6 Листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?

Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 • 2 = 12 (листов).

Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?

Рассуждение:

Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 • 4 = 20 (мин).

Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?

Для ответов на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени. Сутки — это 24 часа.

Треть суток 24 : 3 = 8 (ч). Половина суток 24 : 2 = 12 (ч). Час — это 60 мин. Четверть часа 60 : 4 = 15 (мин). Год — это 12 месяцев. Четверть года 12 : 4 = 3 (мес). Три четверти года 3-3 = 9 (мес).

Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?

Рассуждение:

Третьих частей в отрезке может быть только три. 48 мм : 3 = 16 мм — длина одной третьей части.

Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.

Рассуждение:

Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм • 5 - 85 мм.

В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т. е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т. п., по специальным правилам, как это делается в 5—6 классах средней школы).

Результаты действий с дробями ребенок формирует как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке.

Например:

Рассуждения:

Одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски — вместе две четвертых доли полоски.

Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.

Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше, чем знаменатель, например:

; ; и т. п.

В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) практикуются задания, в которых дети должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т. п.

Для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы.

С точки зрения используемого в начальной школе определения выражение вида не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!

Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества равна 9 детям, а долей должны соответствовать количеству 64 человека — при том, что изначально их было 32!

Таким образом, при желании знакомить учеников начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие «Доли» вообще.

Глава 8

Решение задач в начальной школе

Лекция 19. Обучение младших школьников решению задач

1. Сюжетная задача как цель и средство обучения.

2. Подготовительная работа к обучению детей решению задач.

3. Знакомство с простой задачей.

4. Семантический анализ текста задачи.

1. Сюжетная задача как цель и средство обучения

Обучение решению задач в начальных классах является традицией русской методической школы. Первый русский учебник по математике для детей младшего возраста Л.Ф. Магницкого «Арифметика» (1703) содержал практически все виды задач, включаемые сегодня в учебники математики начальных классов. В то же время решение задач является наиболее проблемной частью изучения математики для большинства детей.

Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами. Ситуация обязательно содержит определенную зависимость между этими численными компонентами. Таким образом, текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности.

Непосредственно ситуация обычно задается в той части задачи, которая называется условием.

Завершается ситуация требованием найти неизвестный компонент. Требование может быть выражено в форме вопроса. Одни численные компоненты в задаче заданы — они называются данные, другие необходимо найти — их называют искомые.

В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомым — эти связи определяют выбор арифметических действий, необходимых для решения задачи.

«Решить задачу — значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи».

Согласно этому определению, для полноценной работы над задачей ребенок должен:

1) уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;

2) уметь анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;

3) уметь правильно выбирать и выполнять арифметические действия (и следовательно, быть хорошо знакомым с ними);

4) уметь записывать решение задачи с помощью соответствующей математической символики.

Технологически при решении задачи ребенок как минимум дважды выполняет «перекодировку» словесно заданной ситуации задачи — сначала переводя ее в краткую запись, рисунок или схему, для выявления связей между данными и искомым, а затем еще раз переводя выявленную зависимость на язык математических знаков и символов (запись решения).

Фактически под решением задачи можно понимать процесс «перекодировки» учеником словесно заданного сюжета, имеющего численные компоненты и характерную структуру, на язык арифметической записи (запись решения).

Для эффективного выполнения такой «перекодировки» ребенок должен свободно владеть анализом предложенной словесной структуры. Как уже было отмечено, под характерной структурой подразумевается опознаваемое в тексте условие и требование.

Условие — та часть текста, в которой задана сюжетная ситуация, численные компоненты этой ситуации и связи между ними. В стандартной формулировке условие выражается одним или несколькими повествовательными предложениями, содержащими численные компоненты.

Требование — та часть текста, в которой указана (названа, обозначена) искомая величина (число, множество). В стандартной формулировке учебников начальных классов требование обычно выражено вопросом, начинающимся словом «Сколько...?» и заканчивающимся знаком вопроса. Именно на эти внешние частные признаки условия и требования привыкают ориентироваться дети, если стандартные формулировки используются учителем (учебным пособием) постоянно и в большинстве случаев. При таком подходе у ребенка формируется негибкий (конвергентный) стереотип восприятия этих признаков задачи, и любое незначительное видоизменение структуры текста может представлять для ребенка значительные трудности.

Например, следующие тексты будут создавать проблему при работе над задачей, если ребенок привык к стандартным формулировкам:

Сколько литров молока надо отлить из 20-ти литрового бидона, чтобы в нем осталось 8 литров?

Задача начинается с вопроса, который соединен с условием в сложное предложение через запятую.

Найти скорость катера, который за 3 часа удалился от пристани по течению на 120 км. Скорость течения реки 5 км/ч.

В формулировке требования отсутствует слово «сколько» и знак вопроса. Вопрос «замаскирован» в условии, которое разбито на два повествовательных предложения.

Такие тексты в методике обучения математике младших школьников принято называть трансформированными. Можно придумать и другие варианты таких трансформированных текстов, но при этом следует отметить, что тексты последнего варианта являются характерными для формулировки задач в среднем и старшем звене. Иными, словами, именно эти структуры — перспективная линия, к которой следует готовить детей, имея в виду преемственность обучения математике, а вовсе не какие-то «изыски» для особо способных детей. К сожалению, большинство учителей начальных классов воспринимает подобные структуры как «задачи повышенной сложности», возможность включения которых в работу определяется наличием свободного времени, или адресуются только способным детям.

Данные — это, как правило, численные (числовые) компоненты текста задачи. Они характеризуют количественные отношения предлагаемой в задаче ситуации: значения величин, численные характеристики множеств, численные характеристики отношений между ними.

Например, задача о катере (выше) содержит численные характеристики величин (скорость и время). Задача: «В магазине продали два куска ситца. За первый кусок выручили 180 рублей, а за второй в 2 раза больше. Сколько денег выручили за второй кусок?» — содержит численную характеристику величины (длина) и численную характеристику отношения величин (в 2 раза больше). Задача: «Школьники посадили 15 саженцев яблони и 10 саженцев сливы. Сколько всего саженцев посадили школьники?» — содержит численные характеристики/Множеств.

Работа с данными заключается в обучении их распознаванию. Если задача сформулирована стандартным образом, то данные в ней обозначены числами и их легко выделить из текста. Численные значения величин и численные характеристики множеств обычно обозначены числами. Численные характеристики отношений между ними могут быть обозначены не числом, а словом, например: «в два раза больше», «столько же, сколько в первом» и т. п. В этом случае дети могут «терять» данные и вообще не воспринимать эти численные характеристики как данные. Провоцируется такая ситуация тем, что все тексты в начальной школе содержат данные, выраженные численно, а тексты задач первого года обучения содержат только численные данные. В этом случае ребенок (особенно плохо читающий) «выхватывает» числа из контекста, и выполняет с ними действия, практически независимо от ситуации, заданной в условии (чаще всего, ориентируясь на «ключевое» слово: улетели, дали, вместе, принесли и т. п.). Для 1 класса такой «способ» решения задачи, к сожалению, является типичным, чему способствует и методика, ориентированная на выбор «главного» слова. Между тем, слово не всегда определяет выбор действия, а вырванное из контекста, оно теряет свою однозначность и становится многозначным. Например, слово «улетели» вне контекста подталкивает ребенка к выполнению вычитания, но в тексте: «Сначала улетели 7 птиц, затем еще 2 птицы. Сколько птиц улетело?» — оно не определяет выбор действия. Выбор действия определяет ситуация условия. В задаче этого вида типичной ошибкой является действие 7-2 = 5 (пт.).

Порождается эта ошибка ориентиром на слово «улетели», а также тем, что первое заданное в условии число больше второго.

Распознаванию словесно заданных характеристик отношений в тексте задачи нужно учить сначала на специально подобранных текстах, где все данные выражены словами.

Искомое — нахождение искомого в численном выражении обычно является конечной целью процесса решения арифметической задачи.

В дальнейшем дети будут сталкиваться с другими видами задач, в частности, с задачами геометрического характера: на доказательство, на построение, где искомым является либо сам процесс решения (задачи на доказательство), либо результат этого процесса, выраженный не в численных характеристиках (фигура в задаче на построение; буквенное выражение в алгебраической задаче). В начальных классах такие задачи крайне редки, хотя в последней редакции традиционного учебника появились в небольшом количестве и задачи на построение, и задачи, требующие составления буквенного выражения, без нахождения его числового значения. Задачи последнего вида часто встречаются в учебнике Л.Г. Петер-сон. Приведем пример задачи, где процесс ее решения приводит к численному результату, который не является целью решения задачи, а лишь косвенно используется для характеристики неизвестного (учебник Н.Б. Истоминой).

Если цену учебника уменьшить в 3 раза, то получим цену блокнота. Блокнот в 3 раза дороже тетради. Краски в 9 раз дороже тетради. Хватит ли денег, которые мама дала для покупки учебника, на покупку красок?

Ответ к данной задаче предполагается в виде: «Денег на покупку красок хватит». Для ответа на вопрос данной задачи следует установить соотношение между ценами и фактически выразить цену красок в количестве «единичных цен», за которые нужно принять цену тетради (как самого дешевого предмета):

Учебник

Блокнот

Тетрадь —

Краски

Вывод: цена красок — это 9 цен тетради, цена учебника — тоже 9 цен тетради. Значит денег хватит (искомое).

Вопрос о роли задач в начальном курсе математики теоретически является дискуссионным, поскольку с одной стороны обучение решению задач рассматривается как цель обучения (ребенок должен уметь решать задачи!), а с другой стороны — процесс обучения решению задач рассматривается как способ математического в частности, и интеллектуального в целом, развития ребенка.

Сторонники первого подхода придерживаются четкой иерархии в построении системы обучения решению задач: в нарастании сложности задач (сначала простые задачи, затем составные в 2 действия, далее — составные большего количества действий), а также в четком разграничении типов задач с целью прочного усвоения детьми способов решения этих типов.

Другой подход требует при подборе задач ориентироваться на определенные интеллектуальные (мыслительные) действия, которые могут формироваться при работе над той или иной задачей. Этот подход требует учить детей выполнять семантический и структурный анализ текста задачи вне зависимости от ее типа и количества действий, выявлять взаимосвязи между условием и требованием, данными и искомым и описывать их каким-то образом — либо через промежуточную модель (рисунок, краткую запись, схему), либо сразу в математических символах (символическая модель) в виде записи решения. В этом случае обучение решению задач будет являться средством интеллектуального развития ребенка. При этом предполагается, что результатом этого интеллектуального развития будет являться умение решать задачи любого типа и уровня сложности. В связи с этим, все альтернативные учебники математики, построенные на основе этого подхода, содержат на последних годах обучения в начальной школе большое количество задач высокого уровня сложности.

Таким образом, суть современного развивающего методического подхода к обучению ребенка решению задач состоит в том, что методика желает сформировать у учащегося самостоятельную учебную деятельность в том числе и в плане решения задач. Иными словами, речь идет не о том, чтобы научить ребенка узнавать и решать ограниченный круг типовых задач, а научить ребенка решать любые задачи и притом самостоятельно. Исходя из жизненных реалий, понятно, что невозможно научить этому всех детей с одинаковым уровнем успешности в одинаковые сроки, но попытаться сформировать у ребенка умения самостоятельной работы над задачей как учебной проблемой — вот одна из основных методических линий современной методики обучения математике в начальных классах.