2. Вычислительные приемы для чисел первого десятка

Вычислительные приемы первого десятка изучаются в теме «Сложение и вычитание в пределах 10» в 1 классе при обучении по любому учебнику математики для начальных классов. Результатом изучения данной темы должно явиться формирование осознанной самостоятельной вычислительной деятельности ребенка. При этом программой оговорена необходимость знания наизусть результатов действий сложения и вычитания в пределах 10 (так называемое «табличное сложение и вычитание»).

Присчитывание и отсчитывание

Первым вычислительным приемом, который осваивает первоклассник, является прием вида a ± 1. Основой данного приема является принцип образования чисел в натуральном ряду: каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

Усвоение ребенком этого принципа являлось центральной задачей изучения нумерации первого десятка.

Следствием этого принципа является способ нахождения значений выражений вида 5 + 1; 8 + 1; 6 - 1; 7 - 1 и т. п. путем называния либо следующего, либо предыдущего числа. Иными словами, для нахождения значения данных выражений нет необходимости выполнять какой-то прием арифметических действий, достаточно понимать, что добавление 1 ведет к получению следующего по счету числа, а убавление 1 — к появлению предыдущего по счету числа. Именно для получения результатов в таких выражениях ребенок заучивал наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке.

Число предыдущее стоит в ряду чисел левее данного. При счете называется непосредственно перед данным, количественно оно содержит на одну единицу меньше данного.

Число последующее (следующее) стоит в ряду чисел правее данного. При счете называется непосредственно после данного, количественно оно содержит на одну единицу больше данного.

Хорошее понимание принципа построения натурального ряда чисел ведет к легкому освоению приемов присчитывания и от-считывания по 1 и легкому выполнению вычислительной деятельности в случаях:

7+1 17+ 1 177+ 1 10 277 + 1

7- 1 17- 1 177- 1 10 277-1

Во всех случаях ссылка на принцип построения натуральной последовательности чисел является наиболее рациональной вплоть до 4 класса (общий прием вычислений):

— прибавляя к числу 1, получаем следующее по счету;

— вычитая из числа 1, получаем предыдущее по счету.

Этот же прием является действующим и в трудных случаях (вплоть до 4 класса):

9+ 1 19+ 1 199 + 1 999 + 1 99 999 +1

10- 1 20- 1 200 - 1 1 000 - 1 100 000 - 1

При нахождении ответа в данных примерах удобно ссылаться на порядок счета: следующим за числом 99 999 является число 100 000; предшествующим числом для числа 1 000 является 999.

В «Методике преподавания математики в начальных классах» (авт. М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова) отмечается, что «на специально отведенном уроке... под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их наизусть». При хорошем усвоении принципа образования чисел в натуральном ряду нет необходимости организовывать специальное заучивание результатов этой таблицы, поскольку умение ребенка называть ее результаты связано с хорошим знанием прямой и обратной последовательности чисел в пределах 10.

Использование линейки в качестве наглядной опоры для запоминания последовательности чисел, а также для усвоения способа нахождения числа последующего и предыдущего создает хорошие условия для интериоризации (усвоения образа во внутреннем плане, формирования наглядно представимой мысленной модели ряда натуральных чисел) способа нахождения результатов присчитывания и отсчитывания для детей с ведущим наглядно-образным мышлением.

Для детей с ведущим кинестезическим восприятием и ведущим кинестезическим типом памяти (т. е. требующим обязательной поддержки словесной информации мышечным усилием, двигательным действием) следует не только допускать, но и поощрять использование пальцевого счета при изучении всех вычислительных приемов первого десятка. Естественно, этот вариант внешнего подкрепления вычислительной деятельности является более медленным, многим учителям он кажется недопустимым для школьников, а потому старательно искореняется уже при обучении вычислениям в пределах первого десятка. В качестве аргумента защиты использования этого способа подкрепления вычислительной деятельности для детей с ведущим кинестезическим типом можно привести многочисленные исследования психологов последних десятилетий, подтверждающие, что при исключении двигательных действий у этих детей и при ориентации на заучивание результатов без подкрепления предметной деятельностью усвоение происходит на формальном уровне, по принципу зазубривания без понимания, а в дальнейшем это крайне осложняет формирование вычислительной деятельности с числами в пределах сотни, тысячи и т. п.

Прибавление и вычитание по частям

Следующую группу вычислительных приемов в пределах первого десятка составляют случаи вида: a ± 2, a ± 3, a ±4, результаты которых могут быть найдены с помощью последовательного присчитывания или отсчитывания:

2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1; 7-4 = 7-1-1-1-1 или с помощью прибавления и вычитания по частям:

2 + 3 = 2 + 1 + 2; 7-4 = 7-2-2

Подготовительным приемом к обучению ребенка этим случаям вычислений является прием вида: я+1 + 1ия-1-1,в основе которого лежит последовательное отсчитывание по 1 или присчитывание по 1.

Знакомство с этим приемом является очень важным. Во-первых, осваивая данный вычислительный прием, ребенок впервые встречается с выражением, содержащим более одного знака действий. Во-вторых, при выполнении вычислений впервые в неявном виде (т. е. без сообщения ребенку самого правила) используется правило порядка выполнения действий одной ступени без скобок:

При выполнении действий одной ступени без скобок, действия выполняются по порядку слева направо.

В-третьих, при выполнении данного вида вычислений не нужны специальные вычислительные действия какого-то нового вида, а требуется лишь последовательное применение принципа образования чисел в натуральном ряду.

Например:

Вычислите 6 + 1 + 1.

(Прибавляя к 6 единицу, получаем число следующее — это 7; прибавляя к 7 единицу, получаем следующее число — это 8. Значит, 6+1+1 — 8.)

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку — прибавляя единицу дважды, ребенок делает вправо от числа 6 два «шага», получая ответ наглядно (на первых порах эти «шаги» полезно прослеживать пальцем).

При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или загибает) последовательно два пальца, присчитывая их к 6 пальцам, или, в крайнем случае, сосчитывая заново все количество отогнутых (загнутых) пальцев.

Аналогично ребенок действует в случае вычислений вида а - 1 - 1. В этом случае используется понимание образования числа предыдущего к данному и знание последовательности чисел в обратном порядке.

Вычислительный прием а ±2 является случаем, объединяющим последовательное присчитывание (отсчитывание) двух единиц к числу, производимое в предыдущем случае.

При прибавлении к любому числу двух, ребенок заменяет его на сумму двух единиц и последовательно присчитывает (отсчитывает) их от числа.

Например: 3 + 2 = 3+1 + 1

1 1

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку — прибавляя два, ребенок делает вправо от числа два «шага», получая ответ наглядно.

В качестве наглядной модели удобно также использовать счеты, поскольку прибавляя или вычитая 2, ребенок чаще всего перебрасывает дважды по одной косточке, фактически моделируя приведенную выше схему приема. Если ребенок сначала сосчитывает на счетах две косточки, а потом перебрасывает их, он, как правило, затем при нахождении результата сосчитывает заново все количество оставшихся (полученных) косточек. Этот способ выполнения вычислений показывает, что ребенок понимает смысл действий, но приемами присчитывания и отсчитывания по каким-то причинам не пользуется. В этом случае следует заменить счеты на линейку.

При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или загибает два пальца, присчитывая (или отсчитывая) два или сосчитывая весь результат.

Методически ставится цель довести умение ребенка прибавлять и отнимать 2 до состояния навыка, т. е. до запоминания результатов прибавления и вычитания двух в пределах 10 наизусть:

1+2=3 2+2=4 3+2=5 4+2=6

5+2=7 6+2=8 7+2=9 8+2=10

3-2=1 4-2=2 5-2=3 6-2=4

7-2=5 8-2=6 9-2=7 10-2=8

Таблица сложения и вычитания двух содержит самое большое количество случаев, а поскольку она изучается первой, многие дети испытывают большие трудности, пытаясь заучить этот объем.

Если ребенок хорошо владеет приемами присчитывания и отсчитывания, он всегда может вычислить забытый случай из таблицы, используя осознанную вычислительную деятельность. Для многих детей с проблемами процессов запоминания (это характерно для многих часто болеющих детей, что обусловлено действием некоторых медицинских препаратов, для детей с синдромом дефицита внимания, с гиперподвижностью, для детей с задержкой развития и т.д.) формирование осознанной вычислительной деятельности — это единственно возможный путь избежать мучительного и бессмысленного зазубривания.

Если при изучении чисел в пределах 10 (в разделе «нумерация в пределах 10»), ребенок выучил наизусть состав однозначных чисел и легко его воспроизводит, то проще всего для запоминания таблицы сложения и вычитания связать соответствующие случаи с составом однозначных чисел:

3 значит 3 = 1 + 2 тогда 1 + 2 = 3,а3-2 =1

1 2

7 значит 7 = 5 + 2 тогда 5 + 2 = 7,а7-2 = 5

5 2

При опоре на состав числа имеет смысл сразу ориентировать ребенка на составление и запоминание тройки взаимосвязанных равенств:

8 6 + 2 = 8, 8-2 = 6, 8-6 = 2

6 2

Умение прибавлять и вычитать 2 является опорным умением для формирования дальнейшей вычислительной деятельности.

Вычислительные приемы а + 3 и а ± 4 могут выполняться последовательным присчитыванием или отсчитыванием по 1:

8-4 = 8-1-1-1-1; 6 + 3 = 6+1 + 1 + 1

В этом случае используется ссылка на понятие числа предыдущего и последующего. Может быть использована линейка, по которой ребенок делает нужное количество «шагов» вправо или влево от заданного числа, или пальцевый счет. Методически этот способ считается менее совершенным, чем прибавление и вычитание по частям для данных вычислительных приемов.

57

Прибавление (или вычитание) по частям предполагает раскладывание второго слагаемого (или вычитаемого) на удобные для выполнения вычислений составные части, и последовательное их прибавление (или вычитание):

Например:

Приведенные примеры показывают, что с приемами а±Зиа±А легче справиться тем детям, которые помнят наизусть результаты случаев прибавления и вычитания двух, или могут достаточно быстро найти (вычислить) эти результаты.

Именно для освоения вычислений вида а±3иа±4 предыдущую таблицу для случая а ± 2 учитель требовал заучивать наизусть.

После освоения приема вычислений по частям, составляют таблицы для случаев а ± 3:

1+3=4	2+3=5	3+3=6
4+3=7	5+3=8	6+3=9	7+3=10
4-3=1	5-3=2	6-3=3
7-3=4	8-3=5	9-3=6	10-3=7

а также а ± 4:

1+4=5	2+4=6	3+4=7
4+4=8	5+4=9	6 +4=10
5-4=1	6-4=2	7-4=3
8-4 = 4	9-4 = 5	10-4 = 6

Первая таблица содержит 14 случаев, вторая таблица содержит 12 случаев. В сумме с 16 случаями таблицы прибавления двух получается 42 случая. Неудивительно, что очень многие дети на этапе изучения табличного сложения и вычитания в пределах 10 испытывают массу трудностей, в связи с необходимостью в достаточно короткие сроки заучить наизусть большой объем формализованного материала. При этом единственным мотивом изучения этого объема наизусть для ребенка выступает требование учителя. Все задания на решение примеров в этот период (а также на решение задач, на сравнение выражений и т. п.) требуют воспроизведения наизусть табличных случаев сложения и вычитания вразбивку. Поэтому, если ребенок учил таблицу наизусть подряд (например, по возрастанию результатов и т. п.), то даже легко отвечая ее результаты подряд, он может ошибаться при воспроизведении таблицы вразбивку, и тем более при необходимости воспроизводить вразбивку случаи из разных таблиц.

В связи с этим при запоминании таблиц для случаев вида а±3 и а ± 4 многие учебники математики для 1 класса ориентируют ребенка на использование состава числа как основы для запоминания таблиц сложения и вычитания. При ориентации на состав числа удобнее делать акцент не на составление и заучивание таблицы каждого случая целиком, а на составление и запоминание взаимосвязанных троек:

9 9 = 5 + 4, значит, 5 + 4 = 9; 9-4 = 5; 9-5 = 4

5 4

В качестве внешней опоры при вычислении случаев вида а±3 и а + 4 может быть использована линейка, счеты, пальцевый счет. Для ускорения вычислений в домашних условиях (при выполнении домашней работы) часто используют треугольную таблицу, помогающую найти результат суммирования любых пар чисел в пределах 10. Такая таблица может быть повешена над столом ребенка. Постоянное обращение к ней при выполнении домашних заданий более полезно, чем использование калькулятора, поскольку зрительный образ соответствующих случаев постепенно запоминается ребенком, пополняя тем самым количество запомненных наизусть случаев табличного сложения и вычитания.

Таблица сложения и вычитания:

Перестановка слагаемых Правило перестановки слагаемых:

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Свойство перестановки слагаемых (переместительное свойство сложения) используется в 1 классе при знакомстве с вычислительными приемами видая + 5, а + 6, а + 7, а + 8 и а + 9.

В этих случаях второе слагаемое больше первого (поскольку рассматриваются случаи сложения в пределах 10). Применение при вычислениях перестановки слагаемых позволяет свести все эти случаи к ранее изученным.

Например: 2 + 8 = 8 + 2 = 10.

Перестановка слагаемых может рассматриваться как прием вычислений.

Этот вычислительный прием облегчает вычислительную деятельность и является общим приемом вычислений при сложении любых чисел.

Например: 12 + 346 = 346 + 12 = 358

Прием перестановки слагаемых позволяет составить краткую таблицу сложения в пределах 10:

С учетом свойства перестановки слагаемых данная таблица включает все случаи сложения в пределах 10. Таблица содержит 15 случаев и, безусловно, ее заучивание для ребенка намного более легкая задача, чем заучивание полной таблицы.

Данная таблица появляется значительно позднее, чем начинается заучивание таблиц (для случаев а + 1, а ± 2, а ± 3, а ± 4) сложения и вычитания в пределах 10, поэтому не выполняет своей облегчающей вычисления задачи. На данный момент дети уже заучивали 42 случая предыдущих таблиц, и поэтому все случаи часто смешиваются. В связи с этим, некоторые альтернативные учебники (например, учебник Н.Б. Истоминой) сначала знакомят детей со сложением, его свойствами и таблицей сложения, а после того, как эти таблицы ребенком усваиваются, знакомят первоклассника с действием вычитания и таблицу вычитания рассматривают отдельно от таблицы сложения.

Случаи вида «вычесть 5, 6,7,8,9», символически обозначаемые в учебниках □ - 5, □ - 6, □ - 7, □ - 8, □ - 9, являются вычислительными приемами, основанными на составе однозначных чисел и взаимосвязи между суммой и слагаемыми.

С правилом взаимосвязи суммы и слагаемых дети знакомились ранее (см. выше). Состав чисел изучался в разделе «Нумерация в пределах 10».

Используя эти знания, дети осваивают прием вычитания чисел больше 5:

8-5 = 3 7-6=1 10-7 = 3

3 5 6 1 7 3

(8 — это Зи5;8 без 5 — это 3.)

Сложение и вычитание с нулем

Основное свойство нуля:

Прибавление и вычитание нуля результата не меняет.

В общем виде это свойство можно записать так: а±0⁼⁼аи0±а = а.

Порядок действий в выражениях без скобок

Порядок действий в выражениях без скобок в первом классе определяется следующим образом:

В выражении, содержащем сложное вычитание, или несколько знаков сложения, или несколько знаков вычитания, действия выполняются по порядку слева направо.

Это правило не содержится в учебнике, учитель знакомит с ним детей в процессе решения соответствующих примеров. Например:

Вычисли:

3 + 6 ~ 7 = 8-2 + 4 = 7-3-2 = 5 + 2 + 3 = ...

При решении этих примеров детям в 1 классе не разрешается пользоваться правилом группировки слагаемых, являющимся приемом рациональных вычислений.

Это правило появляется только во втором классе при изучении приемов вычислений в пределах 100, где детям сообщается:

Два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Такой методический подход объясняется тем, что раннее знакомство с этим приемом может быть воспринято ребенком как общее свойство для случаев сложения нескольких чисел, а также вычитания нескольких чисел.

В практике иногда наблюдается, что ребенок, полагающий, что это правило общее для сложения и вычитания, выполняет вычитание нескольких чисел следующим образом:

8 - 3 г- 2 = 7, так как 3 - 2 - 1, а 8 - 1 = 7,

что, естественно, неправильно.

Поскольку в большинстве учебников для начальных классов действия сложения и вычитания рассматриваются одновременно, для избежания подобных ошибок при выполнении действий правило группировки слагаемых в первом классе не используется. В этом случае правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок в первом классе является единым.

Группировка слагаемых

В некоторых альтернативных учебниках (например, в учебнике Н.Б. Истоминой) правило группировки слагаемых в неявном виде (без сообщения его учащимся) используется уже при изучении вычислительных приемов первого десятка. Это объясняется тем, что дети знакомятся сначала только со сложением и потому рассматривают все правила только относительно сложения (перестановка слагаемых, группировка слагаемых).

Например:

Можно ли утверждать, что значение выражений в каждом столбике одинаковы?

1 + 2 + 2+ 1 2+1 + 1 + 1

1+4+1 2+2+1

1+2+3 2+1+2

1+5 2+3

Подразумевается, что при объяснении равенства значений выражений в каждом столбике ребенок суммирует слагаемые, начиная со второго, т. е. такой прием считается допустимым.

(Сумма чисел 2,2 и 1 равна 5, сумма 4 и 1 также равна 5, сумма 2 и 3 также равна 5. Во всех случаях первое слагаемое равно 1 и к нему прибавляются одинаковые суммы, значит результаты равны.)