Глава 3. Изучение арифметических действий

в начальной школе....................................................................................................................80

Лекция 7.

Вычислительные приемы сложения и вычитания

для чисел первого и второго десятка.........................................................................................80

Лекция 8.

Вычислительные приемы сложения и вычитания

для чисел первой сотни.............................................................................................................101

Лекция 9.

Вычислительные приемы сложения и вычитания

для чисел первой тысячи и многозначных чисел...................................................................128

Лекция 10.

Умножение.................................................................................................................................138

Лекция 11.

Деление.......................................................................................................................................150

Лекция 12.

Особые случаи умножения и деления.....................................................................................155

Лекция 13.

Письменное умножение и деление..........................................................................................174

Лекция 14.

Приемы рациональных вычислений в начальных классах....................................................187

Глава 4. Изучение величин в начальной школе................................................................193

Лекция 15.

Основные величины, изучаемые в начальной школе.............................................................193

Глава 5. Геометрический материал в программе начальных

классов.......................................................................................................................................215

Лекция 16.

Элементы геометрии в начальной школе................................................................................215

Глава 6. Алгебраический материал в программе начальных

классов.......................................................................................................................................241

Лекция 17.

Элементы алгебры в начальной школе....................................................................................241

Глава 7. Доли и дроби в курсе математики начальных

классов.......................................................................................................................................256

Лекция 18.

Система изучения дробей в начальной школе…………………………………....................256

Глава 8. Решение задач в начальной школе.......................................................................266

Лекция 19.

Обучение младших школьников решению задач...................................................................266

Лекция 20.

Методика обучения решению задач........................................................................................285

Лекция 21.

Использование приема моделирования при обучении решению задач...............................305

Глава 9. Методическая подготовка учителя к обучению

математике в начальной школе............................................................................................358

Лекция 22.

Подготовка учителя к уроку математики

в начальных классах..................................................................................................................358

Глава 10. Личностно-ориентированное обучение на уроках

математики в начальной школе...........................................................................................401

Лекция 23.

Индивидуализация обучения математике как средство развития личности учащегося начальных классов..............................................................................................................................401

Литература..................................................................................................................................454

Глава 1

Общие вопросы методики преподавания математики

Лекция 1. Организация математического развития ребенка как способ реализации «Концепции непрерывного образования в системе дошкольного и начального образования»

Математика сегодня — это одна из жизненно важных областей знания современного человечества, необходимая для существования человека в цивилизованном обществе. Широкое использование техники, в том числе и компьютерной, требует от индивида определенного минимума математических знаний и представлений.

Существуют различные взгляды на объем и качество этого необходимого для социализации минимума. Проблема создания оптимального курса математики для общеобразовательной школы более чем актуальна.

На сегодняшний день существует не менее пятнадцати учебников по математике для начальных классов, и почти все они рекомендованы Министерством образования и науки РФ к использованию в учебном процессе.

Последнее десятилетие XX в. характеризуется значимыми изменениями в подходах к определению целей начального математического образования. Эти изменения были порождены сменой приоритетных целей обучения: их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного деятелъностного подхода.

Рассмотрим эти изменения. С этой позиции целесообразным будет тот курс математики для младших школьников, который позволял бы средствами данного предмета реализовать идею развивающего обучения, и в то же время обеспечивал усвоение соответствующих знаний и умений, готовил и позволял бы уже с первых шагов творчески использовать их при решении разнообразных задач как практического, так и теоретического характера.

Базовым положением упомянутой выше концепции является положение о том, что начальное звено в системе школьного образования обладает своей собственной непреходящей ценностью, и поэтому обязано предоставить ребенку возможность и условия самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте. Полагая учебную деятельность ведущим видом деятельности в этом возрасте, необходимо при построении системы (содержание, методы, средства, формы организации обучения) предусмотреть возможность самореализации ребенка при изучении конкретного содержания. Иными словами, ребенок младшего школьного возраста должен всегда видеть и понимать применимость своих знаний и умений в значимой для него практической деятельности.

Иными словами, на данном этапе жизни ребенка образовательная система обязана предоставить ему возможность и условия самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте.

В «Концепции непрерывного образования детей дошкольного и младшего школьного возраста» обозначены общие цели:

• воспитание нравственного человека;

• охрана и укрепление физического и психического здоровья детей;

• сохранение и поддержка индивидуальности ребенка, физическое и психическое развитие детей.

Знания, умения и навыки рассматриваются в системе непрерывного образования в качестве важнейшего средства развития ребенка.

В интервью с академиком А.А. Леонтьевым, приведенном после текста «Концепции», особо отмечено то, что «Концепция» не имеет целью обозначать чему и как учить, а призвана обозначить, что именно в развитии ребенка должно обеспечить образование и каким мы ожидаем видеть ребенка на пороге начальной, а затем средней школы.

Поскольку «Концепция» не уходит от содержательной характеристики образования, целесообразнее было бы предположить, что средством развития ребенка должно стать это содержание, а усвоение знаний умений и навыков — следствием достижения ребенком определенного уровня развития познавательной деятельности.

Применяя свои знания и умения в различных видах значимой для него деятельности, ребенок будет самоутверждаться и самореализовываться как личность. А задача педагога — сделать этот процесс успешным для ребенка, т. е. таким образом организовать условия этой деятельности, чтобы ребенок сумел справиться со всеми ее проблемами, используя свои знания и умения. При этом, чем выше методическое мастерство педагога, тем незаметнее для ребенка становится его помощь в преодолении возникающих трудностей. Именно в этом случае возможно достижение ребенком эмоционального благополучия, стимулирование активности детей в различных видах деятельности, развитие компетентности в сфере отношений к миру, к людям, к себе; будут решаться обозначенные в «Концепции» приоритетные задачи непрерывного образования детей на ступени начальной школы:

• осознанное принятие ценностей здорового образа жизни и регуляция своего поведения в соответствии с ними;

• готовность к активному взаимодействию с окружающим миром (эмоциональная, интеллектуальная, коммуникативная, деловая и др.);

• желание и умение учиться, готовность к образованию в основном звене школы и самообразованию;

• инициативность, самостоятельность, навыки сотрудничества в разных видах деятельности;

• совершенствование достижений дошкольного развития (на протяжении всего начального образования); специальная помощь по развитию несформированных в дошкольном детстве качеств;

• идивидуализация процесса обучения, особенно в случаях опережающего развития или отставания.

С этой точки зрения создание системы непрерывного образования на дошкольной и начальной ступени имеет цель:

• сохранение самоценности каждого возрастного периода развития ребенка;

• формирование у дошкольника готовности к школьному обучению не на содержательном, а на деятельностном уровне, т.е. наличие сформированности умений учиться как фундаментальных новообразований, что обеспечит психологическую готовность ребенка к школе;

• освоение ребенком разных форм взаимодействия с окружающим миром;

• обеспечение индивидуализации процесса обучения и развития ребенка.

Все обозначенные выше цели создания системы непрерывного образования на дошкольной и начальной ступени требуют глубокой аналитической исследовательской деятельности от специалистов, разрабатывающих проблему преемственности между дошкольным и начальным звеном, поскольку вопросы формирования умений учиться как психологических новообразований в дошкольном возрасте являются практически не разработанными в теории дошкольного воспитания. Отсутствие преемственности между дошкольным и начальным школьным образовательным звеном в этом вопросе порождает как для ребенка, так и для учителя начальных классов сложнейшую проблему адаптации ребенка к условиям школьного обучения в первом классе. Многие психологи и специалисты коррекционного обучения полагают, что негативные последствия адаптационного стресса могут в дальнейшем оказать влияние на весь процесс обучения ребенка в начальной школе. То же самое можно сказать об уровне разработки одной из сложнейших на сегодняшний день проблем процесса организации обучения — его индивидуализации (как на дошкольном, так и на школьном этапе), особенно в случаях опережающего развития или отставания.

Содержательный объем начального математического образования ребенка определяется не столько количеством (перечнем) понятий и способов действий с ними, определенным программой обучения, сколько той ролью, которую может и должно сыграть это содержание в развитии личности ребенка в этот период. Традиционно учитель всегда был более озабочен процессов формирования знаний и умений младшего школьника. На это нацеливали программы, непременно снабженные перечнями четко обозначенных знаний и умений школьников на всех этапах обучения. На это всегда были негласно ориентированы требования преемственности обучения, понимаемой как наличие, главным образом, предметных знаний и умений школьников при переходе в среднее звено. И сегодня, на вопрос: «Что вы хотите от выпускника начальной школы?» абсолютное большинство предметников-математиков отвечает: «Умения считать, знания таблиц сложения и умножения, письменных алгоритмов действий и умения решать арифметические задачи». К сожалению, могут пройти еще годы и годы, пока новая образовательная парадигма будет осознанна и принята педагогами всех ступеней образования.

Как же на сегодня формулируются цели начального образования в общем и начального математического образования в частности в рассматриваемой Концепции и насколько это соотносится с традиционными требованиями средней школы к уровню математической подготовки выпускника начальной школы?

В Концепции отмечается, что начальное образование имеет свои характерные особенности, резко отличающие его от последующих этапов систематического школьного образования.

Во-первых, это первоначальное формирование учебно-познавательной деятельности детей и, в частности, познавательной мотивации.

Во-вторых, это становление самосознания и самооценки ребенка как субъекта новой для него деятельности («Я — ученик, школьник»).

В-третьих, это особое значение начального образования как базы всего последующего обучения применительно ко всем образовательным областям. Без овладения чтением, письмом, счетом и т. д. невозможно образование на следующих этапах.

В-четвертых, предполагается, что в начальной школе закладываются основы обобщенного и целостного, представления о мире, человеке, его творческой деятельности, которые развиваются и дифференцируются в основной школе.

Специфика начальной школы как самоценного звена общей системы образования проявляется и в том, что каждый компонент его содержания способен «обслуживать» различные образовательные области и предметы, их составляющие, вносит свой вклад в развитие ребенка и его подготовку к дальнейшему образованию. Таким образом, содержание начального образования, выполняя одну из важнейших функций — формирование готовности к дальнейшему образованию и самообразованию, — может рассматриваться как пропедевтическое по отношению к содержанию образования в основной школе.

Исходя из сказанного, авторы Концепции считают, что нельзя прямо проецировать в содержание начального образования систему образовательных областей, принятых в основной школе. Применительно к начальной школе целесообразно говорить не об образовательной области, а о введении в образовательную область. Такое уточнение оправданно, так как, во-первых, определяет целевую направленность образования в начальной школе на общее развитие ребенка, во-вторых, подтверждает его непрерывность и преемственность с основной школой, в-третьих, подчеркивает специфику начального образования и необходимость ее учитывать при отборе содержания образования.

В таблице (с. 10) показана предлагаемая в Концепции преемственность между конкретным Введением в образовательную область, предложенным для начальной школы, и конкретной Образовательной областью, изучаемой в основном звене школы. Следует иметь в виду, что пропедевтическая роль каждого компонента начального образования по отношению к другим образовательным областям отражается на уровне содержания образования.

Рассматривая математику как образовательную область, прежде всего следует определить вклад данной образовательной области и развитие умения учиться как основного новообразования младшего школьника в результате его обучения в начальной школе.

Применительно к математическому содержанию формирование умения учиться, помимо рефлексии как центрального механизма,

лежащего в основе изменений мышления, деятельности, коммуникации и самосознания, предполагает развитие:

• интуитивного и логического мышления и соответствующего им математического языка;

• элементарных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, сериации, классификации и др.);

• умений оперировать знаково-символическими средствами, выражать содержание (объекты, явления, признаки, отношения, действия, преобразования) в разных знаково-символических формах, переходить от одного языка к другому, отделять содержание от формы его представления;

• начал творческой деятельности (пространственного воображения, способов решения задач, представления информации и др.).

В соответствии с этими целями развития проектируется предметное содержание учебной деятельности. Образовательные цели обучения математике младших школьников, достижение которых должно одновременно обеспечить перечисленные цели развития, могут быть сформулированы следующим образом:

1) овладение определенной системой математических понятий и общих способов действий по двум ведущим содержательным линиям: «Число и вычисления» и «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин»;

2) овладение первоначальными представлениями о ведущем математическом методе познания реальной действительности — математическом моделировании;

3) формирование общего умения решать задачи.

Содержательная линия «Число и вычисления» дает учащимся возможность получить представления о натуральном числе как результате счета и измерения величин, понять особенности построения натурального ряда чисел, освоить принцип позиционной системы записи чисел, овладеть арифметическими действиями С натуральными числами и величинами.

Реализация в обучении второй линии «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин» предоставляет школьникам возможность осознать геометрические формы как образы предметов окружающего мира; познакомиться с различными геометрическими фигурами, открыть некоторые их свойства через преобразование, конструирование, изображение, выполнение простейших дедуктивных умозаключений и измерений.

В процессе освоения данного содержания дети не только получают первоначальные представления о математическом моделировании, о структуре задачи и этапах ее решения, но происходит и развитие их логического мышления, мыслительных процессов, умений оперировать знаково-символическими средствами.

Математика изучается в течение всех четырех лет обучения в начальной школе, в базисном учебном плане она обозначена как часть федерального компонента. Нетрудно заметить, что первая из указанных образовательных целей определяет содержательное наполнение программы, а вторая и третья — характеризуют виды деятельности с математическими понятиями, включенными в программу.

Таким образом важнейшим итогом начальной математической подготовки ребенка является не только и не столько накопление определенного запаса предметных знаний и умений, сколько умственное развитие ребенка, формирование у него необходимых специфических познавательных и умственных умений, которые являются базовыми для успешного усвоения в дальнейшем математического (и любого другого) содержания.

Рассмотренные тенденции изменения взглядов на цели и задачи начального математического образования порождают ряд проблем, которые становятся актуальными как для педагогов-практиков, так и для методической науки. Эти проблемы связаны с разработкой теоретических концепций, лежащих в основе построения обучающих курсов, с отбором их содержания, методов и форм организации деятельности детей в процессе их изучения.