1. Начерти два отрезка так, чтобы длина одного была в два раза больше длины данного отрезка, а длина другого — в 2 раза меньше длины данного.

Выполнение:

Чтобы начертить отрезок в 2 раза больше данного, можно измерить его циркулем, и отложить на прямой последовательно два таких отрезка:

Полученный таким образом отрезок будет в два раза больше данного.

Чтобы начертить отрезок в два раза меньше данного, нужно разделить данный отрезок пополам, и построить отрезок, равный половине данного. Поскольку техника деления отрезка пополам с помощью циркуля предлагается детям для знакомства только на последней странице учебника 4 класса, очевидно, предполагается, что для выполнения этого задания следует использовать измерение и вычисление длины искомого отрезка, а потом его построение по известной длине.

Можно познакомить ребенка с техникой деления отрезка пополам с помощью циркуля:

2. Начерти на клетчатой бумаге и вырежи прямоугольник и два треугольника, как на чертеже.

Составь из этих фигур: четырехугольник, пятиугольник. Сравни площади составленных фигур.

Выполнение:

Задание конструктивного характера. Цель задания — показать ребенку, что равносоставленные фигуры имеют равные площади. Полезно составить различные по форме четырехугольники и убедиться в том, что пятиугольник получается только одной формы:

3. Начерти три таких четырехугольника. В каждом из них проведи один отрезок так, чтобы он разделил четырехугольник:

1) на два треугольника;

2) на треугольник и прямоугольник;

3) на квадрат и четырехугольник.

Выполнение:

См. характеристику задания 3 из 2 класса.

4. Начерти в тетради пятиугольник и покажи на чертеже, как можно двумя взмахами ножниц разрезать этот пятиугольник так, чтобы получилось 2 четырехугольника и 1 треугольник.

Выполнение:

Полезно рассмотреть разные варианты выполнения задания:

5. Начерти в тетради любую фигуру, кроме прямоугольника, так, чтобы ее площадь была 12 см².

Выполнение:

По условию фигура не может быть прямоугольником (а значит, и квадратом). Площади фигур другой формы ученики 3 класса умеют находить только способом подсчета квадратных сантиметров. Значит, следует рисовать фигуру произвольной формы, составленную из квадратиков по 1 см².

Другой, более сложный вариант: начертить прямоугольник площадью 24 см². Разделить его пополам — получится треугольник площадью 12 см².

4 класс

1. Начерти в тетради прямой, острый и тупой углы с общей вершиной в точке В разными цветными карандашами.

Выполнение:

Полезно обратить внимание ребенка на то, что получается 2 тупых угла:

2. Начерти в тетради четырехугольник ABCD, как на рисунке. Проведи в нем отрезок ВМ так, чтобы угол ВМС был прямым.

а а

Выполнение:

Для выполнения задания фактически требуется умение опускать перпендикуляр из точки на прямую, однако здесь предполагается, что ребенок, используя угольник, ищет позицию совмещения его сторон с отрезком CD и точкой В.

3. Начерти отрезки, как показано на чертеже. Соедини точки так, чтобы получился четы-_ рехугольник. Проверь, квадрат ли это.

Выполнение:

Рисунок в учебнике дан на клетчатой основе, поэтому его копирование требует только подсчета клеток. Получившаяся фигура будет квадратом. Задание иллюстрирует свойство диагоналей квадрата: диагонали квадрата при пересечении образуют прямой угол и делятся в точке пересечения пополам.

4. Рассмотри чертеж и начерти в тетради квадрат, диагональ которого равна 4 см. Проведи окружность так, чтобы она прошла через все вершины квадрата.

Выполнение:

Задание, аналогичное заданию 3 с добавлением заданной длины диагонали. Выполняется на основе подсчета клеток и свойств диагоналей квадрата. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром описанной (и вписанной) окружности.

5. Начерти окружность, проведи в ней диаметр и соедини концы диаметра с любой точкой окружности. Какого вида треугольник получился?

Выполнение: Получится прямоугольный треугольник. Задание иллюстрирует свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

6. Начерти прямой угол с вершиной в точке О. Отложи от точки О на сторонах угла равные отрезки OA и ОВ длиной по 3 см. Соедини отрезком точки А и В. Какого вида треугольник получился? Дай два ответа.

Выполнение:

Получится равнобедренный треугольник, который также является прямоугольным.

7. Начерти разносторонний прямоугольный треугольник; равнобедренный тупоугольный треугольник.

Выполнение:

Задание проверяет умение ребенка соблюдать два заданных признака при выполнении чертежа:

Следует обратить внимание на то, что построение равнобедренного тупоугольного треугольника требует также знания способа построения равнобедренных треугольников.

8. Начерти любой прямоугольник, проведи в нем диагонали. Построй окружность с центром в точке их пересечения, которая проходит через все его вершины. (На полях дан полный чертеж.)

Выполнение:

Поскольку в учебнике дан на полях полный чертеж задания, оно требует лишь копирования образца.

Задание иллюстрирует следующее свойство прямоугольника: точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности.

9. Начерти в тетради прямоугольник ABCD со сторонами 3 см и 4 см. Проведи в нем 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

Выполнение: См. характеристику задания 7 из 1 класса.

10. Построить равносторонний треугольник.

Выполнение:

В учебнике приведен полный чертеж, требуется лишь копирование образца.

11. Построить равнобедренный треугольник.

Выполнение:

См. характеристику задания 10.

12. Построить треугольник по трем заданным сторонам.

Выполнение:

См. характеристику задания 10.

13. Раздели отрезок пополам с помощью циркуля.

Выполнение:

См. характеристику задания 10.

Сравнение количества и качества заданий на построение и заданий на измерение и вычисление показывает, что заданиям на измерение и вычисление уделено в учебниках намного больше внимания. С качественной (а также перспективной) точки зрения, в дальнейшем ребенку будут необходимы в большей мере умения по построению и доказательству правильности построения, поскольку они лежат в основе умения решать задачи и доказывать теоремы в курсе геометрии и выполнять чертежи в курсе черчения.

Глава 6

Алгебраический материал в программе начальных классов

Лекция 17. Элементы алгебры в начальной школе

1. Роль алгебраического материала в курсе математики начальных классов.

2. Математическое выражение и его значение.

3. Решение задач на основе составления уравнения.

1. Роль алгебраического материала в курсе математики начальных классов

Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих операции (ответы), а их свойства.

Методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе математики начальных классов состоит в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.

На сегодня наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов, с насыщением его алгебраическим материалом уже с первого класса; другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса. Представителями первой тенденции можно считать авторов альтернативных учебников системы Л.В. Занкова (И.И. Аргинская), системы В.В. Давыдова (Э.Н. Александрова, Г.Г. Микулина и др.), системы «Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа XXI века» (В.Н. Рудницкая). Представителем второй тенденции можно считать автора альтернативного учебника системы «Гармония» Н.Б. Истомину.

Учебник традиционной школы можно считать представителем «серединных» взглядов — он содержит достаточно много алгебраического материала, поскольку ориентирован на использование учебника математики Н.Я. Виленкина в 5—6 классах средней школы, но знакомит детей с алгебраическими понятиями начиная со 2 класса, распределяя материал на три года, и за последние 20 лет практически не расширяет список алгебраических понятий.

Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.

Рассмотрим традиционный список изучаемых в начальной школе алгебраических понятий.