2. К какому числу надо прибавить частное чисел 240 и 3, чтобы получить 500?

Выполнение:

Обозначим неизвестное число буквой а. Составим равенство:

а + 240 : 3 = 500.

Определим порядок действий:

а + 240 : 3 = 500 Выполним деление: 240 : 3 = 80.

Составим новое уравнение: а + 80 = 500.

Неизвестно слагаемое. Для нахождения неизвестного слагаемого вычтем из суммы известное слагаемое: 500 - 80 = 420, значит, а = 420.

3. Объясни, что обозначают выражения: b • 3 — а • 4; (6-3): (а-4).

Выполнение:

Выражение b • 3 - а • 4 читают так: разность двух произведений, из которых первое — произведение чисел b и 3, а второе — произведение чисел а и 4.

Выражение (6 • 3) : (а • 4) читают так: частное двух произведений, из которых первое — произведение чисел b и 3, а второе — произведение чисел а и 4.

4. В универмаге за день продали 52 одинаковых детских пальто и 38 костюмов по той же цене, что и пальто. За пальто получили на к рублей больше, чем за костюмы. Запиши выражения, которые обозначают, сколько денег получили за пальто и костюмы в отдельности.

Выполнение: ,

Найдем разницу в количестве проданных пальто и костюмов: 52 - 38 = 14 (шт.) — на столько штук пальто продали больше, чем костюмов.

Все пальто одинаковые, значит и цена у них одинаковая. Разница в стоимости по условию равна k рублей, значит можно выразить цену одного пальто:

k : 14 — цена одного пальто, такая же цена одного костюма.

Составим выражение, которое обозначает, сколько денег получили за все пальто:

(k : 14) • 52 рублей получили за все пальто;

(k : 14) • 38 рублей получили за все костюмы.

5. Мальчик купил б тетрадей в клетку и 5 — в линейку по одинаковой цене. Всего он уплатил d рублей. Объясни, что обозначают выражения:

6 + 5 d: (6 + 5) d: (6 + 5) • 6

Выполнение:

Выражение 6 + 5 — обозначает количество купленных тетрадей;

выражение d: (6 + 5) — обозначает цену одной тетради, поскольку все затраченные деньги (d) делятся на все купленные тетради;

выражение d: (6 + 5) • 6 — обозначает стоимость 6 тетрадей в клетку, поскольку цену одной тетради умножают на количество купленных тетрадей.

На втором этапе с помощью уравнений решаются простые задачи.

Традиционный учебник не содержит прямых указаний на необходимость использовать именно этот метод при решении задачи. Данный выбор оставляется на усмотрение учителя.

Например:

В классе 17 мальчиков и еще девочки. Всего в классе 28 человек. Сколько девочек в классе?

Выполнение:

Обозначим количество девочек в классе буквой х. Мы знаем, что всего детей в классе 28 человек. Составим равенство: х + 17 = 28.

В данном уравнении неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Значит, х = 28 - 17; х=11.

Проверим решение: 11 + 17 = 28.

Буквой х мы обозначили девочек, значит, в классе 11 девочек.

На третьем этапе уравнения используются при решении составных задач.

Традиционный учебник не содержит прямых указаний на необходимость использовать именно этот метод при решении задачи. Данный выбор оставляется на усмотрение учителя.

Например:

В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трех дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько страниц ей осталось прочитать?

Выполнение:

Обозначим количество оставшихся страниц буквой х.

За три дня Даша прочитала 9 • 3 страниц. Всего в книге 48 страниц. Составим уравнение: х + 9 • 3 = 48.

Упростим уравнение: 9 • 3 = 27, значит, х + 27 = 48.

Неизвестно слагаемое. Найдем его: х = 48 - 27; х = 21.

Буквой х мы обозначили количество оставшихся страниц, значит, осталось прочитать 21 страницу.

Решение задач с помощью уравнений является перспективным с точки зрения преемственности курсом математики средней школы.

Глава 7

Доли и дроби в курсе математики начальных класса

Лекция 18.Система изучения дробей в начальной школе

1. Понятие дроби.

2. Дроби (доли) в 3 классе.

3. Дроби в 4 классе.

4. Дроби величин.

1. Понятие дроби

Темы «Доли» и «Дроби» традиционно присутствовали во всех учебниках по математике для начальных классов. В прежних вариантах учебников тема «Доли» рассматривалась во 2 классе системы 1—3 и в 3 классе системы 1—4. Дети знакомились с понятием доли (дроби вида ^х/_к) и дроби (правильной дроби, в которой числитель меньше знаменателя), учились сравнивать дроби с опорой на предметную модель и решать два вида задач с дробями: нахождение дроби от числа и нахождение числа по его дроби.

На сегодня в соответствии с Обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы объем изучения данной темы значительно сократился в учебниках традиционной содержательной ориентации (учебники М.И. Моро и др., учебники Н.Б. Истоминой). В то же время эта тема значительно расширена в альтернативных учебниках системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова и «Школы 2100». В этих методических школах расширение объема знакомства с дробями обусловлено стремлением авторов сформировать у ребенка более общее представление о числе. Поскольку сформировать хоть в какой-то мере обобщенное представление об объекте возможно только в процессе произведения умственных операций над данным объектом (сравнение его с объектами другого рода, выделение сходства и различия, проведение аналогий и др.), необходимо иметь для организации данной умственной деятельности хотя бы два вида объектов. Знакомство младших школьников только с натуральными числами не позволяет проводить такую работу. Дроби не являются натуральными числами (поскольку не являются целыми) — это числа рациональные. Не ввода в словарь ребенка эти термины, можно тем не менее организовать работу по сопоставлению этих двух видов чисел и знакомству с некоторыми сходными операциями с этими числами (соотнесение с предметной моделью, запись, сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями и т. п.).

В последней редакции традиционного учебника математики понятие «Доля целого» рассматривается в 4 классе (часть 1) и некоторые сведения о дробях даются на последних страницах учебника для 4 класса (часть 2). Задания на нахождение дроби величин и величины по ее дроби встречаются в тексте учебных пособий несколько раз. Мы полагаем, что данная редакция учебника не является последней, поэтому в настоящем учебном пособии даем материал по данной теме в соответствии с традиционным объемом ее изучения в начальных классах и даже чуть шире — для того, чтобы подготовить студентов для работы по альтернативным программам.

Понятие дроби связано с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе, однако, практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно всегда рассматривалось в начальной школе, с множеством чисел фактически не связывается.

Дробь в классической методической трактовке курса математики для начальных классов — это скорее способ получения части объекта, при этом искомая часть необходимо удовлетворяет ряду специальных требований.

В математике рассматривается два подхода к определению понятия дроби — аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический — на основе измерения длин отрезков.

По определению дробь — это число вида , где тип — целые числа, причем п не равно 0.

Далее определяется ряд операций для чисел этого вида (что понимать под сложением и вычитанием дробей, что понимать под умножением и делением дробей, какую дробь считать большей, а какую — меньшей) и ряд свойств, которыми обладают дроби (например, основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится).

Такой подход отражен в учебниках для 5—6 классов, что позволяет говорить о возможности формирования понятия дроби как числа.

В учебниках математики для начальных классов отражен другой подход к определению понятия рационального числа (дроби) — через измерение длины отрезка. Для описания результата этого процесса используют дробь.

Суть процесса состоит в следующем: если удается разделить некоторый объект А (например, отрезок) на b равных частей (т. е. взятую мерку b уложить по длине отрезка без остатка) и взять с таких частей, то, результат этой операции можно выразить так:

Получена часть объекта А. При этом не рассматривается как самостоятельное число, а только как « - ая часть объекта А».

Например, для ученика начальных классов фактически не имеет смысла символ сам по себе, так как непонятно, что именно разделено на 4 равные части. В то же время словосочетание « часть яблока» имеет смысл: из него ребенку ясно, что яблоко было разделено на 4 равные части и взята 1 часть.

Таким образом, программой начальных классов не предусмотрено формирование понятия дроби как числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей). Все эти действия считаются подготовкой к знакомству с дробями в 5—6 классе. Данный подход к формированию представлений о долях и дробях реализован во всех альтернативных учебниках математики для начальных классов.

Методическая проблема знакомства ребенка с дробями состоит в выборе учителем целесообразного множества исходных объектов и практических операций, которые ученик будет выполнять над ними. Понятие дроби будет отождествляться с результатом этой операции. Термин «целесообразное множество» подразумевает, что множество выбранных объектов должно делиться нацело, иначе нельзя воплотить требование «равные части», при этом в случае геометрической фигуры можно иметь в виду и равновеликие части, например:

Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции:

1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок;

2) сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок;

3) находить «дробь от числа» (делением объекта или множества на равные части);

4) восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция).

Все эти умения формируются на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.