1. Общие вопросы методики обучения решению задач

Традиционно все методические школы разделяют процесс обучения решению задач на две ступени: решение простых задач и решение составных задач. Различные учебники отводят каждой из этих ступеней различный временной промежуток. В настоящее время имеют место две тенденции: в одних учебниках реализовано раннее знакомство с простой задачей (ноябрь—декабрь 1 класса) и раннее знакомство с составной задачей (февраль—март 1 класса) — это новые учебники традиционной школы (2001) и учебники Л.Г. Петерсон (Школа 2100). В других учебниках знакомство с простой задачей отодвинуто на 2 класс (октябрь—ноябрь), но при этом почти сразу за знакомством с простой задачей следует знакомство с составной задачей — это новые учебники И.И. Аргинской (учебник — тетрадь) и учебник Н.Б. Истоминой.

С технологической (методической) точки зрения простая задача является «одношаговым» описанием соответствующей ей предметной ситуации.

Цель работы над простой задачей можно определить как обучение ребенка самостоятельной работе над текстовой формой простой задачи с применением на практике всех приобретенных ранее умений:

1) моделирование (в том или ином виде) заданной в задаче ситуации; /

2) составление математического выражения соответственно смыслу ситуации (выбор действия);

3) оформление записи в равенство с наименованием;

4) запись ответа в краткой форме.

Иными словами, суть и смысл работы над простой задачей заключается в том, что в процессе этой деятельности ребенок упражняется в применении и совершенствует два своих учебных умения: умение перевести текстовое описание ситуации (словесную модель) любого вида в упрощенную схему (предметный или схематический рисунок, краткую запись), показывающую взаимоотношения между данными и искомым и умение оформить это отношение в виде равенства с наименованием, т. е. непосредственно записать решение, а затем ответ (можно сказать, что при этом выполняется второй перевод ситуации с языка графики — рисунка или схемы на язык математических символов — чисел и знаков).

Таким образом, этап работы над простыми задачами имеет смысл рассматривать как подготовительный этап к решению составных задач. С этой точки зрения термин «умение решать простые задачи» рассматривается именно как умение работать с текстовым описанием ситуации и оформлять его в соответствующих записях. Не случайно на практике часто наблюдается картина, когда в классе дети легко справляются с задачами (и не только с простыми), а дома или на контрольной не могут решить даже аналогичные задачи. Дело в том, что «первый перевод» (с текста на упрощенную модель, структурно выявляющую связи между данными и искомым) в классе им активно помогает выполнять учитель, используя заранее заготовленную наглядность, рисунки, таблицы и т. п., а уже второй перевод (описание этой модели в числах и знаках) сделать проще. Не научившись на первом этапе работать с текстом самостоятельно, дети в дальнейшем с большим трудом учатся работать с ним на более сложных задачах.

Часто используемый учителем в 1 классе прием первичного чтения текста задачи вслух не требует от детей самостоятельного обращения к тексту, и не способствует формированию умения работать с текстом. Резонным возражением на этот довод является то, что многие дети плохо читают (или вообще не читают) в 1 классе, но именно с учетом этого явления и предлагаются на современном этапе системы обучения математике в начальной школе без задачи в первом классе (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина).

Рассмотрим так называемые «частные умения» решать задачу, которые приводятся в методических руководствах (Истомина Н.Б. и др. Методика преподавания математики в начальных классах. М, 1986) как необходимые ребенку для самостоятельной работы над задачей:

1) прочитать задачу и осознать ее текст, т. е. понять значение каждого слова и представить ту ситуацию, которая в ней дана;

2) выделить условие и вопрос задачи, известные и неизвестные;

3) установить связь между условием и вопросом задачи, между данными и искомым, т. е. провести анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметических действий для ее решения;

4) записать решение и ответ задачи.

Анализ данного перечня показывает, что уже умения выполнить указанные в первом пункте действия достаточно для фактического решения простой задачи. Умения, указанные в пункте 2 и 3 являются избыточными, поскольку, если ученик правильно представил (изобразил) ситуацию, которая дана в задаче, то это и означает, что он разделил условие и вопрос и установил соотношение между данными и искомым, это, в свою очередь, приводит к правильному выбору действия. Если речь идет о стандартной формулировке задачи (а их в учебниках абсолютное большинство), то упорная работа учителя над формированием этих умений в указанном порядке превращает работу над задачей для ребенка в полную бессмыслицу. Ведь если ребенку «дается» первый пункт самостоятельно (природный дар), то он немедленно по завершении чтения текста готов дать правильный ответ (что учитель часто видит на практике) и остальные два этапа ему просто не нужны. И наоборот, если ребенок не может (не умеет) правильно представить себе ситуацию, он не может, как правило, выполнить и третий пункт (установить взаимосвязь между данными и искомым), а «научение» его выполнению второго пункта (разделение задачи на условие и вопрос) ему практически ничем не помогает. Например:

С аэродрома утром улетело 7 самолетов, а вечером улетело еще 3 самолета. Сколько самолетов улетело с аэродрома?

Разделить текст на условие и вопрос нетрудно, поскольку формулировка стандартная: выделить условие и вопрос можно сразу, не углубляясь в процесс ее «представления», так как условие дано в первом повествовательном предложении. Вопрос оформлен в вопросительном предложении. Однако правильно представить себе ситуацию задачи можно только установив связь между данными и искомым, поскольку задача носит косвенный характер, который обусловлен словом «улетели», обычно соотносимым с уменьшением исходного количества, т. е. с действием вычитания.

Имеет смысл соотнести работу над данной задачей с двумя умениями, обозначенными в начале параграфа как последовательный перевод словесной модели в графическую, а затем в символическую.

Работа над задачей:

Учитель или ребенок читает текст задачи. Затем учитель просит прочитать только условие (так как формулировка стандартная, то выделение условия — это чтение «до точки»).

— Давайте обозначим палочками данные задачи (на фланелеграфе палочки можно обозначить любыми символическими фигурками или сделать рисунок):

— Где на рисунке самолеты, которые улетели утром? Где улетевшие вечером? Все улетевшие за день самолеты? (Вот где в данном случае происходит осознание текста и представление ситуации.)

— Прочитайте вопрос задачи. Покажите на рисунке, что надо узнать?

— Запишите решение задачи (этап оформления записи — это перевод схематической модели в символическую): 7 + 3 = 10 (с).

— Почему выбрали знак сложения? (Потому что надо узнать, сколько всего самолетов улетело.)

В данном случае объяснение выбора действия происходит после записи решения. Именно такая последовательность является наиболее разумной при работе над простой задачей, поскольку решение «одношаговое» и рисунок (модель) является «прямым подведением» ребенка к выбору нужного действия.

Как видно из приведенного примера, последовательность действий ребенка при решении задачи может значительно отличаться от классической иерархии умений, традиционно перечисляемых как необходимые при обучении решению задач.

В приводимом здесь анализе будем исходить из классического положения: «Научить детей решать задачи — значит научить их устанавливать связи между данными и искомыми и в соответствии с этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия».

В качестве средства формирования у детей указанного умения различные методические школы рекомендуют различные технологии. Традиционная технология рекомендует для формирования этого умения систематическую работу «над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомыми, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач будем называть задачами одного вида».

Методические действия учителя задаются при этом следующей последовательностью:

1. Подготовительная работа к решению задачи.

2. Ознакомление с решением задачи.

3. Закрепление умения решать задачи.

В приведенном описании технологии обучения решению задач легко узнать схему, воплощенную в содержании традиционного учебника 1—4 (и 1—3): большое количество однотипных задач, идущих группами (несколько уроков подряд). При этом описание методических действий учителя предполагает фактически объяснительно-иллюстративный способ обучения, поскольку ознакомление с решением задачи (пункт 2) — это показ способа решения («запишите решение так...»); а «закрепление умения решать задачи» — это многократное повторение аналогичного способа действий на задачах того же типа (до запоминания наизусть как типа, так и способа решения).

Логическим следствием такой технологии является «прогноз», делаемый на этой базе, в отношении формирования у ребенка умения решать составные задачи: «...При решении составных задач ученики должны уметь устанавливать не одну связь, а систему связей, т. е. устанавливать несколько связей, выстраивая их в определенном порядке... Следовательно, подготовкой к решению составных задач будет не только усвоение учащимися соответствующих связей, но и умение вычленить систему связей, иначе говоря, разбивать составную задачу на ряд простых, последовательное решение которых и будет решением составной задачи»¹. Это, безусловно, верное с теоретической точки зрения положение крайне редко воплощается на практике. Если бы эта система «срабатывала», то достаточно было бы «отработать» все виды простых задач (а их не так уж и много), и на этой базе составные задачи «пошли» бы сами по себе. На практике, это не происходит. Более того, наиболее трудным моментом при решении составных задач для детей по-прежнему остается этап осмысления текста, на котором необходимо «правильно представить себе ситуацию».

При обучении решению составных задач учитель часто идет по тому же пути, что и при обучении решению простых задач: заучивает с детьми способы решения того или иного типа (на это нацеливают учителя и учебники, которые содержат в основном только типовые составные задачи). Задачи, которые обычно называют «нестандартными», отнесены, как правило, к задачам повышенной сложности, и любой учитель-практик знает, что охарактеризованная выше методика практически ничего не дает для обучения ребенка работе с такими задачами, поскольку главная их сложность и состоит в том, чтобы вычленить из них составляющие их простые задачи.

Рассмотрим для примера задачу:

Бронза содержит 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть цинка. Сколько весит кусок бронзы, если в нем цинка на 2 кг 135 г меньше, чем олова?

Задача имеет трансформированную структуру текста: данное содержится в вопросе и отделено от других, связанных с ним данных, большим словесным периодом, что затрудняет установление взаимосвязи между ними. Типовую принадлежность задачи можно определить как «задача на нахождение неизвестного по двум разностям», усложненная дополнительными компонентами (третий элемент — медь и результативное требование: найти массу всего куска бронзы). Текст задачи не содержит никаких трудных для понимания слов, разделить текст на условие и вопрос несложно, но это нисколько не помогает установлению связей между данными и искомым. Проблема выделения в этой задаче составляющих ее простых задач как раз и является центральной, поскольку, как только это удается сделать, путь решения задачи мгновенно «выстраивается» и становится очевидным. Именно в этом этапе и содержится главная трудность в обучении решению задач школьника. И именно здесь традиционная методика ничего не предлагает в качестве средства формирования у ребенка умения выявлять простые задачи «внутри» составной и устанавливать их взаимосвязь. Без этого умения в общем виде ребенок никогда не будет хорошо справляться с задачами, даже если «отработать» с ним способы решения типовых составных задач до уровня навыка.

Рассмотрим другие методические подходы к проблеме формирования умения решать простые задачи.

«При другом подходе процесс решения задач (простых и составных) рассматривается как переход от словесной модели к модели математической или схематической.

В основе осуществления этого перехода лежит семантический анализ текста и выделение в нем математических понятий и отношений»¹.

Если под математической моделью понимать символическую математическую запись решения, то иерархия этапов моделирования должна быть другой: сначала — схематическая модель, а затем символическая.

Если под семантическим анализом понимать процесс прочтения задачи с последующим выделением основных ее частей и элементов (условия, вопроса, данных, искомого), то только в типовых задачах достаточно простых конструкций семантический анализ приводит к выделению отношений между ними. Мы полагаем, что семантический анализ является предшествующим к построению схематической модели задачи, а не «средством осуществления перехода» от схематической модели к символической. Средством такого перехода является процесс выявления отношений между данными и искомым. Осуществляется этот процесс посредством анализа схематической модели задачи. Иными словами, результатом этого анализа как раз и является осознание отношений между данными и искомым.

Вернемся к приведенной выше задаче о куске бронзы. Для ее решения в процессе семантического анализа сразу же следует моделировать выделяемые элементы задачи в рисунке:

41 часть

Медь

8 частей

Олово

Цинк

? кг бронзы

2 кг 135 г

Данный рисунок зримо (визуально) выявляет составляющие ее простые задачи. Его анализ выявляет отношения между данными, а также между данными и искомым, что позволяет составить план решения, т. е. план перехода от схематической модели к символической (арифметической):

1. Находим разницу частей олова и цинка (простая задача на разностное сравнение).

2. Находим массу, приходящуюся на одну часть (простая задача на деление на части).

3. Находим общее число частей в куске бронзы (простая задача на нахождение суммы).

4. Находим массу куска бронзы (простая задача на нахождение произведения).

Таким образом, выделенное в начале данного параграфа умение переводить текстовую модель в предметную или схематическую модель является решающим для процесса самостоятельной работы над задачей. При этом, рассмотренный выше пример, показывает, что при работе над составной задачей это же умение продолжает оставаться центральным, просто модель становится более сложной. Однако учить ребенка приемам такого моделирования следует именно на начальных этапах, при работе над простой задачей, когда тексты достаточно просты и возможна даже работа «на слух». Если начинать учить ребенка приемам моделирования при решении составных задач, то более сложные тексты потребуют умения хорошо читать, и модели становятся более сложными, что может вызвать трудности при их составлении. В этом случае моделирование перестанет выполнять свою главную функцию — облегчение работы над задачей, и превратится в дополнительную ненужную трудность.

С этой точки зрения становится несущественным основной спорный момент между разными методическими направлениями сегодняшнего дня: когда знакомить детей с задачей — в 1 или во 2 классе. В предыдущем пункте мы показали, как можно организовать работу с нечитающими шестилетками при обучении их составлению схематических моделей особого рода при работе «на слух».

В этом случае ребенок сразу по мере чтения ему задачи составляет модель, и затем анализирует уже не текст, а схематическую модель задачи, что позволяет осмысленно ее решить.

Читателям может показаться, что мы противоречим сами себе, ведь в этом случае ребенок тоже не работает с текстом как таковым, т. е. не анализирует непосредственно текстовую структуру задачи. Это так, но в предлагаемом подходе рациональное зерно состоит в том, что ребенок сразу учится переводить недоступную ему непосредственно текстовую модель (текст читает учитель), на доступный его пониманию язык схемы или рисунка. В этом случае анализ текстовой модели заменяется анализом схематической модели, но сам анализ все-таки присутствует, а не подменяется угадыванием нужного действия по прямому смыслу «главного» слова (улетели, принесли...) или механическим манипулированием числовыми данными задачи.