3. Вычислительные приемы для чисел второго десятка

Разрядные случаи сложения и вычитания

Разрядными случаями сложения и вычитания во втором десятке считаются случаи вида:

10 + 2 2+10 12 — 2 12-10

При нахождении значения данных выражений ссылаются на разрядный (десятичный) состав чисел второго десятка. Например:

12 значит, 12 -10-2 10 + 2 - 12

/\ 12-2=10 2 + 10=12

10 2

Комплексные примеры на применение знания разрядного состава и вычислительных приемов первого десятка:

Вычисли: 2 + 8 + 3 = ...

Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. 2 + 8 = = 8 + 2 = 10 по свойству перестановки слагаемых. 10 + 3 = 13

Вычисли: 17 — 7 — 1=...

Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. Число 17 состоит из 10 и 7, значит 17 - 7 = 10. Вычитая из 10 один, получаем число предыдущее — это 9.

Переход через десяток

Наиболее сложным для большинства детей является прием сложения и вычитания с переходом через десяток. Это случаи вида: 8 + 5,13 - 7.

Сложение с переходом через десяток

Схема приема: 8 + 5=10 + 3=13

Алгоритм приема (правило вычислений) содержит три последовательно выполняемых вычислительных действия:

1) второе слагаемое раскладывается на составные части таким образом, чтобы одна из частей в сумме с первым слагаемым составила число 10;

2) первое слагаемое складывается с частью второго слагаемого, образуя промежуточное число 10;

3) к промежуточному числу 10 прибавляется оставшаяся часть первого слагаемого (во всех случаях здесь имеет место разрядное суммирование) для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен: 1) запомнить последовательность действий; 2) уметь быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (знать состав однозначных чисел); 3) уметь дополнять любое однозначное число до 10 (знать состав числа 10); 4) уметь выполнять разрядное сложение в пределах второго десятка.

Многие дети испытывают большие трудности при освоении этого сложносоставленного приема вычислений. В качестве внешней опоры можно использовать линейку. Ориентируясь по линейке, ребенок отмечает первое слагаемое, а затем делает вправо от него нужное количество «шагов» (в соответствии со значением второго слагаемого). Результат последнего «шага» совпадает со значением суммы. Аналогична можно использовать счеты.

Некоторые дети (ведущие кинестетики, о которых говорилось выше) с успехом продолжают использовать пальцевый счет. В этом случае они присчитывают к первому слагаемому единицы, пока хватает пальцев (до 10), а затем, мысленно запоминая полученный десяток, продолжают присчитывать оставшуюся часть второго слагаемого уже к десятку: 8 да еще два пальца — 9,10. Переход на другую руку — еще три пальца — 11, 12, 13. Фактически этот способ счета моделирует присчитывание по одному, как и использование линейки. При прибавлении чисел больше 5 этот способ несколько тормозит работу ребенка, но по крайней мере дает ему возможность самостоятельно получить результат действия.

В настоящее время на первый план в педагогике начального обучения выходят требования организации личностно-ориентированного обучения, это означает, что в обучающем процессе необходимо учитывать своеобразие и индивидуальность способа мышления и ведущего способа познания каждого ребенка. Дети с превалирующей функцией аналитического мышления легко осваивают этот прием, требующий пошагового выполнения трехступенчатого действия в уме. Дети с превалирующей функцией синтетического мышления осваивают прием с большими трудностями. В некоторых альтернативных учебниках математики для начальных классов

(в первых изданиях стабильного учебника 1968 г., в современных учебниках Н.Б. Истоминой) предлагается знакомить детей с этим приемом значительно позже — после того, как они освоят всю нумерацию в пределах 100 и научатся выполнять все виды вычислений без перехода через десяток, в том числе и вида 64 + 12.

Методически ставится задача довести умение ребенка выполнять вычисления во втором десятке до автоматизма. Это означает, что учитель, как правило, ставит задачу — выучить результаты всех случаев сложения и вычитания в пределах второго десятка наизусть. С этой целью в учебнике на каждом уроке этой темы (начало второго класса) дается по три случая для заучивания наизусть. Например: 9 + 2 = 11, 9 + 3 = 12,8 + 3 - 11.

Всего случаев, требующих запоминания 20. Во всех этих случаях второе слагаемое меньше, чем первое (в случае, когда второе слагаемое больше первого, можно применить перестановку слагаемых).

В качестве приема, помогающего некоторым детям быстрее запомнить результаты этих вычислений, можно использовать прием опоры на сумму одинаковых слагаемых, поскольку сумма одинаковых слагаемых запоминается детьми значительно легче, чем сумма разных слагаемых.

Например, легко запоминается сумма 5 + 5=10. Рассматривая любую сумму, в которой одно из слагаемых — число 5 и зная свойство суммы:

При увеличении любого слагаемого на несколько единиц сумма увеличивается на столько же единиц.

Можно получить значение соответствующего выражения:

7 + 5 = 5 + 5 + 2 = 10 + 2= 12

Дети легко запоминают суммы: 6 + 6 = 12 7 + 7 = 14 8 + 8=16 9 + 9=18

Используя их как «базовые», ребенок может получить нужный результат присчитывая соответствующее количество единиц к сумме или отсчитывая: 8 + 9 = 8 + 8+1 = 16+1 = 17.

Вычитание с переходом через десяток

Схема приема: 14 — 9 = 5

4 5

Алгоритм приема (правило вычислений) содержит три после-довательно выполняемых вычислительных действия:

1) вычитаемое раскладывается на составные части таким образом, чтобы одна из частей при вычитании из уменьшаемого составила число 10;

2) из уменьшаемого вычитается часть вычитаемого, образуя промежуточное число 10;

3) из промежуточного числа 10 вычитается оставшаяся часть вычитаемого для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (знать состав однозначных чисел);

3) уметь выполнять разрядное вычитание в пределах второго десятка;

4) уметь вычитать любое однозначное число из 10 (знать состав числа 10).

Многие дети испытывают большие трудности при освоении этого сложносоставленного приема вычислений. В качестве внешней опоры можно использовать линейку. Ориентируясь по ней, ребенок отмечает уменьшаемое, а затем делает влево от него нужное количество «шагов» (в соответствии со значением вычитаемого). Результат последнего «шага» совпадает со значением разности. Аналогично можно использовать счеты.

Некоторые дети (кинестетики) с успехом продолжают использовать пальцевый счет и при выполнении вычитания во втором десятке. В этом случае они, имея в виду десяток «в уме», в случае нехватки пальцев, занимают «пятки» и продолжают отсчитывать, пока не отсчитают нужное количество пальцев (в соответствии со значением вычитаемого).

Другая схема выполнения вычитания с переходом через десяток

Алгоритм приема (правило вычислений) и в этом случае содержит три последовательно выполняемых вычислительных действия:

1) уменьшаемое раскладывается на разрядные составляющие;

2) от десятка уменьшаемого отнимается вычитаемое, которое всегда меньше 10, образуя промежуточное число;

3) промежуточное число складывается с оставшейся частью уменьшаемого для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь раскладывать числа второго десятка на разрядные составляющие;

3) уметь выполнять вычитание в пределах 10;

4) уметь складывать однозначные числа в пределах 10. Перечень действий содержит такое же количество шагов, как

и в случае первой схемы, но многим детям использовать этот способ легче, поскольку он не требует мысленного подбора подходящего разложения на составные части вычитаемого. Логика действий здесь последовательная, больше соответствует синтетическому стилю мыслительной деятельности, поэтому часть детей осваивает этот способ значительно легче, чем первый.

В целом таблица вычитания с переходом через десяток содержит 36 случаев, которые предлагаются детям для запоминания наизусть. Запоминание такого большого количества случаев для многих детей представляет большую проблему.

Дети, успешно использовавшие прием опоры на значения сумм одинаковых слагаемых, могут использовать этот же прием при выполнении вычитания.

Например:

16 — 7 = (8 + 8) — 7 = 1 + 8 = 9

(16 это два раза по 8 Из одной восьмерки заберем 7, останется I Да еще оставалась одна восьмерка, вместе — 9.)

Освоение способов вычислений с переходом через десяток составляет базу для дальнейшего освоения устной вычислительной деятельности в пределах 100 и письменных вычислений.

Порядок действий в выражениях со скобками

Вторым правилом, определяющим порядок выполнения действий в выражениях, является правило выполнения действий в выражениях со скобками:

Действие, записанное в скобках, выполняется первым.

С этим правилом дети знакомятся во 2 классе.

Правило сообщается детям в качестве непреложного факта и путем сравнения разных вариантов значений выражений, показывается, что нарушение этой установки ведет к получению неправильных результатов.

Например:

(10-6) + 3 = 7 10-(6 + 3)= 1

Никаких нарушений этого правила во втором классе не допускается.

С математической точки зрения скобки в первом приведенном выше примере не играют никакой роли и могут быть опущены, поскольку правило выполнения действий в выражениях, содержащих более одного арифметического действия требует, чтобы первым выполнялось вычитание, а вторым — сложение. Во втором выражении наличие скобок меняет порядок действий, оговоренный ранее, и требует первым выполнить сложение, т. е. в этом случае скобки имеют значение. "

Чтобы не путать ребенка разнородными указаниями, учитель обычно настаивает на приучении детей к жесткому соблюдению этого правила во всех случаях, чтобы создать стереотип восприятия скобок. Так, для выполнения вычислений вида 9 + (2 + 5) также жестко требуется выполнение действия в скобках первым, хотя технически было бы проще использовать группировку слагаемых, тем более, что математически порядок действий при последовательном сложении безразличен.

Установка на приоритетность выполнения действия в скобках сохраняется на весь период обучения ребенка в начальной школе.

Родители, помня, что в математике при выполнении алгебраических преобразований в старших классах используют правила раскрытия скобок, часто пытаются учить этим правилам младших школьников, поскольку эти правила существенно упрощают вычисления во многих случаях. Методически это нецелесообразное действие, поскольку в третьем и четвертом классе дети изучают еще несколько правил порядка выполнения действий и вычислительных операций, основанных на приоритетности выполнения действий в скобках.

Два разнородных указания на способ действий при наличии скобок в выражениях может запутать ребенка. При этом само понятие «смена знака» при раскрытии скобок подразумевает, что ребенок знает о существовании чисел разных знаков (положительных и отрицательных), а также понимает смысл операции смены знака.

Поскольку в начальных классах дети знакомятся только с натуральными числами, все эти операции не могут быть объяснены без знакомства с отрицательными числами, их свойствами и действиями с ними. А это уже программа 5—6 классов школы.