2. Деление в столбик

Вычисления результатов деления многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма деления). Этот алгоритм построен на основе правил деления суммы на число, деления числа на произведение и приемов нахождения результатов деления с остатком.

Используемые математические законы и правила

Правило деления суммы на число:

(а + b + с) : d = а : d + b : d + с :4

При делении суммы на число можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных или удобных слагаемых. Деление таким образом представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом деления суммы на число.

Например:

396:3 = (300+ 90+ 6): 3 = 300:3+ 90:3+ 6:3=100+ 30+ 2 = 132 365 : 5 = (350 + 15) : 5 = 350 :5 + 15 :5 = 70 + 3 = 73 Переводя данный способ деления в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) деления на однозначное число. Правило деления числа на произведение:

а : (b•с) ~(а :b) :с

При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.

Например:

5 400 : 600 = 5 400 : (6 • 100) = 5 400 : 100: 6 = 54 : 6 = 9 600 : 24 = 600 : (6 • 4) = (600 : 6) : 4 = 100 : 4 = 25

6-4

Использование данного правила позволяет устно выполнять деление, которое в общем случае требует письменных вычислений.

Деление с остатком является основным видом действий, последовательно выполняемым при письменном делении.

Свойства и способы деления с остатком см. с. 169—172.

Приемы вычислений

Письменное деление на однозначное число

Прием письменного деления включает такие операции: замену делимого суммой удобных слагаемых (это чаще называют выделением неполных делимых), деление на делитель каждого слагаемого (неполного делимого) и сложение полученных частных. Для получения цифр частного используют прием подбора. Не всегда получается сразу подобрать оптимальную цифру частного. Каждую подобранную цифру частного проверяют, умножая ее на делитель находят разницу между неполным делимым и полученным произведением. Если этот остаток меньше делимого, то цифра частного выбрана верно, ее можно записывать в частное и продолжать процесс со вторым неполным делимым и т. п.

Письменное деление может быть с остатком и без остатка.

Письменное деление всегда начинают с высших разрядов, в отличие от письменного умножения.

В традиционном учебнике математики использован поэтапный подход к формированию письменного алгоритма деления:

1-й этап: рассматриваются случаи вида 794 : 2; 984 : 4 — первое неполное делимое однозначное]

2-й этап: рассматриваются случаи вида 376 : 4; 198 : 6 — первое неполное делимое двузначное;

3-й этап: рассматриваются случаи с нулями в частном (на конце или в середине);

4-й этап: рассматривается деление чисел, оканчивающихся нулями.

Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса деления «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению подбора и проверки цифр частного, нахождения количества разделенных разрядных единиц, нахождения остатка.

Например:

Рассмотрим как выполнено деление с объяснением:

_748| 2

6 374

_14

14

_⁸

8

0

1. Делю сотни: 7 сот. делю на 2, можно взять по 3 сот. В частном будет 3 сот.

Проверяю, сколько сотен разделилось: 3 сот. -2 = 6 сот. Нахожу остаток от деления сотен: 7 сот. - 6 сот. = 1 сот.

2. Делю десятки: 1 сот. = 10 дес. и еще 4 дес. — это 14 дес. 14 дес. делю на 2 — можно взять по 7. Записываю в частном 7 в разряде десятков. 7 дес. • 2 = 14 дес. Нахожу остаток: 14 дес. - 14 дес. = 0. Десятки разделились все.

3. Делю единицы — единиц 8. 8 делю на 2, можно взять по 4. Проверяю: 4-2 = 8. Пишу в частном 4 в разряде единиц. Единицы разделились все: 8-8 = 0. Остатка нет. Деление закончено.

Ответ: 374.

При делении вида 45 6 : 8 ход рассуждений аналогичен, только первое неполное делимое — 45 десятков, поскольку 4 сотни нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном сотни. Таким образом, первая значащая цифра частного в этом случае будет цифрой десятков.

При делении многозначных чисел для самопроверки полезно заранее определить, сколько цифр должно получиться в записи частного. Выделение первого неполного делимого и определение его десятичного состава как раз и является приемом, позволяющим определить количество цифр частного.

Например:

В случае деления 748 : 2 первое неполное делимое — 7 сотен, поскольку 7 сотен можно разделить на 2 так, чтобы в частном получились сотни. Следовательно, первой значащей цифрой частного будет цифра сотен, тогда в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы).

Во втором случае деления 456 : 8 первое неполное делимое — 45 десятков, следовательно первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет две цифры (десятки и единицы).

Обучение ребенка этому приему самопроверки является важным способом формирования осознаваемой вычислительной деятельности. Особенно важен этот прием при выполнении деления, приводящего к случаям получения нулей в частном.

Например:

(56)48¦ 8

сотни

Первое неполное делимое 56 сотен (поскольку 5 тысяч нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном тысячи), значит, первой цифрой частного будет цифра сотен. Следовательно, в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы). Данное рассуждение полезно отметить постановкой соответствующего количества точек в частном. Это предупредит распространенную в таких случаях ошибку — потерю цифры частного.

Далее деление выполняется по общему алгоритму:

_5648 8

56 706

4

- 0

48

-48

0

При объяснении получения нуля в частном следует в речевом сопровождении компенсировать условность сокращенной записи деления в столбик: 4 десятка нельзя разделить на 8 так, чтобы в частном получились целые десятки, поэтому в разряде десятков частного ставим 0. 4 десятка — это 40 единиц, да еще 8 единиц — делим 48 на 8...

При делении чисел, оканчивающихся нулями, следует постоянно применять прием «прикидки» цифр частного, это поможет ребенку не терять нули в конце деления.

Например:

(18)50|_5 -1850 5

15 370

Сотни -35

35

0

Прием «прикидки» цифр частного поможет ребенку при выполнении деления вида:

(401)60|80 -40160 80

400 502

Сотни -16

0

-160

160

0

Деление на двузначное и трехзначное число

В основе устного деления на двузначное и трехзначное число лежит свойство деления числа на произведение:

а : (b• с) = (а :b) :с

При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.

Например:

240 : 30 = 240 : (3 • 10) = (240 :10) : 3 = 24 : 3 - 8 2700 : 900 = 2700 : (9 • 100) - 2700 : 100 : 9 = 27 : 9 = 3 Однако в основе письменного деления на разрядные числа лежит не данный устный прием, а общий алгоритм деления на однозначное число.

Например:

(2290)0 300 -22900 300

десятки ** 2100 76(ост.100)

1900

-1800