Лекция 4. Психолого-педагогические основы организации математического развития младших школьников

Рассмотрим различные подходы к определению понятия «математическое развитие» ребенка. Анализ литературы показывает, что авторы по-разному понимают этот термин. В основном имеют место две трактовки этого понятия.

В первом случае «математическое развитие» ассоциируется с понятием «математические способности», которые имеют природный характер. В этом случае успешность ребенка в освоении математического содержания связывается педагогами с наличием этих природных способностей и отрицанием возможности методически влиять на них. Как следствие на практике часто наблюдается ориентация педагогов более на природные данные ребенка, чем на поиск и применение методик организации математического развития ребенка, обладающего слабыми природными способностями к математике.

Во втором случае под «математическим развитием» понимают формирование и накопление математических знаний и умений у ребенка. Предполагается, что развитие умственных способностей при этом достигается косвенным путем: в процессе усвоения знаний. Таким образом, математическое развитие рассматривается как следствие обучения математическим знаниям. Если бы данный подход к математическому развитию ребенка был верным, то достаточно было бы отобрать круг знаний, сообщаемых ребенку, и подобрать соответствующий метод обучения, чтобы сделать этот процесс продуктивным, т. е. получать в результате высокое математическое развитие у всех детей. Данный подход в значительной мере пытались реализовать при создании различных альтернативных учебников математики для начальной школы (Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Н.Я. Виленкин, A.M. Пышкало и др.), наполняя эти учебники различным содержанием: увеличивали долю арифметического материала, долю алгебраического материала, вводили элементы теории множеств, комбинаторики, алгоритмики и др. Апробации этих учебников на протяжении более 40 лет показала, что заметного влияния на уровень математического развития младших школьников эти системы не оказывают. При этом очевидно, что говорить об отсутствии влияния содержания обучения на развитие как математического мышления, так и общего развития мышления ребенка неправомочно.

В исследованиях Д .Б. Эльконина и В.В. Давыдова было достаточно убедительно доказано, что проблема обновления содержания обучения в начальных классах является частью проблемы организации развивающего обучения ребенка младшего школьного возраста. Психологическое обоснование важности и особой значимости этой проблемы было разработано Д.Б. Элькониным (1960, 1966) и В.В. Давыдовым (1966,1972), в исследованиях которых было детально показано, что одним из решающих факторов в развитии мышления младших школьников выступает содержание обучения. Известный советский кибернетик А.А. Фельдбаум отмечал: «Накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня, то человек справится со сложнейшими задачами, а это и означает, что он достиг высокого уровня культуры»¹ (т. е. мышления). Таким образом, связь между содержанием обучения и процессом развития мышления ребенка, несомненно, существует, но ее нельзя считать достаточным условием обеспечения математического развития ребенка. В то же время психологически и дидактически обоснованный отбор этого содержания, несомненно, будет играть значительную роль в процессе создания управляемой системы математического развития ребенка.

Под математическим развитием ребенка младшего школьного возраста будем понимать целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных (базовых) свойств и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности. Такое развитие задает главную целевую установку обучения математике детей младшего возраста.

Методическая система (включая технологию) непрерывного математического развития ребенка младшего возраста, предоставляющая каждому ребенку условия для индивидуального продвижения в математическом содержании (траектории) будет способствовать:

практическому созданию единой системы преемственного дошкольного и начального обучения математике;

достижению оптимально возможного для ребенка, соответствующего возрастному этапу уровня математического развития.

Таким образом, мы полагаем, что понятие «математическое развитие» ребенка дошкольного и младшего школьного возраста не следует полностью ассоциировать с понятием «математические способности» (природного характера). Успешность ребенка в освоении математического содержания во многих случаях связана с наличием этих природных способностей, но организация математического развития ребенка, обладающего слабыми природными способностями к математике, вполне возможна при условии применения соответствующих методик. При этом в одних случаях процесс целенаправленного математического развития ребенка будет приводить к дальнейшему развитию природных математических способностей, в других случаях — к оптимальному развитию необходимых для успешного усвоения математического содержания свойств и качеств мышления, в третьих случаях — к коррекции недостатков познавательного развития ребенка и создании предпосылок для более успешного усвоения математического содержания при дальнейшем обучении.

Целенаправленная работа по организации математического развития ребенка младшего школьного возраста будет способствовать общему повышению уровня развития интеллектуальных (умственных) способностей каждого ребенка, что в свою очередь благоприятно отразится на успешности обучения детей предметному содержанию. Эта работа будет также способствовать личностному развитию ребенка, поскольку такие качества математического стиля мышления как целеустремленность, критичность, широта, гибкость, организованность, логичность и др. являются в то же время личностными характеристиками качеств ума и характера человека.

Итак, цель математического развития ребенка младшего школьного возраста — это стимуляция и развитие математического мышления (соответствующих возрасту компонентов и качеств этого мышления).

Психолого-дидактическим обоснованием этого подхода является своеобразие возрастного развития познавательных и когнитивных процессов ребенка младшего возраста, обусловленное тем, что в возрасте 3—5 лет ведущим типом мышления ребенка является наглядно-действенный тип, а в возрасте 6—10 лет — наглядно-образный тип мышления. Возраст 10—12 лет является переходным к ведущему абстрактному (словесно-логическому) типу мышления.

Это обусловливает необходимость использования для организации математического развития ребенка на каждом из обозначенных этапов соответствующего содержания и методологии, максимально соответствующих «детскому способу» вхождения в математику оптимально возрасту ребенка. Опора на ведущий тип мышления ребенка дает основание сделать вывод: главным направлением организации математического развития ребенка дошкольного возраста является целенаправленное развитие конструктивного мышления, а ребенка младшего школьного возраста — развитие пространственного мышления. Эти виды математического мышления сенситивны указанным возрастам, и потому наиболее чувствительны к методическому развивающему воздействию педагога. Таким образом, наиболее способствующей математическому развитию ребенка младшего школьного возраста будет та система обучения математике (и, соответственно, те учебники), которая в 1 классе (6 лет) предусматривает специальную методическую работу по развитию конструктивного мышления ребенка, а во 2—4 классах — специальную работу по развитию пространственного мышления в сочетании с активной пропедевтикой основ словесно-логического мышления.

Методологическим обоснованием предлагаемой концепции является выбор в качестве ведущего метода обучения детей математическому содержанию метода моделирования, с преимущественным использованием на каждом возрастном этапе того вида моделирования, который более всего соответствует возрастным особенностям развития мышления и других познавательных процессов. В возрасте 3—5 лет — это конструирование (вещественное моделирование); в возрасте 6—10 лет — сочетание конструирования с графическим моделированием (с постепенным перенесением акцента на последнее), в возрасте 10—12 лет — графическое моделирование с элементами конструирования (там, где необходимо практическое приложение знаний и умений ребенка в математике), и с элементами логико-символического моделирования (знакового и символьного) в качестве подготовки к переходу ребенка на ведущий словесно-логический (абстрактный) тип мышления в старшем возрасте. Такой подход к выбору ведущего метода обучения обеспечивает эффективное развитие приемов умственной деятельности у ребенку (анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения и др.), развитие практико-ориентированной интуиции в применении математических знаний, самостоятельности в учебно-познавательной деятельности и таких качеств математического мышления как гибкость, критичность, активность, целенаправленность и др.

Модель изучаемого математического понятия или отношения играет роль универсального средства изучения свойств математических объектов. При таком подходе к формированию начальных математических представлений не только учитывается специфика математики (науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходит обучение ребенка общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей.

Являясь общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления. Таким образом, можно считать, что данный подход будет обеспечивать формирование и развитие математического мышления ребенка, а, следовательно, будет обеспечивать его математическое развитие.

Глава 2

Изучение чисел в начальной школе

Лекция 5. Понятие числа и числа первого десятка

1. Основные понятия.

2. Однозначные числа.

3. Порядок следования чисел в ряду.

4. Состав однозначных чисел.

5. Число 0.

6. Сравнение чисел.

7. Число 10.

1. Основные понятия

Целые неотрицательные числа называют натуральными в связи с тем, что они были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств (животных, людей, различных предметов), а также для обозначения результатов процесса измерения величин (длины, массы, емкости, времени, площади и др.).

Таким образом, различают число как результат счета элементов множества и число как результат измерения величин (длина, масса, время и т. д.).

Альтернативные программы по математике для начальных классов различаются главным образом способом знакомства ребенка с этими характеристиками числа.

Как и многие математические понятия, понятие натурального числа возникло из потребностей практики. Уже в глубокой древности нужно было сравнивать между собой различные множества.

Простейшим способом сравнения множеств было установление взаимно-однозначного соответствия между множествами, т. е. образование пар элементов из обоих множеств. Если такое соответствие имело место, то множества считались равночисленными (все пары — полные).

Если взаимно-однозначное соответствие устанавливалось между элементами одного множества и только частью элементов второго, множества (некоторые элементы второго множества оставались без пары), то считали, что в первом множестве меньше элементов, чем во втором.

□□□□□□□□

○ ○ ○ ○ ○ ○

Например: Чего больше, кружков или квадратов?

При этом хорошо видно, что считать пары нет надобности, оставшиеся без пары («лишние») фигуры покажут, каких было больше (и на сколько больше).

Со временем для сравнения стали применять множества-посредники (пальцы, камешки, узелки...) — их называют «числовые фигуры»; на следующем этапе в результате процесса абстрагирования от характера множеств-посредников появилось понятие числа: один, два, три и т. д.

Наука, изучающая числа и действия с ними получила название «арифметика» (от греческого arithmos — число).

Число — это количественная характеристика множества предметов (группы).

Натуральные числа обозначают при счете реальные предметы. Следует помнить, что само по себе число не зависит от характера и свойств предметов множества, т. е. одно и то же число может символизировать количество объектов какого угодно характера.

Каждая группа (множество) может быть охарактеризовано только одним числом (и если при повторном пересчете объектов получается другой результат, это означает ошибку счета).

Цифра — это символ, обозначающий число на письме. Число мы называем и слышим. Цифру мы видим, пишем и называем.

Цифры имеют различное изображение. Общеупотребимы цифры, которые принято называть арабскими (хотя, они имеют индийское происхождение): 1, 2,3,4,5, 6, 7,8,9 и римские: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X...

Римские цифры употребляются только в печатном изображении, арабские цифры — в печатном (1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9) и курсивном (прописном) изображении (1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

В любой из упомянутых систем обозначения чисел больше, чем цифр.

Натуральные или целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,записанные в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Отрезок натурального ряда чисел — это часть ряда вида: 1, 2, 3, 4,5, 6,7 или 1, 2, 3 или 1, 2,3,4, 5,6, 7,8,9,10, И. По определению, отрезок натурального ряда длиной а — это все числа b, такие что b≤а.

Все натуральные числа записать невозможно, поскольку в натуральном ряду нет последнего числа. За каждым натуральным числом следует другое натуральное число.