3.2.3 Отношения между элементами множества. Свойства отношений

Примеры отношений:

– между числами: =, , 

– между прямыми в пространстве: ||, .

– пространственные отношения между предметами: слева, справа, далеко, близко;

– родственные отношения между людьми: быть братом.

Рассмотрим определение отношения на примере. Зададим отношение «Город а стоит на реке в». Для этого зададим следующие множества: А – множество городов, А= {Б, К, Г}; В – множество рек, В = {М, Д, С}.

Найдем декартово произведение множества А на В.

А  В = {(Б,М); (Б,Д); (Б,С); (К, М); (К, Д); (К,С); (Г, М); (Г,Д); (Г,С)}.

Теперь найдем такое подмножество декартового произведения, где на первом месте в паре стоит город, а на втором – река, на которой этот город расположен.

Р = { (Б; М); (К; Д); (Г,С) }, Р  А  В.

Для того, чтобы задать отношение между городами и реками «Город а стоит на реке в» необходимо задать 3 множества: множество городов, множество рек и подмножество декартового произведения А на В.

Другие примеры: сетка занятий в дошкольном учреждении, график дежурств.

Определение: говорят, что между элементами множеств А и В задано отношение , если заданы 3 множества А, В, Р  А  В.

Способы задания отношений

1) Путем перечисления всех элементов отношения (т.е. всех пар).

Рассмотрим множество А = {1, 2, 3, 4}. Зададим отношение «». Первый элемент в парах должен быть меньше второго.

Р = {(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)}.

2)Путем задания характеристического свойства. Характеристическое свойство имеет вид предложения с двумя неизвестными.

«Число х меньше числа у»

3) С помощью графа. Граф – это изображение элементов множества на плоскости с помощью точек и изображение отношений между элементами множеств с помощью стрелок.

4) С помощью графика в декартовой системе координат, где первый элемент − абсциссы, второй – ординаты.

Свойства отношений

1. Свойство рефлексивности. Отношение  на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х из множества Х находится в отношении  с самим собой, т.е. х  х.

Например: в качестве Х рассмотрим множество фигур. В качестве отношения  рассмотрим отношение «быть одинаковым по форме». Каждая фигура одинакова по форме сама с собой – это утверждение истинно. Значит отношение «быть одинаковым по форме» на множестве всех фигур является рефлексивным.

2. С войство антирефлексивности. Отношение  на множестве Х называется антирефлексивным, если каждый элемент х из множества Х не находятся в отношении  с самим собой, х  х.

«Каждое число не меньше самого себя». Утверждение истинное. Следовательно, отношение «меньше» на множестве чисел является антирефлексивным.

3. Свойство симметричности. Отношение  на множестве х называется симметричным, если для любых элементов х, у из множества Х справедливо: если х находится в отношении  с у, то у находится в отношении  с х т.е. если х  у, то у  х.

Например: если фигура а одинакова по форме с фигурой в, то фигура в одинакова по форме с фигурой а. Вывод: утверждение справедливо. Значит, отношение «быть одинаковым по форме» является симметричным на множестве фигур.

4. С войство антисимметричности. Отношение  на множестве Х называется антисимметричным, если для любых не равных друг другу элементов х, у из множества Х справедливо утверждение: если х  у, то у  х.

Например: отношение «меньше» на множестве чисел. «Если ав, то ва» – истинно, значит, отношение «меньше» является антисимметричным на множестве чисел.

5. Свойство транзитивности. Отношение  на множестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z множества Х справедливо утверждение: если х  у и у  z, то х  z.

Например, утверждение «если фигура а одинакова по форме с фигурой в и фигура в одинакова по форме с фигурой с, то фигура а одинакова по форме с фигурой с» является справедливым. Значит, отношение «быть одинаковым по форме» является транзитивным.