2. Математическое выражение и его значение

Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.

Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.

Например:

3 + 2 — математическое выражение;

7 - 5; 5 • 6 - 20; 64 : 8 + 2 — математические выражения; а + b; 1 - с; 23 - а •4 — математические выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.

Запись вида 5 < 6 или 3 + а > 7 - не являются математическими выражениями, это неравенства.

Числовые выражения

Математические выражения, содержащие только числа и знаки действий называют числовыми выражениями.

8 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе.

Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 и т. п. Выполнив указанные действия, получим значение выражения. Например: 30 - 5 + 7 = 32, где 32 — значение выражения.

Некоторые выражения, с которыми дети знакомятся в курсе математики начальных классов, имеют собственные названия: 4 + 5 — сумма; 6-5— разность; 7 • 6 — произведение; 63 : 7 — частное.

Эти выражения имеют названия для каждого компонента: компоненты суммы — слагаемые; компоненты разности — уменьшаемое и вычитаемое; компоненты произведения — множители; компоненты деления — делимое и делитель. Названия значений этих выражений совпадают с названием выражения, например: значение суммы называют «сумма»; значение частного называют «частное» и т. п.

Следующий вид числовых выражений — выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся в 1 классе. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Далее следуют числовые выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление). С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих; все арифметические действия без скобок: действия умножения и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание.

Последний вид числовых выражений — выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия и скобки: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умножения и деления, затем действия сложения и вычитания.

Тождественные преобразования числовых выражений

Тождественные преобразования выражений — это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Иными словами, тождественные преобразования не меняют значение выражения. В начальной школе все преобразования, выполняемые над выражениями, тождественные. Преобразования, которые могут нарушать тождественность, дети встречают только в математике старших классов — это возведение правой и левой части выражения в квадрат, потенциирование, логарифмирование и т. п.

В начальных классах тождественные преобразования опираются на свойства арифметических действий (прибавление суммы к числу, вычитания суммы из числа и т. п.). С учетом этих свойств можно изменять порядок действий в выражениях по отношению к общему правилу и при этом значение выражения не изменяется. Например:

(54 + 30) - 14 - (54 - 14) + 30 = 40 + 30 - 70. Тождественные преобразования могут выполняться на основе конкретного смысла действий. Например:

Сравни выражения:

35-6 + 35*35.7.

35> 6 + 35 = 35 • 7, значит, эти выражения имеют равные значения.

Буквенные выражения

Буквенные выражения наряду с числами содержат переменные, обозначенные буквами.

Выражения могут содержать одну букву. Например:

Найди значение выражения а + 3 при а= 7, а = 12, а= 65.

Каждое значение переменной а дает другое значение суммы. Анализ получаемых значений суммы подводит ребенка к выводу: чем больше значение одного из слагаемых при постоянном значении другого, тем больше значение суммы.

Например:

Найди значения выражений: 24 : с и с • 7, если с= 1, с= 3, с= 6, с= 8.

Анализ получаемых частных (24,8,4,3) подводит ребенка к выводу: увеличение значения делителя при постоянном делимом уменьшает значение частного.

Анализ получаемых произведений (7, 21, 42, 56) подводит ребенка к выводу: увеличение одного множителя при неизменном другом множителе, увеличивает значение произведения.

Выражения могут содержать две (и более) буквы.

Например:

Вычисли значения выражений a + b и b — а, если a = 23, b= 100; а =100, b= 450.

Для вычисления значений выражений заданные значения переменных поочередно подставляются в выражения. Задание имеет целью подвести ребенка к пониманию возможности переменных значений компонентов действий.

Буквы могут принимать любые значения, но следует обращать внимание на область допустимых значений неизвестных, заданную неявно тем, что все вычисления дети в начальных классах выполняют на области натуральных чисел. Так, в выражении b - a, переменная b может принимать любые значения, а переменная а может принимать значения только меньшие или равные b.

Для выражений, содержащих действия умножения и сложения, ограничений для значений неизвестных нет. А для выражений, содержащих действие деления, обычно предлагаются значения делимого и делителя, дающие значение частного без остатка.

Анализ приведенных примеров показывает, что буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий.

Использование буквенной символики представляет собой абстрагирование от конкретных количественных характеристик, которые ребенок достаточно легко может представить себе мысленно.

Например:

В клетке 2 зайчика белых и 3 зайчика серых. Сколько зайчиков всего?

Конкретное количество зайчиков можно представить на модели (палочки, кружки) и получить конкретный ответ в результате выполнения действия: 5 зайчиков всего.

Та же ситуация в буквенном виде:

В клетке а зайчиков белых и зайчиков серых. Сколько зайчиков всего?

В этом случае ответ записывается буквенным выражением a+6, смысл которого не должен соотноситься с конкретным числом. Выражение является описанием смысла ситуации (объединение двух множеств в одно посредством действия сложения), и в этом его главная роль.

Такая обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием. Именно в связи с этим раннее и активное приобщение к алгебраическим понятиям является важной составляющей курсов математики для начальных классов в системах Л.В. Занкова и В.В. Давыдова, поскольку одной из ведущих идей этих курсов является идея формирования и развития теоретического стиля мышления у ребенка.

Равенство и неравенство

Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.

Например: 3 + 7 = 10 — равенство.

Равенство может быть верным и неверным.

Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти такое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.

Например:

Вставь в окошки подходящие числа:

5-1=□ □ + □ = 4 □ -□ = □ 5-□ = 4.

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.

Например: 5 < 7; 6 > 4 — числовые неравенства

Неравенства также могут быть верными и неверными.

Например:

Подбери числа так, чтобы записи были верными:

□ >□;□<□.

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.

Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.

Например: _

Поставь знаки <=>:

5+1* 7; 6-3*3; 7 + 3* 9; 10-2*7.

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:

10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3

Возможен другой способ выбора знака сравнения — без ссылки на вычисления значения выражения.

Например:

Поставь знаки <=>: 7 + 2*7; 10-3* 10.

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2>7.

Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.

Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.

Сравнить два выражения — значит сравнить их значения. Например:

Поставь знаки <=>: 35 • 1 * 35 • 0 + 35 48 : 4 * 52 : 4

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:

35•1*35•0 + 35 48:4<52:4

\/ \/ / \/ \/

35 0 12 13

Возможен другой способ выбора знака сравнения — без ссылки на вычисления значения выражения. Например:

Поставь знаки <=>:

6 + 4*6 + 3 7-5*7-3 90: 5 * 90: 10

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.

Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.

Частное чисел 90 й 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90 : 5 > 90 : 10.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:

Проверь, верны ли неравенства:

45 - 18 < 42; 50 - 8 < 58 - 10; 27 + 15 > 32; 64 - 7 > 64 - 9

Выпиши верные равенства и неравенства:

9 дес. 9 ед. > 100; 5 см 6 мм = 65 мм; 69 + 8 = 77; 90 - 7 < 89

Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.

Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:

□ + 7 < 10; 5 - □ > 2; □ > 0; □ > □

После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:

а + 7> 10; 12-d<7.

Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).

Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5,<я = 6ит. д. — количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подходит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 — количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.

Уравнение

Равенство с неизвестным числом называют уравнением. Например: х + 23 = 45; 65-х= 13; 12 х = 48; 45:х=3. Решить уравнение — значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Это число называют корнем уравнения. Например: ₁

х + 23 - 45; х = 22, так как 22 + 23 = 45.

Таким образом, данное определение задает также способ проверки уравнения: подстановка найденного значения неизвестного числа в выражение, вычисление его значения и сравнение полученного результата с заданным числом (ответом).

Если значение неизвестного числа найдено верно, то получается верное равенство.

В начальной школе рассматриваются два способа решения уравнения.

Способ подбора

Подбирается подходящее значение неизвестного числа либо из заданных значений, либо из произвольного множества чисел.

Выбранное число должно при подстановке в выражение превращать его в верное равенство. Например:

Из чисел 7, 10, 5, 4, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство: 9 + х= 14 7-х=2 х-1 = 9 х+5 = 6

Каждое из предложенных чисел проверяется подстановкой в выражение и сравнением полученного значения с ответом.

При большом количестве предложенных значений этот способ отнимает много времени и сил. При самостоятельном подборе значений выражений ребенок может не найти самостоятельно возможное значение неизвестного.

Способ использования взаимосвязи компонентов действий

Используются правила взаимосвязи компонентов действий.

Например:

Реши уравнение:

9 + х= 14

Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Значит, х = 14 - 9; х = 5.

Реши уравнение:

7-х=2

Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит, х = 7 - 2; х = 5.

Реши уравнение:

х-1 = 9

Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Значит, х = 9 + 1; х = 10.

Для решения уравнений с действиями умножения и деления используются правила зависимости компонентов умножения и деления.

Например:

Реши уравнение:

96:х=24

Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. Значит, х = 96 : 24; х = 4. Проверим решение: 24 • 4 = 96.

Реши уравнение:

х:23 = 4

Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное. Значит, х = 23 • 4; х = 92. Проверим решение: 92 : 23 = 4.

Реши уравнение:

х- 14 = 84

Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Значит, х = 84 : 14; х = 6. Проверим решение: 6 • 14 = 84.

Использование данных правил дает более быстрый способ решения уравнений. Трудность заключается в том, что многие дети путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов (необходимо хорошо знать 6 правил и названия 10 компонентов).

Для более трудных уравнений используется метод подбора, например:

35 + х + х + х = 35 — очевидно, что неизвестное может принимать только нулевое значение;

78 - х - х = 76 — очевидно, что х = 1, поскольку 78 - 1 - 1 = 76.

Для уравнений со скобками вида (6 + х) - 5 = 38 используется правило взаимосвязи компонентов действий. Левую часть уравнения рассматривают сначала как разность, считая выражение в скобках единым неизвестным компонентом. Этот единый неизвестный компонент — уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

(6 + *)-38+5;

6 + *-43.

Таким образом уравнение приобретает привычный вид. В этом уравнении требуется найти неизвестное слагаемое: х = 43 - 6; х = 37.

Проверим решение (подставим найденное значение неизвестного в первоначальное выражение): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.

Ряд альтернативных учебников математики для начальных классов практикует знакомство детей с более сложными уравнениями (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон), для решения которых правила взаимосвязи компонентов действий рекомендуется применять многократно.

Например:

Реши уравнение:

(y-3)·5- 875 = 210

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и определим порядок действий.

(у-3)-5-875-210

Вид выражения в левой части определяем по последнему действию: последнее действие — вычитание, значит, начинаем рассматривать выражение как разность.

Уменьшаемое (у - 3) • 5, вычитаемое 875, значение разности 210.

Неизвестное содержится в уменьшаемом. Найдем уменьшаемое (рассматриваем все это выражение как единое уменьшаемое): чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

(y-3) • 5 = 210 + 875;

(y - 3) • 5 - 1085

Снова определим порядок действий: (у - 3) • 5 = 1085.

По последнему действию считаем выражение в левой части произведением. Первый множитель (y - 3), второй множитель 5, значение произведения 1085. Неизвестное содержится в первом множителе. Найдем его (считаем все выражение у - 3 неизвестным). Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

у - 3 - 1085 : 5;

у- 3 = 215.

Получили уравнение, в котором неизвестно уменьшаемое. Найдем его:

y - 215 + 3; у-218,

Проверим решение, подставив найденное значение неизвестного в первоначальное уравнение: (218-3) -5-875 = 210.

Вычислив значение левой части, убеждаемся в том, что получено верное равенство. Значит, уравнение решено верно.

Анализ приведенного способа решения показывает, что это длительный трудоемкий процесс, требующий от ребенка четкого знания всех правил, высокого уровня анализа и умения воспринимать комплексную структуру переменного, получаемую при пошаговом решении, как единое целое (высокий уровень синтеза и абстрагирования).

Взрослый, знакомый с универсальным методом решения подобных уравнений, применяемым в старших классах (раскрытие скобок, перенос компонентов уравнения слева направо) хорошо видит несовершенство и излишнюю трудоемкость этого метода. В связи с этим рядом методистов справедливо высказываются сомнения в целесообразности активного внедрения уравнений такой сложной структуры в курс математики начальной школы. Этот способ решения является нерациональным с математической точки зрения и будет забыт и отброшен, как только учитель математики в 5—7 классах познакомит ребенка с общими приемами решения уравнений подобного вида.