2. Методика работы с простыми задачами

Методически принято выделять следующие этапы работы над задачей на уроке:

I. Подготовительная работа.

II. Работа по разъяснению текста задачи.

III. Разбор задачи (анализ), поиск пути решения и составление плана решения.

IV. Запись решения и ответа.

V. Проверка или работа над задачей после ее решения.

Особенности каждого из этапов в процессе обучения решению простых задач обусловливаются тем, что простые задачи являются, с одной стороны, одним из средств формирования понятий о смысле арифметических действий, с другой стороны, являются подготовительной ступенью к обучению решению составных задач.

В связи с этим на подготовительном этапе к решению конкретной простой задачи необходимо предложить детям задание, позволяющее педагогу проверить, понимают ли ученики смысл действия, которое будут выполнять в задаче. Такая работа проводится либо на предметной, либо на схематической наглядности.

Сложение выступает как объединение двух множеств, не имеющих общих элементов, вычитание — как удаление части множества. Например, подготовительный этап к решению простых задач на нахождение суммы и остатка может содержать такие задания:

Педагог выставляет на фланелеграфе кружки разного цвета: красные, синие/зеленые и предлагает показать, сколько всего красных и синих. Затем педагог предлагает записать процесс нахождения количества красных и синих кружков с помощью математического выражения: 3 + 2, затем дети находят его значение. Чтобы исключить пересчитывание, работу можно организовать так: один ученик снимает с фланелеграфа сначала 3 красных кружка и кладет их в конверт, а затем 2 синих и кладет туда же. Другой ученик записывает математическое выражение, соответствующее выполненному действию, и находит его значение. Затем результат проверяется пересчитыванием.

Перед решением задач на нахождение остатка полезно провести работу с наглядностью, также убирая в конверт «уменьшаемое» и вынимая оттуда «вычитаемое», чтобы исключить пересчет и иметь возможность затем проверить полученный результат путем пересчета оставшихся в конверте предметов. При этом производимые действия полезно сопровождать обсуждением схемы

т. е. выяснить, какое число дети поставят в окошко, находящееся справа от знака «равно»; слева от знака «минус», справа от знака «минус».

Работа по разъяснению текста простой задачи заключается в том, что педагог выясняет все ли слова и обороты текста понятны детям. При решении задач на сложение и вычитание — это термины: старше—младше, дороже—дешевле и т. п.

Разбор задачи включает в себя поиск пути решения и составление плана решения задачи.

Подход к разбору может быть аналитическим (в начальной школе обычно говорят «от вопроса») и синтетическим («от данных»).

Приведем примеры обоих видов разборов.

В нашем городе было 10 школ, а в этом году построили новые школы и всего стало 12 школ. Сколько новых школ построили в этом году?

Разбор «от вопроса» (аналитический):

— Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Нужно знать, сколько школ было и сколько стало.)

— Известно в задаче, сколько школ было? (Известно: 10.)

— Известно в задаче, сколько школ стало? (Известно: 12.) На сколько больше школ стало? (На 2.) Значит, сколько их построили? (2 школы.) Как нашли 2 школы? (12 - 10.)

— Запишем решение: 12-10 = 2 (шк.). Разбор «от данных» (синтетический):

— Что известно в задаче? (Что школ было 10, а стало 12.)

— Можно ли узнать, на сколько больше их стало, используя эти данные? (Можно: 12 -10.)

— Значит, сколько школ построили? (2 школы.)

— Запишем решение: 12 — 10 = 2 (шк.).

Педагоги часто пользуются аналитическим методом разбора задачи уже на начальном этапе обучения решению простой задачи. С точки зрения психологии это не совсем верно, так как в возрасте 6—8 лет формирование способности к синтезу у ребенка несколько опережает формирование способности к анализу. В связи с этим в 1—2 классе ребенку легче освоить синтетический способ разбора задачи, особенно, если он сопровождается наглядной интерпретацией или графической схемой.

К данной задаче можно было бы дать различные наглядные интерпретации:

или

10

?

12

Анализ наглядной интерпретаций непосредственно «подводит» к выбору действия в задаче.

Запись решения и ответа — может проводиться различными способами: ₍

1) по действиям без пояснения — в этом случае пишут полный ответ;

2) по действиям с пояснением — в этом случае пишут краткий ответ;

3) выражением (в составной задаче);

4) по действиям с вопросами;

5) в случае решения задачи с помощью уравнения, пишут постепенную запись уравнения с пояснениями.

Например:

Маляру надо покрасить в одной квартире 6 дверей, а в другой — 4. Он покрасил 7 дверей. Сколько дверей осталось покрасить маляру?

Запись решения по действиям:

1)6 + 4-10 (д.)

2) 10-7 = 3 (д.)

Ответ: осталось покрасить 3 двери.

Запись решения по действиям с пояснением:

1)6 + 4 = 10 (д.) — нужно покрасить

2)10-7 = 3(д.) — осталось покрасить Ответ: 3 двери.

Запись решения выражением:

(6 + 4)-7 = 3(д.)

Ответ: осталось покрасить 3 двери.

Запись решения по действиям с вопросами:

1. Сколько дверей нужно покрасить всего? 6 + 4 = 10(д.)

2. Сколько дверей осталось покрасить?

10-7 = 3 (д.) Ответ: 3 двери.

Запись решения постепенным составлением уравнения с пояснением:

х — дверей осталось покрасить

7 + х — всего дверей

6 + 4 — всего дверей

Количество дверей равное. Составим уравнение:

#+7=6+4

#+7=10

#=10-7 х=3

Ответ: 3 двери.

Работа над задачей после ее решения заключается в следующем:

1) если задача записывалась по действиям, то запись решения выражением (в составной задаче);

2) проверка решения;

3) решение другим способом (в составной задаче);

4) варьирование данных, условия и вопроса;

5) составление обратной задачи.

Рассмотрим эти виды работы над задачей после ее решения: Запись решения выражением не является другим способом ее решения, а всего лишь другой формой ее записи, поэтому формулировать задание следует соответствующим способом: «Запишем решение задачи в другой форме: выражением».

Проверка решения задачи проводится с целью установления его правильности. В начальных классах используются следующие способы проверки:

1) прикидка ответа — установление возможных границ значений искомого, прикидка проводится до начала решения задачи. Например:

У пруда росло 9 осин и берез. Осин было 4. Сколько было берез?

8 данной задаче целесообразно провести прикидку, поскольку типичной ошибкой является сложение данных 9 + 4. Прикидка проводится следующим образом:

— Что означает число 9? (Это осины и березы.)

— Количество берез по отношению к числу 9 должно быть больше или меньше? (Меньше, потому что березы — это часть от 9 деревьев.)

После решения задачи перед записью ответа соотносят полученный ответ с «прикинутым»:

Полученный ответ больше или меньше 9? (Меньше, значит соответствует прикидке.)

2) установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и числами, данными в условии (этот способ можно назвать подстановкой): для данной задачи это будет выполнение действия 5 + 4 = 9 (д.);

3) решение задачи другим способом — возможно только при проверке составных задач, допускающих различные способы решения: если при решении задачи другим способом ответ совпадает, значит, задача решена верно;

4)решение обратной задачи — при этом должны получиться данные в условии прямой задачи числа.

Для простой задачи этот способ практически совпадает со способом 2), но сопровождается составлением текста обратной задачи.

Варьирование (т. е. изменение) данных, условия и вопроса является наилучшим развивающим приемом (наряду с проверкой) на этапе работы над задачей после ее решения. Постоянное использование этого приема помогает детям лучше осознать ситуацию, предлагаемую в задаче, установить не только связь между данными и искомым, но и их взаимозависимость в динамике; учит ребенка не относиться к решению задачи формально, учит элементам поиска и творчества в процессе решения задачи. Варьирование вопроса в некоторых простых задачах органично подводит к знакомству с «составной задачей».

Варьирование данных и искомого постепенно приводит к умению составлять обратную задачу. Например, в задаче, рассмотренной выше (о школах), эту работу можно было провести так:

— Как изменилось бы решение задачи и ее ответ, если бы в городе было 8, 5, 3 школы?

— Как бы мы решали задачу, если бы ее условие звучало так: «В нашем городе было 10 школ, а в этом году построили новые школы. Сколько стало школ в городе?»

После того как выясняется, что данных не хватает, учитель спрашивает:

— Какое еще данное нам нужно, чтобы можно было ответить на вопрос задачи? (Сколько школ построили?) Добавим данное. Как теперь звучит условие задачи? Можно теперь ответить на ее вопрос? Что для этого надо сделать?

В процессе такой работы постепенно формируется умение составлять обратные задачи. Особенно важна работа после решения в простых задачах на умножение, так как эти задачи являются первыми шагами на пути формирования понятия о прямой и обратной пропорциональной зависимости (т. е. понятия функция). Поэтому после решения такой задачи крайне важно поработать над ней, варьируя данные и искомое, чтобы дети хорошо поняли, что при увеличении одного увеличивается другое или наоборот.

Приведем примеры вариантов варьирования после решения задачи:

У пруда росло 9 осин и берез. Осин было 4. Сколько было берез?

После решения этой задачи полезно провести варьирование данных с целью повторить состав числа 9: Что изменилось бы, если бы осин было 3? 5? 8?

Слава принес в класс 7 рисунков, а Павлик на 4 рисунка меньше. Сколько рисунков принес Павлик?

После решения этой задачи полезно провести варьирование условия: Что нужно изменить в условии, чтобы задача решалась сложением?

Можно провести варьирование вопроса: что изменится в решении задачи, если вопрос будет таким: «Сколько рисунков они принесли вместе?» Или: «Измените вопрос так, чтобы задача решалась двумя действиями».

Бабушка надоила 12 литров молока и разлила его в банки по 3 литра в каждую. Сколько банок потребовалось?

Емкость банки и количество банок находятся в обратно-пропорциональной зависимости: чем больше емкость банки, тем меньше понадобится банок. Эту зависимость и нужно подчеркнуть при варьировании данных в задаче после ее решения. Можно оформить эту работу в таблице:

На одно детское платье расходуют 2 метра ткани. Сколько метров ткани пойдет на 3 таких платья?

Расход ткани и количество платьев находятся в прямо пропорциональной зависимости: чем больше платьев, тем больше расход ткани. Эту зависимость нужно подчеркнуть при варьировании данных в задаче после ее решения. Можно оформить эту работу в таблице:

Рассмотренные в данном параграфе пять этапов работы над задачей являются этапами работы учителя при работе над задачей. Не следует смешивать эти этапы с приемами самостоятельной работы ребенка над задачей. Приемы методической деятельности учителя на уроке на различных этапах работы над задачей, безусловно, являются формирующими определенные понятия и способы действий у ребенка. Однако при самостоятельной работе ребенка над задачей дома или на контрольной, ему необходимо хорошо уметь:

1) читать текст задачи, понимая смысл прочитанных фраз;

2) моделировать (в том или ином виде) заданную в задаче ситуацию; при этом важно то, что модель не должна быть формальной (модель ради модели никому не нужна), а должна «указывать» на способ решения задачи;

3) составлять математическое выражение, соответственно смыслу ситуации (выбор действия);

4) оформлять запись решения и ответа;

5) контролировать результат (понимать, что ответ лучше проверить, и владеть способами проверки ответа задачи).

Наиболее сложными для ребенка являются умения 2 и 5, однако именно сформированность этих умений будет гарантировать то, что ребенок будет решать ее не путем «вспоминания» заученного способа решения задачи такого типа, а подходя к любой задаче в общем как к объекту, требующему выполнения перечисленных выше действий.