1. Используемые математические законы и правила

Правило группировки слагаемых

Правило группировки слагаемых играет роль вычислительного приема, позволяющего рационализировать вычислительную деятельность. Это правило может быть использовано при выполнении действий в выражениях, содержащих двух слагаемых. При этом обязательно следует отметить, что это правило касается только выражений, содержащих действие сложения. Правило изучается во 2 классе.

Правило группировки слагаемых:

При сложении трех и более чисел соседние слагаемые можно заменять их суммой.

Вычисли удобным способом:

3 + 6 + 4 = ... 7 + 30 + 60 = ...

90-70 + 5 = ... 30 + 8 + 30 = ...

(Легче сначала сложить 6 и 4 — это 10, затем прибавить к 10 число 3, получится 13.

Легче сначала сложить 30 и 60 — это 90, затем прибавить к сумме 7 — это 97.

Для случая 90 — 70 + 5правило группировки слагаемых неприменимо, поскольку это выражение содержит сложение и вычитание. В этом выражении действия надо выполнять по порядку слева направо.

Для случая 30 + 8 + 30легче сначала сложить 30 и 30 — это 60, а затем прибавить к сумме 8 — это 68.)

Правило сложения и вычитания разрядных единиц

Следствием правила группировки слагаемых выступают два следующих правила, определяющих способ сложения и вычитания разрядных единиц:

Единицы складывают с единицами. Десятки складывают с десятками.

Например, для случая 56+ 3 = 50 + (6 + 3) = 59

/\

50 6

удобно единицы складывать с единицами; для случая 60 + 35 = (60 + 30) + 5 = 95

/\

30 5

удобно десятки складывать с десятками.

В обоих случаях одно из слагаемых представлено в виде суммы разрядных слагаемых и выполняется прибавление чист к сумме разрядных слагаемых. В более ранних вариантах учебников математики для начальных классов правило прибавления числа к сумме и правило прибавления суммы к числу изучалось в явном виде (правило сообщалось детям и заучивалось как основа вычислительного приема).

Первое правило звучало так:

Чтобы прибавить число к сумме, можно прибавить его к любому слагаемому, а затем к полученной сумме прибавить оставшееся слагаемое.

Второе правило формулировалось так:

Чтобы прибавить сумму к числу, можно прибавлять к этому числу любое слагаемое суммы, а затем к полученному результату прибавить оставшееся слагаемое.

Правила были сочтены громоздкими и их заменили формулировками, сориентированными на поразрядное сложение. Однако для случаев вида 26 + 7 или 45+16 приходится использовать именно эти правила, а не правила поразрядного сложения.

Аналогичное упрощенное правило вводится для вычитания:

Десятки вычитают из десятков.

Единицы вычитают из единиц.

Например, для случая

29 - 3 = 20 + (9 - 3) = 26

/\

20 9

удобно единицы вычитать из единиц; для случая

56 - 30 = (50 - 30) + 6 – 26

/\

50 6

удобно десятки вычитать из десятков.

Однако для случаев вида 30 - 6,45 - 7,50 -24 эти правила приходится неявно заменять на общие правила вычитания числа из суммы и вычитания суммы из числа. Сами правила уже не рассматриваются в последней редакции учебника математики, но использовать их при вычислениях приходится. В связи с этим большая часть вычислительных приемов первой сотни предлагается детям в виде разбора образцов действий, а затем закрепления каждого способа действия на аналогичных примерах. С психологической точки зрения такой путь обучения вычислениям не ведет к становлению обобщенных приемов вычислительной деятельности.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из любого слагаемого, а затем к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Например:

30-6 = 20 +(10-6) = 24

/\

20 + 10

В данном случае уменьшаемое 30 рассматривается как сумма 20 и 10.

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа любое слагаемое, а затем из полученного результата вычесть другое слагаемое.

Например: 45 - 7 = (45 - 5) - 2 = 40 - 2 = 38

/\

5 + 2

В данном случае вычитаемое 7 рассматривается как сумма 5 и 2.