5. Моделирование при обучении решению задач на движение

Рассмотрим большую группу задач, традиционно считающихся трудными в обучении школьников начальных классов, — это задачи «на движение».

Трудность этих задач для ребенка методически обусловлена двумя причинами.

В первую очередь, это содержательная трудность. «Скорость» — это физическая величина, связывающая две величины, которые ребенок уже привык за период предыдущего обучения воспринимать каждую «саму по себе»: время и расстояние (длина). Для осознания каждой из них имеется либо визуальная опора (у длины, которую можно непосредственно «оценить глазом»), либо уже привычный за три года обучения инструмент измерения — линейка, часы. «Скорость» — это абстракция, которую ребенок не может ни увидеть, ни непосредственно измерить (т. е. «оценить» хотя бы, как время). Сама запись «скорости»: км/ч, м/мин — не имеет для ребенка никаких аналогий, особенно сейчас, когда в последней редакции традиционного учебника математики не дается запись дроби. И даже если она детям известна (как в альтернативных учебниках), ее способ чтения ничего не дает для понимания смысла понятия «скорость».

Второй причиной является технологическая трудность. Долгие годы традиционный курс математики впервые знакомил детей со схемой задачи «в отрезках» именно на задачах «на движение». Иными словами, без всякой предварительной подготовки к использованию графической символики (обычно после 2—3 лет использования задач краткой записи в качестве модели при решении), ребенок должен был ее освоить сразу на задачах с содержательно трудным понятием «скорость». Эти задачи появлялись во втором полугодии последнего года обучения в начальной школе, поэтому многие дети с таким трудом адаптируются к ним— они просто не успевают так быстро освоить одновременно новую величину с ее сложностями и чертеж в отрезках.

С точки зрения математической структуры эти задачи не являются новым видом — это задачи на пропорциональную зависимость: расстояние (длина) прямо пропорционально скорости и времени движения; и обратно: скорость движения обратно пропорциональна времени движения при постоянном значении расстояния. Та же зависимость наблюдается в задачах «на куплю-продажу», «на площадь», «на работу» и т. п. Однако многие учителя полагают, что задачи «на движение» представляют собой особую группу задач нового вида, и при обучении их решению нужны какие-то новые приемы. Докажем, что заранее сформированное у ребенка умение переводить словесно заданный текст задачи на язык графики (в схему в отрезках) является универсальным приемом самостоятельной деятельности ребенка при решении задачи на движение.

Задачи «на движение», содержащие пропорциональные величины, позволяют использовать как таблицы, так и схематические чертежи, причем последние являются, безусловно, более наглядной моделью.

Прежде чем приступить к решению задач, содержащих такие величины, как «скорость», «время» и «расстояние», необходимо разъяснить учащимся само понятие скорости. При этом следует опираться на опыт детей, широко использовать практический и наглядный методы.

Дети часто употребляют в своей речи слова «быстрее», «медленнее», не отдавая себе отчета в том, что эти слова связаны со скоростью (дети больше связывают их со временем). Для разъяснения понятия скорости можно задавать детям такие вопросы:

— Кто быстрее преодолеет данное расстояние: автомобилист или велосипедист, велосипедист или пешеход?

— Как вы понимаете слова «быстрее пройдет данное расстояние?»

— Чаще всего ответ учащихся связан со временем: «Пройдет за меньшее время».

— А почему он пройдет за меньшее время? (Он проходит в час расстояние большее.) Значит, его скорость больше.

Понятие о скорости конкретизируется в процессе решения задач, например, таких:

Пешеход за 3 ч прошел 15 км. В каждый час он проходил одинаковое расстояние. Сколько километров пешеход проходил в час?

Разбор задачи следует сопровождать графической моделью, на которой обозначаются данные задачи: обозначим все расстояние отрезком и отметим, что это расстояние он прошел за 3 часа:

15 км

Поскольку главная трудность при решении таких задач состоит в том, что неподвижная картинка является моделью равномерного непрерывного процесса (движения), в рисунок принято вводить стрелку, символизирующую это движение и его направление.

— Можно ли найти на чертеже точку, в которой окажется пешеход через час? Через 2 часа?

— Покажите, откуда он вышел? Где пешеход окажется через три часа?

— Что можно сказать о длинах трех отрезков? (Они равные, так как за час пешеход проходил одинаковое расстояние.)

— Как найти это расстояние? (15:3.)

— А можно ли узнать, сколько километров пройдет пешеход за 4 ч (за 5 ч, за 6 ч) двигаясь с той же скоростью?

— За какое время он может пройти расстояние в 35 км (40 км), если будет двигаться с той же скоростью?

Поиск ответов на такие вопросы поможет ученикам глубже осознать пропорциональную зависимость между скоростью, временем и расстоянием.

Электропоезд за 10 мин прошел 20 км, проходя каждую минуту одинаковое расстояние. Сколько километров проходил электропоезд в одну минуту?

Спортсмен преодолел 100 м за 10 с, пробегая за каждую секунду одинаковое расстояние. Сколько метров он пробегал за одну секунду?

При решении таких задач учащиеся знакомятся с различными единицами скорости, усваивают, что скорость — это расстояние, пройденное в единицу времени.

Для закрепления понятия скорости можно использовать и такие задания:

— Объясните, как понимать следующие выражения: «скорость самолета 810 км/ч», «скорость электропоезда 120 км/ч», «скорость лыжника18 км/ч», «космический корабль летит со скоростью 7200 м/с».

Для того чтобы учащиеся осознали зависимость между скоростью, временем и расстоянием, целесообразно рассматривать сразу по три взаимообратные задачи, оформляя их в таблицу.

Можно предлагать задание:

Составьте три взаимообратные задачи по этой таблице.

Графическое моделирование является наиболее эффективным и целесообразным приемом при решении большинства задач на движение. Рассмотрим задачи:

Поезд прошел некоторое расстояние за 10 час. С какой скоростью шел поезд?

Строим графическую модель:

?

10 ч

Одного взгляда на чертеж достаточно, чтобы обнаружить, что для ответа на вопрос не хватает данных: не дано расстояние.

Скорость велосипедиста 15 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 ч?

Типичной ошибкой учащихся при решении данной задачи является неправильный выбор действия (15:3).

Построение графической модели предупреждает эту ошибку:

Чертеж показывает, что для нахождения расстояния нужно взять по 15 три раза: 15 • 3 = 45 (км).

Совершая экскурсию по реке на катере, школьники проплыли 66 км. При этом 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч, а остальной путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько всего времени находились в пути школьники?

Если учитель планирует фронтальный разбор этой задачи, он может воспользоваться таблицей, которую заполняет в процессе разбора текста с детьми. Графическая модель к этой задаче является более наглядной и удобной для выполнения в тетради — по ней легко определить путь решения:

Мотоциклист ехал 3 ч со скоростью 60 км/ч и 2 ч со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал он за все это время?

В процессе разбора текста и вычленения данных целесообразно составить графическую модель:

Опираясь на чертеж, легко составить к этой задаче выражение: 6 • 3 + 70 • 2.

Туристы за день прошли пешком 18 км и проехали 2 ч на автобусе со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали туристы за день?

Таблица к данной задаче выглядит таким образом:

При разборе задачи она фактически не работает, поскольку неизвестные скорость и время в первой строке не нужны для решения задачи, в то время как использование графической модели поможет учащимся быстро найти решение:

При решении некоторых задач полезно часть условия записать в виде таблицы, а затем применить прием графического моделирования.

Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них может пройти это расстояние за 20 ч, другой — за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?

Анализ таблицы дает возможность найти скорость поездов:

1. 1200 : 20 = 60 (км/час)

2. 1200 : 30 = 40 (км/час)

После этого строится графическая модель:

Чертеж дает наглядное представление о движении поездов навстречу друг другу, облегчая поиск дальнейшего пути решения.

Расстояние от города до поселка велосипедист проехал за 3 ч со скоростью 16 км/ч. Возвращаясь обратно, он то же расстояние проехал за 4 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на обратном пути?

Для решения задачи можно использовать как графическую модель, так и таблицу.

Графическая модель:

Визуальный анализ рисунка подсказывает путь решения задачи, при этом сразу, еще до решения можно сказать, что скорость во втором случае будет меньше ~- это подсказывает рисунок.

После решения задачи полезно обратить внимание учащихся на взаимозависимость скорости и времени (чем больше скорость, тем меньше времени будет затрачено на дорогу, и наоборот). Для этого можно предложить сравнить скорость движения велосипедиста и подумать, почему на обратный путь велосипедист затратил больше времени. (Потому, что скорость была меньше.)

Особое место в этой группе занимают задачи на движение в противоположных направлениях (на сближение и удаление).

При их решении целесообразно использовать графическую модель, так как она дает наглядное представление о характере движения и во многом облегчает поиск решения задачи.

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу. Через 4 ч они встретились. Скорость первого пешехода 5 км/ч, скорость второго — 6 км/ч. На каком расстоянии первоначально находились пешеходы друг от друга?

При составлении графической модели необходимо довести до понимания учеников тот факт, что оба пешехода находились в пути одинаковое время.

С этой целью на подготовительном этапе можно предложить ряд таких заданий:

Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 7 ч. Сколько времени находился в пути каждый автомобиль?

Коля и Таня вышли одновременно в школу каждый из своего дома. Через 10 мин они встретились в школе. Сколько минут был в пути Коля? Сколько минут была в пути Таня?

Такого рода задания помогут учащимся осознать характерный момент задач на встречное движение: одинаковое время в пути для обоих сближающихся объектов (или удаляющихся).

Графическая модель уже визуально наводит учеников на два способа решения этой задачи:

I. 1)5 -4 = 20 (км) II. 1)6 + 5 = 11 (км/ч)

2) 6 + 4 = 24 (км) 2) 11 -4 = 44 (км)

3) 20 + 24 = 44 (км)

При решении задачи вторым способом можно ввести термин «скорость сближения», разъяснив его по графической модели. Учитель может сдвигать одновременно навстречу друг другу фигурки пешеходов, каждый раз на одно деление. Это значит, что прошел 1 час пути.

- На сколько приблизились (сблизились) друг к другу за 1 час пешеходы? (На5 + 6=11 км/ч)

Обращаем внимание детей на то, что складываются скорости, поэтому в наименовании ответа тоже скорость.

Далее учащиеся рассуждают так: «За 1 ч пешеходы сблизились на 11 км; за 4 ч они сблизятся на 11 -4 км».

Работая с данной задачей, целесообразно использовать различные методические приемы и прежде всего рассмотреть задачи обратные данной. Их можно предложить в графическом виде, облегчающем детям самостоятельное составление обратной задачи:

Составьте по чертежам три обратные задачи.

После рассмотрения обратных задач можно предложить учащимся вопросы:

— Ближе к какому пункту произойдет встреча?

Если в задаче даны обе скорости, то с помощью готового чертежа или при его выполнении полезно выяснить, почему пункт встречи находится ближе (или дальше) к одному из пунктов отправления, чем к другому. Если сначала известна только одна из скоростей, то данный вопрос полезно задать уже после решения задачи.

— Какое расстояние будет между пешеходами через час после встречи, если они продолжали двигаться в тех же направлениях?

Обратим внимание детей на то, что «скорость сближения» равна «скорости удаления».

— Могли ли пешеходы встретиться в середине пути?

— Кто из них придет в конечный пункт первым?

Можно использовать целый ряд приемов с целью подготовки учащихся к решению более сложных задач. Например, можно изменить данные в условии задачи и предложить детям составить задачу по такому чертежу:

— Поставьте вопрос к задаче по рисунку (На каком расстоянии друг от друга будут находиться пешеходы через 4ч?) и решите задачу.

Выполнение задания такого рода формирует умение читать чертеж, умение трансформировать (видоизменять) условие и решать задачи усложненного вида.

Аналогичный прием постепенного усложнения условия можно использовать и при решении задач на удаление в противоположных направлениях.