2. Приемы моделирования при обучении решению простых задач

Подготовительным этапом по формированию у ребенка умения моделировать ситуацию задачи, а затем описывать ее с помощью математических символов является обучение выполнению действий с предметными совокупностями таким образом, чтобы действия ребенка соответствовали смыслу ситуации, предлагаемой условием задачи. То есть самым простым способом моделирования задачи является моделирование на предметной наглядности. Этим способом учитель может пользоваться на начальных этапах обучения решению задач, поскольку в этот период особенно валено правильное понимание смысла действия, а смысл действия удобнее всего проиллюстрировать наглядно. Такое моделирование является доступным практически всем детям, и они с удовольствием пользуются им самостоятельно. Если при использовании этого приема моделирования исключается возможность пересчитывания, такая работа является первым шагом на пути обучения ребенка общему умению решать задачи.

Рассмотрим задачу:

В аквариуме плавали рыбки. Когда 3 рыбки вынули, там осталось б рыбок. Сколько рыбок было в аквариуме сначала?

Обычно такие задачи вызывают у детей затруднения, так как слова «осталось», «вынули» ассоциируются у них с уменьшением, а потому дети могут предложить такое решение: 6-3 = 3.

Наглядное предметное моделирование будет особенно полезным. Сделать это можно следующим образом. Учитель складывает в небольшую коробку стопку открыток с рыбками так, чтобы дети не смогли их пересчитать.

Один ученик берет из коробки 3 открытки. Другой ученик пересчитывает оставшиеся открытки. (Их 6.)

Учитель спрашивает первого ученика:

— Сколько рыбок ты взял? (3)

— А сколько рыбок осталось? (6)

— Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько их было в коробке сначала? (Нужно 3 положить обратно в коробку.)

— Каким же действием мы обозначим то, что выполнили? (Сложением.) Запишем действие: 6 + 3 = 9.

Проведенное таким образом предметное моделирование позволяет после решения данной задачи провести проверку наиболее адекватным для этого периода обучения способом: дети пересчитывают все открытки, вынимая их из коробки, и убеждаются в правильности найденного ответа.

Предметное моделирование — лучший способ организации деятельности учеников на этапе формирования понятия о смысле арифметического действия. Однако пользоваться этим приемом постоянно и на этапе формирования умения решать простые задачи не стоит по причинам, которые были приведены выше. Целесообразнее постепенно заменить предметную наглядность другим способом моделирования простой задачи — схематическим моделированием (упрощенный вариант графической модели).

Поскольку на этом этапе модель должна помочь учителю научить ученика правильному ходу мысли при выборе действия, она должна визуально соответствовать характеру этого действия, отражать структурные связи между его компонентами (сложение — объединение двух множеств, не имеющих общих элементов; вычитание — удаление части множества).

В предлагаемом способе схематического моделирования схема, соответствующая действию сложения, выглядит так:

Схема, соответствующая действию вычитания, выглядит так:

Такой рисунок предельно прост в исполнении, посилен для любого ребенка, нагляден и, кроме того, вызывает у детей положительные эмоции: дети с удовольствием составляют схемы из готовых деталей на фланелеграфе (карточек с цифрами и стрелок из бархатной бумаги), рисуют их на доске и в тетради без затруднения, поскольку для этих рисунков достаточно того уровня умения рисовать, которым обладает даже самый слабо подготовленный ребенок шести лет.

Главным достоинством такой схемы с математической точки зрения является то, что она визуально и по смыслу точно отражает характер операций сложения (объединения) и вычитания (удаление части).

Такая схема удовлетворяет также всем требованиям, предъявляемым к модели: отражает количественные соотношения ситуации, предлагаемой в задаче, показывает в явном виде связи между данными и искомыми, что позволяет ученику легко сориентироваться в выборе действия. Объясняя свои действия при составлении схемы, ученик привыкает описывать ход мысли словами, что является базой для формирования умения анализировать задачу (а также развития словесно-логического мышления).

Для формирования умения составлять схему действия полезны такие упражнения:

На полке стояли 6 книг, две книги девочка взяла. Осталось 4 книги.

Учитель предлагает детям записать этот рассказ с помощью математических символов. Дети записывают равенство: 6 - 2 = 4.

- Я запишу этот рассказ по-другому. Как вы думаете, будет эта запись соответствовать нашему рассказу? (Да.)

— Можно ли по этому рисунку (назовем его схемой) составить другой рассказ - про морковки, про зайчиков, про солдат..?

При обсуждении вариантов, предлагаемых детьми, их внимание обращается на то, что все рассказы похожи друг на друга по смыслу изменений (удаление части множества). Проводя работу со схемой для разбора ситуации простых задач, очень удобно пользоваться фла-нелеграфом: из отдельных деталей (чисел на карточках и стрелок из бархатной бумаги) можно собрать схему любой ситуации.

Затем учитель спрашивает:

— Можно ли составит по этой же схеме такой рассказ: «Ваня нашел 2 гриба, а Петя - 4. Вместе у них 6 грибов».

Дети обычно сразу чувствуют разницу между этими рассказами и обращают внимание на направление стрелок в схеме: схема, соответствующая процессу объединения, не может содержать стрелок, направленных наружу. Дети говорят обычно: «Нельзя, потому что этот рассказ (на вместе). В процессе обсуждения составляется схема другого вида, причем эта работа вызывает у детей большой интерес, воспринимается как своеобразная игра. Схема, моделирующая объединение, выглядит так:

Затем предлагается этот же рассказ записать с помощью математических символов: 4 + 2 = 6.

Можно поступить иначе: предложить детям сразу две готовые схемы на доске и спросить, какую они выберут к предложенному рассказу, а затем обсудить разницу между схемами. После этого следует проиллюстрировать тот же рассказ на наборном полотне, на фланелеграфе.

— Покажите, какие грибы нашел Ваня? Какие — Петя? Что нужно сделать, чтобы узнать, какие грибы они собрали вместе? (Надо к Петиным придвинуть Ванины или наоборот.)

— Каким действием можно записать то, что мы выполнили? ( Сложением.)

Так, упражняясь в течение нескольких уроков в переводе реальных ситуаций на язык схем, а затем символов, и обратно, ученик постепенно постигает при этом главное: смысл происходящих изменений не зависит от способа описания, одно и то же событие можно описать с помощью различных символов (цифр, знаков, квадратиков, стрелок).

Основное внимание следует обратить на то, чтобы ученики научились описывать ситуацию с помощью равенства, переводить схему в равенство и равенство — в схему. Так, по схеме:

можно составить два равенства, т. е. нужно ввести в схему знак действия. В зависимости от того, где мы его поставим, получим запись действия. Соответственно изменится и условие (и наоборот). Например:

Было 5 квадратов. Из них 2 красных, а 3 синих. Запись: 5 — 2 = 3

Было 5 квадратов. Из них 3 синих, а 2 красных. Запись: 5 — 3 = 2

Дети очень легко и быстро усваивают данную символику и через 2-3 урока свободно читают любую из приведенных схем_т Если работу по формированию понятия о конкретном смысле действий сложения и вычитания сопровождать не только выполнением упражнений с предметными совокупностями, но и научить детей переводу реальной ситуации на язык схематической записи, то в дальнейшем ввести понятие «задача» можно также сразу с опорой на схему. Делается это следующим образом. Учитель предлагает составить рассказы по двум схемам:

Первая схема уже привычна, составить по ней рассказ детям несложно. Вторая же схема вынуждает ввести вопрос: «Сколько?..» и тогда уже рассказ превращается в задачу. Поскольку структурные связи в схеме не изменились, арифметическое действие, соответствующее ситуации «на удаление», по-прежнему ассоциируется со схемой такого вида. Знак действия на схеме можно обозначить:

При этом знак действия должен появляться на схеме только после расстановки стрелок: стрелка ведет за собой знак. Поэтому, с одной стороны, структура схемы соответствует математическому смыслу ситуации (объединение, удаление, увеличение на ...), а с другой, — направляя ход мысли ребенка, помогает на следующем шаге составить символическую (математическую) запись действия.

Рассмотрим задачу:

Дети посадили у школы 6 липок и 4 березки. Сколько всего деревьев посадили у школы?

Обычно такие задачи не вызывают у детей затруднения, так как слова «вместе», «всего» ориентируют их на объединение данных в условии множеств предметов. Составляя на фланелеграфе или рисуя на доске схему к такой задаче, учитель полностью предоставляет всю деятельность ребенку у доски. Независимо от того, насколько хорошо ребенок пишет или читает, умеет ли писать на доске — числа, стрелки и знаки используются изображенные на карточках, крепятся они либо на фланелеграф, либо на доску. Учитель предлагает ученику сначала обозначить числами 6 липок и 4 березки, а затем спрашивает:

— Знаем ли мы, сколько всего деревьев посадили дети у школы? (Нет, не знаем.)

— Давайте обозначим эти деревья знаком ® А теперь покажите стрелками, какие деревья посажены у школы. (Ученик ставит стрелки.)

— Какое же действие мы должны выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи? (Мы должны прибавить, сложить.)

На схему прикрепляется (рисуется) знак и она приобретает вид:

Записывается решение: 6 + 4=10 (д.).

Рассмотрим еще одну задачу:

Юра увидел на березе 7 грачей. Потом 3 грача улетели. Сколько грачей осталось на березе?

Такая задача тоже не будет вызывать трудностей при составлении схемы, так как в тексте имеется слово «улетели». Слова «улетели», «унесли», «продали» и т. п. прямо ориентируют детей на удаление части, уменьшение исходного множества предметов.

Работу можно провести следующим образом: после чтения текста задачи учитель предлагает ученику зафиксировать ее данные на фланелеграфе (на доске).

— Сколько было грачей на березе? (7.)

— Обозначь число грачей цифрой. (Ученик крепит на фланелеграфе карточку с числом 7.)

— Сколько грачей улетело? (3.)

— Обозначь число улетевших грачей. (Ученик ставит карточку с числом 3.)

- Как показать на схеме, что эти грачи улетели? (Можно показать это стрелкой.)

- Поставь стрелку так, чтобы было видно, что эти грачи улетели, что их нет. (Ученик ставит стрелку.)

— Почему ты поставил стрелку так, а не наоборот? (Потому, что они улетели, значит, стрелка должна показывать наружу, прочь от семи...)

— Что спрашивается в задаче? (Сколько грачей осталось на березе.)

— Знаем мы, сколько их осталось? (Нет.)

— Как это показать на схеме? Какой символ поставить? (Ученик ставит символ: Q))

— Покажи на схеме, какие птицы были на березе сначала. (Ученик показывает на карточку с числом 7.)

— Покажи птиц, которые улетели. (Ученик показывает на карточку с числом 3.)

— Покажи птиц, которые остались, как они у нас обозначены? (Ученик показывает на карточку со знаком вопроса.)

— Как можно показать на схеме, что мы будем искать число оставшихся птиц? (Можно показать стрелкой.)

Ученик ставит стрелку, и схема приобретает вид:

— Как же узнать, сколько птиц осталось, если мы знаем, сколько их было сначала и сколько улетело? (Надо отнять.) На схему прикрепляется знак:

В таком виде схема является одновременно планом решения. Записывается решение: 7-3 = 4 (гр.).

После решения этой задачи полезно выполнить такое изменение схемы (карточки просто переставляются, а стрелки разворачиваются):

— Будет ли такая схема соответствовать этой задаче? (Нет, не будет, потому что стрелки сходятся к вопросу, значит, задачу, изображенную этой схемой, надо решать сложением.)

— Придумайте задачу или измените условие этой же задачи так, чтобы она соответствовали этой схеме, и решите ее. Запишите решение.

Дети предлагают свои варианты условия, затем записывают решение и находят ответ: 7 + 3-10. Такое упражнение способствует формированию обратного хода мысли, т. е. развивает гибкость мышления.

Приведенные выше задачи содержат прямое указание в тексте на выбор действия. Рассмотрим методику обучения приемам схематического моделирования на задачах других типов.

В классе было 10 мальчиков, а в этом году пришли новые мальчики, и всего стало 12 мальчиков. Сколько новых мальчиков пришли в класс в этом году?

В вопросе задачи отсутствует указание на выбор действия, а слова «пришли», «всего стало» часто ассоциируются у детей с увеличением, поэтому они могут предложить решить ее так: 10 + 12 = 22.

Чтобы предупредить эту ошибку, составление схемы нужно начинать одновременно с разбором текста:

— Сколько мальчиков было в классе? (Десять.) Обозначим число этих детей. (Ученик ставит карточку с числом 10.)

— Сколько новых мальчиков пришли? (Этого мы не знаем.)

— Каким символом обозначим на схеме число новых мальчиков? (Ученик ставит карточку со знаком вопроса.)

— Сколько мальчиков стало в классе? (Двенадцать.) Обозначим это количество на схеме. (Ученик ставит карточку с числом 12 ниже первых двух.)

Схема приобретает вид:

Затем учитель просит ученика показать на схеме, сколько мальчиков стало в классе и как обозначены новые дети. Ученик показывает на соответствующие карточки с числами и символом (движение руки ребенка от числа 12 к вопросу: ученик движением руки как бы предваряет направление стрелки, и это движение рука уже будет «помнить»).

— Как показать с помощью стрелки, что из всех мальчиков в классе нам нужны только те мальчики, которые вновь пришли? (Ученик ставит стрелку.)

— Как показать р помощью стрелки, что количество мальчиков, которые раньше были в классе, уже известно и их учитывать не нужно? Ученик ставит стрелку:

— Если мы знаем, сколько мальчиков в классе теперь и сколько их было раньше, можно ли узнать, сколько их пришло вновь? (Да, можно. Надо отнять.)

На фланелеграфе крепится знак действия и записывается решение: > ^у

12 -10 = 2 (м.).

Фактически последний вопрос дублирует схему, которая в таком виде является планом решения, но он полезен, так как приучает детей к грамотному построению вопроса «от данных».

Если учитель планирует самостоятельное решение задачи по схеме, то после ее составления учащимся предлагается записать решение в тетради. При этом учитель не задает вопроса, наводящего на выбор действия, а учащиеся руководствуются только схемой. Пояснение выбора действия проводится учащимися после записи решения.

Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько карандашей взяли из коробки?

Наличие в тексте слов «взяли» может сориентировать ребенка на действие вычитания. Работа со схемой исключит эту ошибку. Удобно использовать прием чтения текста по частям с последовательным фиксированием данных. Учителю непривычна эта рекомендация, поскольку методический стереотип действий требует сначала прочитать задачу целиком, чтобы дети «представили ситуацию». О возможностях детей этого возраста правильно представить ситуацию по словесной модели мы говорили в предыдущему параграфе. Используя прием «неполное чтение», учитель экономит время урока и сразу после первого прочтения получает на доске схему ситуации, с которой можно работать с опорой на визуальное восприятие.

Читаем с детьми текст только «до первого данного», его сразу фиксируем карточкой на фланелеграфе. Затем читаем «до второго данного», фиксируем его на фланелеграфе. Читаем вопрос, фиксируем на фланелеграфе символ вопроса. Таким образом, после первого прочтения на доске уже есть «каркас» схемы. Анализ можно провести по этому «каркасу»:

— Что требуется узнать в задаче? Какой знак на схеме означает все взятые карандаши?

— Покажите, какие карандаши взяли сначала? Где они теперь? (Ребенок показывает рукой направление от числа 6 к знаку вопроса, это направление закрепляется постановкой стрелки.)

— Покажите, какие еще карандаши взяли? Где они теперь? (Аналогично ставится вторая стрелка.)

— Какое действие обозначено стрелками на схеме? Почему сложение? (Стрелки сходятся к вопросу.)

Ставится знак действия и решение может быть записано самостоятельно.

Отметим еще одно преимущество такого подхода: поскольку читать «за один раз» ребенку приходится очень маленький кусочек — буквально 3—4 слова, к этой работе можно сразу привлекать любого ребенка, даже плохо читающего — такой «кусочек» сумеет прочитать и понять даже он. Таким образом, удается разорвать «замкнутый круг»: для чтения задачи учитель обычно привлекает сильных, хорошо читающих детей, в результате именно они каждый раз дополнительно тренируются в чтении и осмыслении текста задачи, хотя и так обычно хорошо с этим справляются.

Среди простых задач, решению которых обучаются учащиеся, большую долю составляют задачи, в которых требуется либо увеличить (уменьшить) множество на несколько единиц, либо сравнить два множества для выяснения, которое из них больше (меньше) и на сколько (разностное сравнение). Рассмотрим задачи этого вида.

Подготовительная работа к задачам такого вида обычно проводится на предметной наглядности: поставь кружков на два больше, чем квадратов, на 3 меньше... и т. д. В процессе выполнения таких заданий учащиеся должны усвоить смысл понятий «больше на» и «меньше на». Психологически трудность решения задач такого вида заключается в том, что явно задано только одно множество, второе же следует восстановить по его характеристическому свойству: оно «больше данного на...» (меньше на...). Поэтому, выполняя задание «Положите на парту 3 квадрата, а кружков на 2 больше, чем квадратов», следует основное внимание обращать на первый этап этого сравнения: кружков надо сначала положить столько же_} сколько и квадратов, а потом увеличить их количество на 2 {столько же и еще 2).

В процессе выполнения таких заданий учащиеся усваивают, что «увеличение на» связано со сложением, а «уменьшение на» связано с вычитанием.

Спустя несколько уроков вводятся схемы, соответствующие ситуациям «уменьшение на» и «увеличение на». Для того, чтобы процедура ввода новых схем не была однообразной, их можно ввести через игру «Математическая машина»:

В пустом квадратике помещаются числа, которые «машина» уменьшает или увеличивает. Эти «машины» удобны на устном счете при отработке вычислительных приемов: +1, -1, +2, -2... При работе с такой схемой важно обсудить с учениками вопрос о том, что стрелка в данном случае показывает на то число, которое надо найти в результате. Это число обозначено символом: (?) Используя эти схемы, учитель предлагает задания: «Найдите соответствующее число для 3, 2, 5 по заданному принципу».

Рассмотрим задачу, соответствующую ситуации «уменьшение на»:

В саду собрали 5 кг смородины, а малины на 2 кг меньше. Сколько килограммов малины собрали в саду?

После чтения задачи ее данные фиксируются в схеме:

— Сколько собрали смородины? (5 кг.) Давайте это запишем (обозначим).

Ученик либо ставит на фланелеграфе карточку с числом 5, либо делает на доске запись:

— Сколько собрали малины? (Этого мы не знаем.) Давайте обозначим на схеме, что это нам неизвестно.

Ученик ставит карточку со знаком вопроса или рисует: (?)

— Что требуется найти в задаче? (Сколько собрали малины.) Покажите стрелкой, что нужно найти:

— Что сказано в условии про количество малины? (Сказано, что малины на 2 кг меньше, чем смородины.)

Учитель показывает детям, как это дополнительное условие надписать над стрелкой:

— Почему стрелка показывает на знак вопроса? (Потому что это у насмолит, а ее на 2 кг меньше, чем смородины)

— Как найти, сколько собрали малины? (Надо отнять: 5 (1хему можно дополнить знаком:

В таком виде схема выполняет роль плана решения. После за-миси решения и ответа полезно провести дополнительную работу, используя возможности работы со схемой.

Можно, например, предложить детям такую схему:

— Похожа ли задача, решаемая с помощью этой схемы, на предыдущую? Чем эти задачи похожи, чем различаются?

Такое упражнение способствует формированию умения сравнивать: находить общее и различное. Можно отметить, что дети легко «расшифровывают» язык схем, им даже не требуются к этому времени обучающие объяснения учителя, они сами легко догадываются о смысле используемой схематической символики (что полностью соответствует психологическому «портрету» шестилетки: символизация окружающей действительности — характерное свойство их восприятия и мышления).

Использование на задачах такого типа приема изменения данных (следует изменять данное, записанное в квадратике, оставляя неизменным характеристическое свойство, помогающее найти неизвестное число) является подготовительным к формированию понятия о функциональной зависимости. При выполнении такой работы особенно важно обращать внимание детей на следующие моменты:

1) Число в «окошке» можно менять как угодно, если правило нахождения неизвестного задано словами «на ... больше».

2) Если правило задано словами «на... меньше», необходимо следить, чтобы уменьшаемое было не меньше вычитаемого (фактически такая работа является исследованием области допустимых значений).

3) Если задано правило, то всегда можно найти число, соответствующее данному, и оно всегда будет больше на (меньше на...) столько, на сколько указано в правиле.

Время от времени полезно предлагать детям задания, требующие от них не только составления схем по текстовому условию или придумывания задач по предложенным схемам, но и задания на классификацию с использованием схем.

Для этого учитель рисует на доске несколько схем, структурно различных, но с одинаковыми числами:

одной предлагаются тексты задач и по мере чтения текстов им нужно выбрать схему, помогающую решить задачу, объясняя при этом свой выбор.

1. У Вани было 3 тетради в клетку, а 5 в линейку. Сколько у него было тетрадей? (Схемы а, г.)

2. У Вани было 5 тетрадей. 3 из них были в клетку, а остальные в линейку. Сколько тетрадей было в линейку? (Схемы б, в.)

3. Папа купил тетради. 3 тетради он отдал Ване, 5 оставил себе. Сколько тетрадей купил папа? (Схемы а, г.)

4. У Вани было 5 тетрадей в клетку, а в линейку на 3 меньше. Сколько тетрадей было в линейку? (Схема е.)

Так как в схемах использованы одинаковые числа, для распознавания подходящей к каждой задаче схемы ученик должен обращать внимание на характер связей между данными искомыми. Умение обращать внимание прежде всего на характер этих связей является базой для формирования общего умения решать задачи.

Рассмотрим последний вариант простых задач на вычитание.

Задачи на разностное сравнение двух множеств в учебниках относят обычно на более поздний период, предлагая решать их значительно позднее задач типа: «увеличить на...», «уменьшить на...», хотя психологически они более просты для понимания: в них сравнивается два явно заданных множества. Схема к ним выглядит так:

Основная трудность для учащихся при решении задач данного вида заключается в том, что все они решаются с помощью действия вычитания (хотя в вопросе может быть и «на сколько больше» и «на сколько меньше»). Прежде чем приступить к решению таких задач, учитель должен провести большую подготовительную работу с привлечением предметного наглядного материала. Такую работу следует проводить параллельно с подготовительной работой к решению задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, так как задачи этих видов являются взаимообратными.

Полезны такие упражнения с использованием модели числового луча или числового ряда:

У мухи б ног, а у паука на 2 ноги больше. Сколько ног у паука?

Учитель предлагает показать на числовой оси отрезок, соответствующий количеству ног у мухи. Ученик помечает его дугой.

— Что нужно сделать, чтобы показать на рисунке, что у паука ног на 2 больше? (Добавить еще 2 единицы.)

Ученик дополняет рисунок, показывая дугой еще 2 единицы.

— Сколько ног у паука? (8.)

Задача решена с опорой на модель числовой оси (или числовой ряд). Ее решение фиксируется в записи: 6 + 2 = 8.

У кого ног больше: у двух собак или у одного паука?

Учитель предлагает провести аналогичную работу с использованием числовой оси (или числового ряда).

Сравнивания длины отрезков числовой оси, дети записывают решение: 4 + 4 = 8 — ног у двух собак; 8 = 8.

Ответ: ног одинаково у двух собак и у одного жука.

У кого ног больше у трех кур или у двух собак?

Соотнеся оба количества с полученными схематическими рисунками, дети могут дать ответ на вопрос задачи:

10 11

(У двух собак ног больше.)

— Почему вы думаете, что у двух собак ног больше? (Их 8, отрезок на оси длиннее.)

— На сколько их больше? (На 2.) Как и вы это определили? Ответы могут быть разными: видно по рисунку, 8 больше 6 на 2,

8 это 6 и 2. Важно, чтобы выполнение заданий такого вида сопровождалось работой с моделью. Дело в том, что к тому моменту, когда начинают решать такие задачи, дети уже хорошо знают состав числа и часто дают ответ автоматически, не задумываясь над проблемой выбора действия. Образ процесса сравнения как сравнения отрезков

числовой оси (или числового ряда) будет фиксироваться у ребенка и закрепляться как визуально, так и через движение руки (по дуге или по оси), и закрепляться записью действия. Такие упражнения являются подготовительными и для введения схемы.

У клоуна б колец и 4 шляпы. На сколько колец больше, чем шляп?

После чтения (дли во время чтения) задачи ученик, вызванный к доске, фиксирует ее данные:

— Чего больше, колец или шляп? (Колец больше, их 6.)

— Давайте покажем стрелкой, что требуется найти, на сколько колец больше. Ученик рисует стрелку и подписывает требование. Схема приобретает вид:

— На сколько колец больше? (На 2.)

— Как нашли? (Отняли: 6 - 4.)

— С помощью какого действий решается данная задача? (С помощью вычитания.)

Сама структура схемы уже не позволит ребенку бездумно выполнить сложение, а заставить задуматься и вспомнить, как записать сравнение чисел. Можно добавить к схеме знак:

В таком виде она выполняет роль плана решения.

Основной факт, который должны осознать дети, заключается в том, что для нахождения результата при сравнении чисел используется вычитание. Поэтому после решения данной задачи полезно предложить следующее задание.

Учитель рисует на доске схему:

и проводит, например, такую беседу:

— Могу ли я использовать к этой схеме условие предыдущей задачи? (Да.)

— Можно ли поставить тот же вопрос к этой схеме? (Нет, стрелка показывает на меньшее число.)

— Как должен звучать вопрос к такой задаче? (На сколько меньше шляп, чем колец?)

Учитель дополняет схему:

— На сколько шляп меньше? (На 2.)

— С помощью какого действия можно это найти? (Вычитания.) Схема дополняется знаком и записывается решение: 6 — 4 = 2 (ш.).

При решении таких задач анализ выбора действия был проведен после того, как дети дали ответ. На этапе обучения решению простых задач такое нарушение последовательности этапов решения задачи вполне правомочно. Причины заключаются в том, что, решая простую задачу с вычислениями в пределах 10, дети зачастую пользуются знанием состава чисел и дают ответ, не задумываясь над выбором действия. Не мешая ребенку быстро решить задачу (это поддерживает положительное отношение ученика к процессу решения), учитель помогает ему проанализировать готовые решения и обосновать выбор действия. В более сложных задачах этот этап, естественно, проводится раньше, так как цель анализа — выбор действия.

На столе 8 стаканов, это на 3 больше, чем чашек. Сколько чашек на столе?

Задачи такого вида представляют для учеников очень большую трудность, так как слова «на 3 больше» не соответствуют смыслу действия, которым решается задача. Такие задачи, где смысл действия не совпадает с имеющимися в условии характерными словами («больше», «отдали», «вынесли», «меньше» и т. д.), называются косвенными. Для того чтобы правильно выбрать действие, при их решении надо осознать смысл связей между данными и искомым, абстрагируясь от используемой в тексте лексики.

Основными приемами при решении таких задач являются моделирование и переформулировка в процессе анализа:

— О чем говорится в задаче? (О стаканах и чашках.)

— Сколько стаканов на столе? (8.)

Ученик обозначает число стаканов карточкой с цифрой 8.

— Сколько чашек? (Это неизвестно.) Ученик обозначает число чашек символом

На доске появляется «каркас» схемы:

— Что сказано о чашках? (О них ничего не известно, их число надо найти.)

— А что сказано о стаканах? (Сказано, что их на З больше, чем чашек.)

— Я дополню схему этой информацией, а вы скажете, чего еще не хватает в нашей схеме.

Учитель дополняет схему:

Дети замечают, что на этой схеме нет стрелки, поэтому непонятно, к чему относится запись «на 3 больше».

— Чего было «на 3 больше»? (Стаканов.)

— Давайте обозначим на схеме, что слова «на 3 больше» относятся к стаканам.

Ученик обозначает направление стрелки:

— Теперь видно, какое число «на 3 больше»? (Видно.)

— Если это число (учитель показывает рукой на число 8) на 3 больше, то что можно сказать об этом числе (учитель показывает на число, обозначенное знаком вопроса)? Что можно сказать о числе чашек? (Оно должно быть на 3 меньше.)

— Если я изменю схему таким образом (учитель рисует рядом новую схему), какое условие нужно будет написать над стрелкой:

В результате перформулировки задачи схема приобретает знакомый вид: стрелка указывает на число, которое надо найти, а информация над стрелкой указывает на способ его отыскания (задача в таком виде превращается из косвенной в прямую), что помогает детям легко справиться с задачей:

— С помощью какого действия можно его найти? (Вычитанием: 8-3.)

Этот прием на первых порах помогает детям осознать возможность перевода обратного хода мысли в прямой и наглядно отразить этот перевод в виде изменения в схеме.

Рассмотрим еще одну косвенную задачу:

Саша купил булочку за 7 рублей и у него осталось 8 рублей. Сколько рублей было у Саши?

При работе над задачей можно использовать прием чтения по частям: схема составляется не после чтения текста, а во время его чтения. Например, один ученик читает: «Саша купил булочку за 7 рублей».

Другой ученик рисует или ставит карточку:

Ученик читает дальше: «У него осталось 8 рублей».

Ученик у доски ставит карточку:

— Сколько рублей было у Саши? (Этого мы не знаем, значит обозначим: ? )

Обозначения данных и искомого лучше сразу разносить: слева — данные, справа — искомое (или сверху — данные, ниже — искомое и т. п.). Тогда схема визуально отражает и структуру задачи: условие с данными и вопрос с искомым.

Таким образом, к тому моменту, как задача прочитана в первый раз, в тетради (на доске) появляется «каркас» схемы:

Разбор задачи выполняется уже по схеме (к тексту обращаться только в случае каких-то неясностей).

— Что обозначает число 7? Число 8?

— Какие деньги мы обозначили знаком вопроса? Анализ удобнее всего выполнять от данных к вопросу:

— Эти (учитель показывает на карточку с числом 8) деньги у Саши были сначала? (Да.) Как это показать с помощью стрелки?

— А эти (показывает на карточку с числом 7) деньги у него были? (Да.) Как поставим стрелку?

Теперь схема имеет вид:

Схема такого вида соответствует операции сложения, поэтому можно задать вопрос: «С помощью какого действия найдем, сколько денег было у мальчика сначала?»

Таким образом, разбор текста и анализ задачи выполняется с опорой на схему, что облегчает детям работу и занимает меньше времени. Особенно помогает схема слабым ученикам, тем, которые не могут решать задачу по представлению. Знак действия ставится после расстановки стрелок, т. е. направление стрелки, показывающее направление действия, «ведет за собой» знак действия, что приучает ученика не связывать знак со словами «больше», «осталось», а ориентироваться на логику и смысл ситуации. Примечательно, что использование такой схематизации особенно эффективно в слабом классе, в том числе в классе коррекционного обучения и классе для детей с ЗПР.