1. Умножение и деление с 0 и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рассматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деления, поскольку они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления. Для обоснования математического смысла этих случаев в определении действия умножения оговорены два дополнения, определяющие способ получения результата в этих случаях.

По определению умножение целых неотрицательных (натуральных) чисел — это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а •b = a+ a+ a+ a+ a ...+ а, при b > 1

b слагаемых

а •1 = а, при b = 1

а•0 = 0, при b = 0

Поскольку фраза: «повторяем слагаемые 1 раз» или «повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению, т. е. сообщают детям, что умножая любое число на 1 получаем в произведении это же число; а умножая любое число на 0, получаем в произведении 0.

В общем виде эти правила оформляются в буквенном выражении:

а • 1 = а

a•0 = 0

Соответствующие правила предлагаются детям для запоминания:

При умножении любого числа па 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на нуль получается нуль.

Аналогичным образом вводится правило:

На нуль делить нельзя!

В отличие от этих правил, способы деления числа на само себя с получением числа 1 в результате, а также способы умножения числа 1 на любое число и способы умножения числа 0 на любое число возможно объяснить ученику начальной школы, используя имеющиеся у него знания.

Например, для объяснения случая 1 • 7 обратимся к смыслу действия умножения как суммирования одинаковых слагаемых. В данной записи первый множитель показывает, какое число суммируем, а второй множитель — сколько раз, таким образом:

1-7-1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1-7

Для объяснения случая 0 • 5 воспользуемся тем же приемом: 0-5=0+0+0+0+0=0

Для объяснения случаев вида а : а = 1 (если а > 0), а : 1 = а , 0 : а = 0 следует обратиться к правилу взаимосвязи компонентов умножения и деления.

Например, рассмотрим случай 13 : 13 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель — число 13, найдем частное методом подбора с последующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частного — это 1, поскольку 1 *• 13 = 13. Значит, 13 : 13 = 1.

Рассмотрим случай 27 : 1 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель — число 1, найдем частное методом подбора с последующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частного — это 27, поскольку 27 • 1 = 27. Значит, 27 : 1 = 27.

Рассмотрим случай 0:8 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель — число 8, найдем частное методом подбора с последующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частного — это 0, поскольку 0-8 = 0. Значит, 0:8 = 0.

В общем виде эти закономерности оформляются в буквенном виде:

и в виде словесного правила:

При делении числа на то же самое число получается 1. При делении числа на 1 получается то же самое число. При делении нуля на любое другое число получается 0.