3. Схематическое моделирование при обучении решению составных задач

Рассмотрим возможность использования схем при знакомстве с составной задачей и обучении решению составных задач на сложение и вычитание в 1 и 2 классе.

Использование схематического моделирования рассмотренного вида позволяет построить процесс знакомства с составной задачей на основе частично-поискового метода: при таком подходе достаточно после решения простой задачи задать еще один вопрос, и схема приобретает новый вид, моделируя ситуацию составной задачи.

Рассмотрим этот прием на задаче:

Саша нашел 7 грибов, а Петя — на 2 гриба больше. Сколько грибов у Пети?

После составления схемы и записи решения учитель спрашивает:

— А если Саша и Петя на обратном пути сложили все грибы в одну большую корзину, можно узнать, сколько в ней оказалось грибов? (Да, можно, если узнать, сколько грибов положил туда Петя и сколько Саша.)

— Давайте обозначим эту корзину на схеме. Знаем мы сразу сколько в ней грибов? (Нет.)

— Обозначим ее символом (У)

— Покажите, какие грибы положили в нее дети.

Ученик у доски движением руки показывает, какие грибы положены в корзину, и вслед за движением руки рисует стрелки. Схема приобретает вид:

Вторая часть схемы определяет сложение, значит, можно поставить знак: +.

Схематический рисунок такого вида ученики легко переводят в символическую запись решения. При желании на схеме можно проставить порядок действий:

В таком виде схема играет роль плана решения. После того, как найден ответ на второй вопрос, учитель обращает внимание детей на тот факт, что до сих пор они таких задач еще не решали. Вводится понятие составной задачи как задачи, для решения которой требуется выполнить больше одного действия.

Использование приема моделирования простой задачи с помощью схемы снимает необходимость готовить ученика к решению составных задач как к чему-то новому. Обученный прежде всего обращать внимание на данные и искомое, на характер и структуру связей между ними, ученик переносит это умение на процесс решения составной задачи. Разница для него только в том, что данных стало больше и характер связей стал более разнообразным.

Уже на первых уроках знакомства с составной задачей детям можно предлагать схемы составных задач, помогая составить по ним задачи и решить их.

Например:

Практика показывает, что дети уже на первых уроках знакомства со схемами составных задач легко «читают» такие схемы, составляют по ним задачи и решают их, записывая при этом решения в виде выражения там, где это соответствует структуре схемы (схемы I и II).

Далее при обучении решению составных задач учитель ориентируется на те же этапы, что и в работе с простой задачей. Умения, сформированные у детей при решении простых задач, получают дальнейшее развитие, становятся более совершенными. Приемы работы с моделью, используемые на каждом этапе работы с задачей, носят более разнообразный и сложный характер.

В автобусе ехали 10 человек. На первой остановке в автобус вошли 9 человек, на второй вошел еще 1 человек. Сколько человек стало в автобусе?

В связи с тем, что при решении составной задачи может быть использована новая форма записи ее решения — в виде выражения, при разборе этой задачи может быть использован такой методический прием.

После чтения задачи и разбора ее текста учитель предлагает детям рассмотреть готовые схемы на доске и выбрать ту, которая подходит к данной задаче.

При анализе выбранных схем I и III учитель обращает внимание учащихся на то, что схема I отражает последовательность событий: 9 человек вошли на первой остановке, 1 человек — на второй остановке. Но поскольку все они в конечном счете едут в одном автобусе и в задаче спрашивается «Сколько человек стало в автобусе?», схема III также отражает структуру этой ситуации.

При выборе схем учитель показывает детям две формы записи решения:

1) 10 + 9 - 19 (ч.) и 10 + 9 + 1 = 20 (ч.)

2) 19+1=20 (ч.)

и предлагает определить, какая из форм записи подходит к схеме III, а какая — к схеме I. Схема III определяет форму записи выражением, схема I — по действиям. Такие упражнения на установление связей между структурой схемы и формой записи решения способствуют формированию аналитических способностей: ученик в состоянии проанализировать структуру схемы и соотнести ее со структурой записи решения. Здесь же можно обсудить вопрос о том, какая из схем и, соответственно, приемов записи решения задачи имеют более экономную компактную форму.

После работы над этой задачей полезно обратить внимание учащихся на схему И:

— Почему вы считаете, что эта схема не подходит к данной задаче? (Стрелка показывает, что 1 пассажир вышел, а не вошел.)

— Составьте задачу по этой схеме. (Дети составляют задачу.)

— Чем похожи эти задачи? (У них одинаковые данные и одинаковые вопросы.)

— Чем они отличаются? (Характером событий, а значит, и решения будут разные.)

— Зная, что в автобусе было 10 пассажиров и на остановке вошли 9 пассажиров, что можно узнать? (Сколько пассажиров стало в автобусе после первой остановки.)

— Какое действие нужно использовать? (Сложение.) Схему дополняют знаком действия.

— Зная, сколько всего пассажиров в автобусе и что один пассажир вышел на следующей остановке, что можно узнать? (Сколько их осталось.)

— Какое действие? (Вычитание.)

Схему дополняют знаком действия, и в таком виде она выполняет роль плана решения:

Решение данной задачи целесообразно записать и по действиям и выражениям, так как ее схема не имеет ярко выраженного характера, соответствующего той или иной форме записи.

Приведем примеры составных задач:

Девочка купила блокнот за 8 рублей, карандаш за 3 рубля и линейку за б рублей. Сколько денег она потратила?

Схема к этой задаче может быть составлена по типу схемы III (см. выше).

В бидоне 24 л молока. Одному покупателю отлили 3 л, другому 5 л. Сколько молока осталось в бидоне?

Схема к этой задаче может быть составлена двух видов:

Схема I соответствует записи решения выражением. Схема II отражает последовательность событий (сначала одному покупателю отлили З л, потом другому — 5 л) и соответствует записи решения по действиям (количество строк записи решения показывает и количество знаков вопроса в схеме).

Решение большинства составных задач в 1—2 классе тесно связано со свойствами арифметических действий (прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа). Эти свойства позволяют решать составные задачи различными способами.

Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок должно еще вернуться?

Для того чтобы нахождение разных способов решения данной задачи не превратилось в формальное манипулирование числами на основе свойств арифметических действий, необходимо уделить основное внимание анализу ситуации, которая дана в задаче. При анализе текста главным будет являться вопрос: «Знаем мы, какие лодки возвращались — большие, маленькие или те и другие?» (Нет. Мы знаем только, что их вернулось 6.)

После уточнения этого факта можно использовать такой методический прием: учитель открывает на доске три заготовленных заранее схемы и предлагает детям выбрать подходящую к данной задаче. Ученик, выбирающий схему, должен рассказать соответствующую этой схеме версию событий задачи (вернулись только большие лодки, только маленькие, те и другие). Схемы к этой задаче имеют вид:

Этим трем схемам соответствуют три разных способа решения, которые дети составляют после разбора каждой схемы:

I. 1) 20 + 8 = 28 (л.) II. 1) 20 - 6 = 14 (л.) III. 1)8-6 = 2 (л.)

2) 28 - 6 = 22 (л.) 2) 14 + 8 = 22 (л.) 2)20+ 2 = 22(л.)

Все три решения имеют одинаковый ответ, следовательно задача решена верно.

Можно было использовать и такой методический прием: предложить учащимся не только три готовые схемы, но и сразу три варианта решения. Это упражнение направлено на формирование аналитических способностей: ученики должны соотнести структуру схемы со способом решения и выбрать к каждой схеме соответствующую запись, объясняя логику своего выбора.

Использование приема моделирования при формировании умения решать задачи предполагает в основном синтетический подход к ее разбору. Психологически это обусловлено тем, что в возрасте 6—7 лет развитие способности к синтезу опережает развитие способности к анализу. На этом этапе ребенку ближе и понятнее синтетический подход к задаче («от данных»), который, кроме того, значительно короче, а значит, более доступен. Синтетическая схема, в отличие от аналитической, является прежде всего моделью ситуации, предлагаемой в задаче. В связи с этим она как бы направляет ход мысли. Синтетическая схема обычно отражает ход событий в задаче, приучая ребенка к внимательному изучению ситуации, соблюдению хронологии, помогает выстраивать цепочку рассуждений, следуя за главными событиями, не отвлекаясь на второстепенные детали.

Приведем пример синтетического разбора задачи, сопровождаемого составлением схемы.

Первоклассники заготовили для птиц б кг рябины и 4 кг семян арбуза. За зиму они скормили птицам 9 кг корма. Сколько кг корма осталось?

— Что можно узнать, если известно, что дети заготовили рябины 6 кг и арбузных семян 4 кг? (Можно узнать, сколько корма заготовили всего.)

— Как это сделать? С помощью какого действия? (Надо сложить 6 кг и 4 кг.)

— Что можно узнать, если известно, сколько корма было всего и сколько съели птицы? (Можно узнать, сколько его осталось.)

— Как это узнать? (Надо от всего корма отнять 9 кг.) Схема, соответствующая этому разбору, выглядит так:

Характерно, что синтетический разбор обычно сопровождается составлением плана решения, так как при каждом следующем «шаге» используется данное, найденное на предыдущем «шаге».

Приведем аналитический разбор («от вопроса») той же задачи:

— Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Или: Что нужно знать, чтобы определить, сколько килограммов корма осталось? (Нужно знать, сколько корма заготовили и сколько скормили птицам.)

— Известно, сколько скормили птицам? (Да, 9 кг.)

— Известно, сколько корма заготовили? (Неизвестно.)

— Что нужно знать, чтобы определить, сколько корма заготовили? (Нужно знать, сколько заготовили рябины и арбузных семечек.)

— Известно, сколько было рябины? (Да, 6 кг.)

— Известно, сколько было арбузных семян? (Да, 4 кг.) Схема, соответствующая такому разбору, выглядит так:

Чтобы составить план решения, надо вернуться по этой схеме «обратно»:

— Как узнать, сколько корма запасли? (Сложение.)

— Как узнать, сколько корма осталось? (Вычитание.)

Как видно из приведенного примера, составление аналитической схемы требует хорошо развитого «обратного» хода мысли, высокого уровня сформированное™ аналитических способностей.

При постепенном переходе от использования предметной наглядности к использованию схемы (абстрактного изображения ситуации, предложенной в задаче) создаются предпосылки и фактически ведется работа по формированию у ребенка умения абстрагироваться: умения, являющегося необходимым для развития математического мышления.

Схема состоит из элементов, смысл которых легко понимается маленькими детьми: кружков, квадратиков, стрелок. Таким образом, схема, с одной стороны, легко выполняется учеником, так как не требует никаких специальных графических умений, а с другой — не требует умения достаточно хорошо писать опорные слова, что необходимо для оформления краткой записи. Такая модель задачи позволяет сделать математические связи и зависимости наглядными для учеников, причем это относится не только к явным, но и скрытым зависимостям между величинами. Схема является абстрактным изображением той ситуации, которая дана в задаче, она позволяет абстрагироваться от несущественных подробностей, приучает ученика быстро находить главное в задаче (данные, искомое) и тем самым помогает осознать условие и выбрать действие.

Таким образом, схема несет двоякую нагрузку: с одной стороны, она является абстрактной моделью, с другой стороны, схема достаточно конкретна: зримо воспринимаемая, воплощает фактически те мыслительные действия, которые ученик проделывает, моделируя задачу, т. е. является итоговым результатом внутренних действий. Возможность воплотить эти действия и их результат во внешнюю опору для многих учеников служит той самой необходимой ступенькой, поднявшись на которую, они могут двигаться дальше к адекватной мысленной модели ситуации. Наличие схемы на доске или индивидуальной карточке поможет сориентироваться даже слабым учащимся. Анализ проводится, когда схема в первом приближении составлена, что облегчает ученику эту процедуру и резко сокращает затраты времени. Кроме того, готовая схема исключает этап поиска пути решения, так как она сама является схемой способа действия, способа решения. И, наконец, схема является также и средством контроля (самоконтроля), поскольку ребенок всегда может сравнить выполняемые им действия со способом действия, зафиксированным в схеме. Если учесть при этом, что использование приема моделирования (со схемой в качестве модели) помогает формированию таких приемов умственной деятельности как абстрагирование, анализ, синтез, а также способствует формированию внутреннего плана действий у ребенка, то можно с уверенностью утверждать, что использование описанного приема моделирования при обучении решению задач в первом классе будет способствовать развитию мышления, развитию математических способностей.

В настоящее время методисты стали много внимания уделять приему моделирования задачи с помощью различных схем (Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон и многие другие). Однако во всех случаях идет речь об обучении ребенка использованию сразу графической модели в виде отрезков — так называемой схемы в отрезках, где различные совокупности или величины, заданные в задаче, изображаются с помощью отрезков. Безусловно, эти схемы являются очень действенными и, как будет показано ниже, фактически универсальными при обучении ребенка решению задач. Но сама форма этой схемы является очень абстрактной и слишком условной для понимания многих шестилетних школьников. У учителя обычно уходит много сил на обучение детей этому способу моделирования уже с 1 класса. Возможно, именно поэтому новый вариант учебника математики Н.Б. Истоминой для четырехлетней школы, активно использующий схему в отрезках для обучения решению задач, предполагает знакомство с задачей только во 2 классе. Схема в отрезках, даже предъявляемая ребенку в учебнике готовой, не дает ученику, если он заранее не обучен специально вычерчиванию и чтению этой модели, визуально сразу схватываемую и понятную с первого взгляда картину выбора действия.

Учителя уже обращают внимание на то, что наличие в учебниках большого количества готовых схем в отрезках ко многим задачам значимо не влияет на уровень сформированное™ умения решать задачи у школьников. Это объясняется тем, само умение строить графическую модель к задаче является базовым для обучения ее решению. Формировать это умение следует постепенно повышая уровень абстрактности используемой модели, переход от предметного моделирования сразу к абстрактной схеме в отрезках для многих детей слишком сложен. Опыт показывает, что даже для учителя составление схемы в отрезках для задач чуть более повышенного уровня сложности требует специального обучения.

Предлагаемый нами для 1 класса вариант схемы является намного более простым как в исполнении, так и для понимания ребенка, и не требует для начала даже обучения вычерчиванию отрезков и пониманию процесса суммирования отрезков, что необходимо для работы со схемой в отрезках. Использование этого варианта схемы позволяет знакомить детей с задачей в соответствии с программой традиционного учебника уже в начале 1 класса.