» (сравним со словом «трапеза»). Раньше трапецией называли любой четырех­угольник (не параллелограмм). Лишь в XVИИ п. это слово приобрело современ­ный смысл.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две противополож­ные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

ТРЕУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов: «три» и «угол». Слово «три» общеславянское, индоевропейского характера (сравним в греческом «трйс» – «три»). Понятие о треугольнике исторически развива­лось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные и прямо­угольные треугольники, затем – равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. В русских учебниках геометрии конца XИX и. используются такие термины, как «треугольники о равных бедрах», «бок угла», «бок квадрата». Только в последнее десятилетие XИX в. устанавливается знакомая нам термино­логия.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

УГОЛ. Общеславянское слово индоевропейского характера (сравним в ла­тинском «ангулус» – «угол», «кривой»).

Угол – одна из частей плоскости, ограниченная двумя лучами с общим нача­лом.

ФИГУРА. Латинское слово, означает «образ», «вид», «начертание». Этот термин вошел в общее употребление в XИИ в. До этого чаще употреблялось другое латинское слово – «форма», также означающее «наружный вид», «внешнее очертание предмета».

Фигура – это часть плоскости, ограниченная замкнутой линией, или часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью.

ЦЕНТР. Произошло от латинского слова «центрум», которое, в свою оче­редь, произошло от древнегреческого «кентрон», означавшего «колющее ору­дие», «острие ножки циркуля».

Центр окружности — точка, равноудаленная от всех точек окружности, лежа­щая в одной с ней плоскости.

ЦИЛИНДР. Происходит от греческого «кылиндрос» – «валик».

Цилиндр – это тело, полученное пересечением цилиндрической поверхно­сти и двумя параллельными плоскостями.

Прямой круговой цилиндр — это тело, образованное вращением прямоугольника около одной из его сторон.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения слов «четыре» и «угол». Четыре - общеславянское слово (сравним в литовском «кетичи» – «четыре», и в латинском «кватор» – «четыре»).

Четырехугольник – это многоугольник, имеющий четыре стороны.

ШАР. Слово образовалось от греческого «сфайра» – «мяч» путем перехода согласных сф в ш.

Шар — это множество точек трехмерного пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки не больше данного расстояния. Шар – это тело, ограниченное сферой.

ЭЛЛИПС. Слово произошло от греческого «эллипсис» – «опущение», «недостаток». В геометрии «недостаток» трактуется как недостаток эксцентриситета до 1. Он равен отношению расстояния между фокусами эллипса. Для эллипса эксцентриситет меньше 1.

Эллипс – это замкнутая плоская кривая линия, сумма расстояний для каждой точки которой от двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Если фокусы совпадают, то эллипс превращаются в окружность, для которой совпадающие фокусы являются центром, а эксцентриситет равен 0.

ЭЛЛИПСОИД. Термин означает «эллипсообразный». Слово образовано путем соединения двух греческих слов «эллипсис» («недостаток») и «эидос» («вид»).

Эллипсоид – это поверхность, образуемая при вращении эллипса вокруг од­ной из его oceй. Если все оси эллипса одинаковы, то эллипс превращается в сферу.