2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100

К внетабличным случаям умножения и деления в пределах 100 относят случаи умножения двузначного числа на однозначное (20-3, 18-3),а также случаи деления двузначного числа на однозначное, не входящие в число табличных (80 : 4, 96 : 6) и случаи деления двузначного числа на двузначное в пределах 100 (80 : 40, 96 : 16). Эти случаи рассматриваются как случаи устных вычислений, и предполагается, что ребенок выполняет их без обращения к письменным алгоритмам вычислений, а лишь используя известные ему правила и законы арифметических действий и знание табличного умножения и деления.

Используемые математические законы и правила

Для подготовки к изучению внетабличного умножения и деления необходимо рассмотреть следующие правила арифметических действий:

1) правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму;

2) правило деления суммы на число;

3) правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения).

Рассмотрим каждое из этих правил и обоснуем их использование при устных внетабличных вычислениях.

Правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму

Эти два правила являются двумя вариантами раскрытия смысла распределительного свойства умножения относительно сложения. В буквенном виде эти варианты могут быть записаны следующим образом:

(a+b) •c=a•c+b•c с•(a+b)=с•a+с•b

Реально знакомство детей с этими двумя вариантами одного и того же правила разведено во времени почти на целый год: первое правило лежит в основе обучения детей умножению двузначных чисел на однозначные в теме «Внетабличное умножение и деление» в 3 классе, а второе правило лежит в основе способа действия при умножении двузначного числа на двузначное при умножении в столбик в 4 классе.

В основе разъяснения правила умножения суммы на число лежит опора на знание конкретного смысла действия умножения.

Рассматривая два способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при обоих способах вычислений одинаков.

Следует отметить, что первый способ вычислений не требует специальных объяснений и введения нового правила, поскольку он подчиняется общим требованиям к порядку выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Особо следует оговорить второй способ, поскольку при таких вычислениях фактически нарушается установка на выполнение действия в скобках первым. Именно поэтому при знакомстве детей с этим правилом в 3 классе снова возвращаются к предметным картинкам, позволяющим получить результаты действий пересчетом. В данном случае пересчет фигурок является тем единственным аргументом, который учитель может привести в подкрепление правомочности такого нарушения устоявшегося правила (действие в скобках выполняется первым).

Введение правила таким образом является нестрогим, эмпирическим (т. е. опирающимся на непосредственный практический опыт). Более общие способы доказательства этого закона требуют привлечения сложного математического аппарата и нецелесообразны в начальной школе. Безусловно, такое введение правила не формирует у детей обобщенных представлений о способах раскрытия скобок при вычислениях, однако в начальной школе это и не предполагается. Более того, терминология, содержащая слова «раскрываем скобки», не употребляется в начальной школе вообще. Хотя дети и знакомятся с правилом умножения суммы на число, но применять они его могут только на ограниченном количестве случаев, связанных с внетабличным умножением двузначных чисел на однозначное. Применение того же правила в других обстоятельствах (например, при решении уравнений) не предусмотрено. Так при решении уравнения вида (х + 2 ) • 3 = 15 дети не будут применять правило умножения суммы на число (это не предусмотрено ни учебником, ни программой, ни методикой) не только в начальной школе, но и в 5—6 классе, а будут использовать правила взаимосвязи компонентов действий умножения и сложения.

Способ решения: х + 2 = 15 : 3 х+2 = 5х = 5 — 2 х = 3.

Правило умножения суммы на число:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Используя аналогичный предметный рисунок, рассматривают правило умножения числа на сумму:

4-(3 + 2) = 4- 5 = 20 4-(3 + 2) = 4-3 + 4- 2 = 12 + 8 = 20

Анализ предметного рисунка и подсчет фигурок на нем помогает ребенку убедиться в том, что результаты вычислений совпадают, несмотря на разные способы вычислений. Этот способ знакомства с правилом используется в 4 классе также как и в 3 классе использовался предыдущий вариант. Точно также, речь идет не о формировании у ребенка обобщенных представлений о способах действий в выражениях со скобками, а только об использовании данного способа вычислений при письменных вычислениях в столбик.

Правило умножения числа на сумму:

Чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Правило деления суммы на число

Это правило является вариантом раскрытия смысла распределительного свойства деления относительно сложения. В буквенном виде это правило может быть записано следующим образом:

(a + b) : с = a : с + b : с

В основе разъяснения правила деления суммы на число лежит опора на знание конкретного смысла действия деления. Например:

(8 + 6): 2 = 14:2 = 7 (8 + 6): 2 = 8: 2+ 6: 2 = 4+ 3 = 7

Такое введение правила является нестрогим, эмпирическим. Более общие способы доказательства этого закона требуют привлечения сложного математического аппарата и нецелесообразны в начальной школе. Такое введение правила не формирует у детей обобщенных представлений о способах раскрытия скобок при вычислениях, что в начальной школе и не предполагается. Хотя дети и знакомятся с правилом деления суммы на число, но применять они его могут только на ограниченном количестве случаев, связанных с внетабличным делением двузначных чисел на однозначные. Применение того же правила в других обстоятельствах (например, при решении уравнений) не предусмотрено. Так при решении уравнения вида (х + 6) : 3 = 5 дети не будут применять правило деления суммы на число (это не предусмотрено ни учебником, ни программой, ни методикой) не только в начальной школе, но и в 5—6 классе, а будут использовать правила взаимосвязи компонентов действий умножения и сложения.

Способ решения: х + 6 = 5 • 3 д: + 6=15 х=15-6 х = 9

Правило деления суммы на число:

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения)

Правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения) представлено в учебнике как правило умножения числа на произведение. Это правило позволяет научить детей новым способам действия при выполнении устных внетабличных вычислений. В буквенном виде правило может быть представлено следующим образом:

(а • b) • с = а • (b • с) ~ (а • с) • b

В основе его разъяснения лежит конкретный смысл действия умножения и правило перестановки множителей.

Рассматривая три способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при всех способах вычислений одинаковый. Формулируется правило:

Умножить число на произведение можно разными способами:

1) Вычислить произведение и умножить на него число: 6-(3-4) =612 = 72

Содержание