3) Выполняю по порядку сложение и вычитание.

Данный алгоритм задает порядок действий достаточно однозначно, хотя и с небольшими вариациями. Например:

^{2 1 2 1}

100-21:3 = 100-7 = 93 60 + 9-3 = 60 + 27 = 87

3 2 1

30+6 • (13 - 9) = 30 + 6 • 4 = 30 + 24 = 54

В этих выражениях порядок действий определен алгоритмом однозначно и является единственно возможным. Приведем другие примеры:

3 14 2 5

54 16 • 3 - 72 :81 6 = 54 + 18 - 72 : 8 + 6 = 54 + 18 - 9 + 6 = 72 --9 + 6=63 + 6 = 69

После выполнения умножения и деления в данном примере можно было сразу к 54 прибавить 6, а из 18 вычесть 9, после чего результаты сложить. Технически было бы значительно легче, чем путь, обусловленный алгоритмом, возможен изначально другой порядок действий в примере:

3 2 4 1 5

54 + 6^3-72:8 + 6 — этот путь не противоречит алгоритму, хотя также не является рациональным.

Таким образом, вопрос о формировании умения определять порядок действий в выражениях в начальной школе определенным образом противоречит необходимости обучать ребенка способам рациональных вычислений.

Например, в случае порядок действий определен алгоритмом

43

абсолютно однозначно, при этом требует от ребенка сложнейших вычислений в уме с переходами через разряд: 42 - 7 и 35 + 8.

Если же после выполнения деления 21:3, выполнить сложение 42 + 8 = 50, а затем вычитание 50 - 7 = 43, что намного легче технически, ответ будет тот же. Этот путь вычислений противоречит установке данного в учебнике алгоритма, хотя и является рациональным.

В общем можно сказать, что изменять порядок действий, оговоренный правилом, можно только в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения (сочетательный и распределительный). Для того, чтобы научить ребенка распознавать такие случаи, необходимо реализовать при обучении математике специальную систему формирования рациональных вычислений. Одним из элементов этой системы является знакомство ребенка с признаками делимости чисел.

Признаки делимости

Признаки делимости как таковые не рассматриваются в начальной школе специально.. Единственным признаком делимости, рассматриваемым в новом учебнике математики можно считать понятие о четности натуральных чисел в учебнике 3 класса:

Числа, которые делятся на 2, называются четными, а числа, которые не делятся на 2, — нечетными.

Однако целью введения данного определения является не столько знакомство детей с одним из признаков делимости (являющимися крайне полезными с точки зрения формирования вычислительных умений и рациональных вычислений), что видно из формы построения определения, а знакомство детей с еще одним математическим термином (понятием), определенным по соглашению (методом сообщения ребенку термина и его значения).

Умение применять признаки делимости для рационализации вычислений является важным и полезным умением перспективного характера, сохраняющим свою ценность в старших классах.

Признак делимости на 2:

Если последняя цифра числа делится на 2, то и само число разделится на 2.

Например:

49 — последняя цифра 9 на 2 не делится, значит, и все число на 2 не разделится.

12 345 678 — последняя цифра 8 на 2 делится, значит, и все число на 2 разделится.

12 345 678 : 2 = 6 172 839

Признак делимости на 3:

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число разделится на 3.

Например:

375 — сумма цифр 3 + 7 + 5= 15 делится на 3, значит, и само число разделится на 3. 375 : 3 = 125.

679 — сумма цифр 6 + 7 + 9 = 22 не делится на 3, значит, и само число не разделится на 3.

Признак делимости на 4:

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число разделится на 4.

Например:

3732 — две последние цифры образуют число 32, которое делится на 4, значит число 3732 разделится на 4. 3732 : 4 = 933.

Число 3700 также разделится на 4, поскольку две последние цифры — это нули, а нуль делится на любое число. 3700 : 4 = 925.

Признак делимости на 5:

Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5.

Например:

3700 — делится на 5,3705 — делится на 5, а 3703 — не делится на 5. Признак делимости на 9:

Если сумма цифр числа делится на9, то и само число разделится на 9.

Например:

7245 — сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5 =18 делится на 9, значит и само число разделится на 9. 7245 : 9 = 805.

7234 — сумма цифр 7 + 2 + 3 + 4 = 16 не делится на 9, значит и само число не разделится на 9.

Признак делимости на 10:

Если число оканчивается цифрой 0, то оно разделится на 10.

Это единственный признак делимости, рассмотренный в учебнике математики для 4 класса в виде: «Чтобы число разделилось без остатка на 10, достаточно, чтобы в его записи на конце был хотя бы один нуль».

Следует отметить, что данное требование не только достаточное условие, но и необходимое.

Как следствие этого признака делимости, можно рассматривать признак делимости без остатка на 100 (1000): для делимости числа на разрядную единицу нужно, чтобы число имело такое же количество нулей на конце.

Признак делимости на 6: ^N

Если число делится одновременно на 2 и на 3, то оно разделится на 6.

Аналогичным образом можно определить делимость на 8. Она следует из одновременной делимости на 2 и на 4.

Вопрос о делимости натуральных чисел предполагает, что речь идет о делении нацело, т. е. без остатка. Таким образом, он предваряет знакомство детей с понятием «деление с остатком».