1. Моделирование как обобщенный прием работы над задачей

В основу формирования умения решать задачи можно положить прием моделирования, которым дети овладевают в процессе специально организованной деятельности.

Модель — это построенный по определенным правилам аналог исследуемого объекта, процесса, ситуации, который отражает структуру связей и отношений исследуемого объекта и должен быть способен замещать его так, что его изучение дает нам новую информацию об этом объекте. Под моделированием, таким образом, можно понимать способ построения модели.

В процессе решения задачи ученик не может непосредственно исследовать ту ситуацию, которая предлагается ему в тексте задачи. Смысл же процесса решения заключается в том, что данную ситуацию надо описать с помощью математических символов (цифр и знаков действия), т. е. наиболее нужными для ученика являются количественные характеристики этой ситуации и тип связей между ними (объединение, удаление, увеличение и т. д.). Иными словами, чтобы решать задачу, ученик должен отбросить все второстепенные детали и оставить только те, которые нужны непосредственно для составления математического выражения, являющегося решением данной задачи. Выполняя эту операцию (освобождение от ненужных для решения подробностей), ученик строит абстрактную модель реальной ситуации, предлагаемой в задаче. От того, насколько правильно он построит эту модель и какие способы ее построения выберет, зависит правильность ее решения. Удачно построенная модель должна облегчить ученику процесс решения задачи.

В начальной школе используются разные способы построения модели (моделирования). Моделирование может быть предметным, т. е. модель строится с использованием вещественной, предметной наглядности (в этом случае учитель обычно использует наборное полотно, фланелеграф, специальную полку для кубиков, машин и т. п.). Моделирование может быть графическим, т. е. ситуация, предложенная в задаче, изображается с помощью схемы, схематического чертежа, стилизованного рисунка (когда зайчики изображаются с помощью кружков или треугольников и т. д.).

Все эти варианты моделирования имеют внешнее воплощение, т. е. процесс построения модели отражается в той или иной мере на предметной наглядности, схеме, чертеже, таблице и др. Но моделирование может быть и мысленным, в этом случае ученик представляет себе ситуацию в уме и, пользуясь этой воображаемой моделью, может сразу составить запись решения. О таких детях говорят: решает задачу «по представлению». В этом случае моделирование происходит без опоры на материализованные действия.

Все перечисленные виды моделей являются промежуточными, так как конечная цель ученика при решении задачи — запись ее решения в виде математического выражения.

Как и всякому учебному умению, действию моделирования надо учить специально. Использование визуально воспринимаемых моделей позволяет опираться на наглядно-образное мышление ребенка, характерное для младшего школьного возраста. Сензитивным (наиболее удачным) периодом для начальных этапов обучения визуально воспринимаемому моделированию является период обучения в начальной школе. Причем если организовать обучение моделированию еще на подготовительном этапе, до начала обучения решению задач, то в дальнейшем можно формировать умение решать задачи на базе усвоенных принципов построения модели объекта, ситуации, процесса, явления и т. д.

Основными принципами построения учебной модели являются следующие:

а) модель должна отражать особые (в данном случае количественные) отношения реальной действительности;

б) модель может и должна замещать соответствующие реальные объекты, явления, процессы, ради которых она была создана;

в) модель, отображая структуру исследуемого объекта, процесса, ситуации и т. д. способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте, ситуации и т. п.

Средствами построения математической модели могут служить символы, знаки, рисунки, чертежи, схемы.

Для того чтобы решать задачу, ученик должен уметь переходить от текста к представлению ситуации, а от нее к записи решения с помощью математических символов. Все эти три модели являются различными моделями одного и того же объекта — задачи. Различаются они тем, что выполнены на разных языках: языке слов, языке образов, языке математических символов.

С этой позиции процесс обучения решению задач можно рассматривать как обучение приемам перевода моделей одного вида в модели другого вида, а моделирование будет выступать в качестве обобщенного способа решения задачи любого типа. Для того чтобы решить любую математическую задачу, ученик должен уметь выполнить двойной переход:

текст —> образ —> запись решения.

Сущность перехода от мысленной модели задачи к математической (символической) заключается в правильном выборе арифметических действий, соответствующих смыслу происходящих в задаче изменений. Если мысленная модель, которой руководствуется ученик при выборе действий, верно отражает структуру связей, то она будет прогнозировать ход ее решения и обусловливать верный выбор действий.

Таким образом, если ребенок владеет арифметической символикой и понимает смысл арифметических действий, этот этап он обычно преодолевает без особых трудностей. Часть учеников, не умеющих решать задачи самостоятельно, довольно успешно справляются с ними, если получают в качестве индивидуальной помощи план ее решения в той или иной форме. План решения в этом случае играет ту же роль, что и мысленная модель, т. е. является схемой способа действия. Таким образом, психологически обучение математической символике и формирование понятия о смысле арифметических действий должны предшествовать обучению решению задач. Если ребенок будет плохо понимать смысл действий и путаться в символах, ему сложно будет осуществить переход от мысленной модели к математической.

В то же время процесс перехода от текста к мысленной модели представляет для многих детей гораздо большую трудность, чем переход от мысленной модели к математической. Дело в том, что в возрасте 6—7 лет у ребенка преобладает наглядно-образное мышление, которое в большой степени зависит от непосредственного восприятия. А это означает, что абстрагироваться, отвлечься от наиболее бросающихся в глаза свойств предмета или конкретных подробностей текста, ученику этого возраста очень трудно. Мысленная же модель задачи должна быть достаточно абстрактна. Поскольку она должна помочь ребенку решать математическую задачу, эта модель должна отражать только количественные соотношения предложенной ситуации, а также каким-то образом отразить структурные связи между данными и искомым, чтобы сделать ясным и понятным выбор действий. Опытный учитель знает, что научить младшего школьника решать задачи по самостоятельно выстроенному «представлению», т. е. пользуясь самостоятельно созданной мысленной моделью, если у него нет к тому природных способностей, крайне трудно, и почти всегда в классе есть дети, которые так и не могут этому научиться самостоятельно. Они обычно читают текст задачи «залпом», а потом пытаются угадывать нужные действия, манипулируя числами и «сверяясь» с выражением лица взрослого, наблюдающего этот процесс (учителя, мамы, бабушки, репетитора).

Для того чтобы помочь ученикам в этой ситуации, учителя обычно пользуются наглядностью: сначала предметно-аналитической (предметы, картинки), а затем более абстрактным ее вариантом (вместо зайцев или яблок используют кружки или квадраты). Использование конкретно воспринимаемого материала помогает ученику осмыслить ситуацию.

Постоянное использование предметного моделирования имеет и отрицательные последствия: как только учитель перестает прибегать к постоянному использованию предметного моделирования задачи (это обычно происходит при переходе к решению составных задач либо в случае работы с двузначными и более данными, моделировать которые «поштучно» весьма утомительно), часть учеников перестает справляться с задачей. Привыкнув к постоянной внешней опоре, даваемой в виде предметной наглядности или картинки, ученик не в состоянии справиться с построением мысленной модели без этой опоры.

Иногда учитель вообще отказывается от каких-либо способов интерпретации условия задачи, делая упор либо на обучение учащихся через запоминание способов решения задач определенного типа (обычно с ориентиром на главное слово или выбор из заранее заготовленных шаблонов нужной структуры краткой записи), либо настойчиво добиваясь от всех учащихся умения решать задачи «по представлению». Практика показывает, что первый путь ведет к формальному овладению детьми умением решать задачи. Эти дети, столкнувшись с задачей незнакомого типа, обычно не могут с ней справиться. Второй путь приводит к тому, что дети со слабо развитым воображением и математическим «чутьем» обычно оказываются безнадежно отставшими. С другой стороны, не зная, что «представляет» себе ученик в процессе решения задачи, не имея возможности контролировать ход его мысли, учитель никогда не может быть уверен в том, что ученик действительно осмысленно выбирает действие, правильно представляет себе ситуацию задачи.

Рассмотрим ситуацию, типичную для 1 класса. На уроке предлагается задача: '

Во дворе гуляло 10 детей. 3 из них были мальчики, остальные — девочки. Сколько было девочек?

Ученик (быстро отвечает). Девочек 7.

Учитель. Какое действие ты выполнил?

Ученик. Я прибавил.

Учитель. Что к чему прибавил?

Ученик. Я прибавил к семи три.

Учитель. Почему к семи? Я же сказала, что детей было 10.

Ученик. Потому что 7 и 3 это 10.

Из приведенного фрагмента становится ясно, что, хотя ученик дал верный ответ, задачу он фактически не решил: действие не соответствует смыслу связи между данными и искомым. Правильный ответ дан в связи с тем, что к этому времени (2 полугодие) дети хорошо знают состав числа и зачастую пользуются этим знанием при решении простых задач, не утруждая себя осмыслением ситуации, а используя подбор подходящих чисел. Иногда учителя (и родители) считают, что в этом случае ребенок решает задачу «своим способом». Но представим себе, что данная ситуация «достраивается» до составной задачи: «Потом на двор вышли еще 2 девочки. Сколько теперь девочек?»

Если ребенок первое действие выполнил так, как показано выше: 7 + 3 = 10 (д.), то вторым действием он выполнит 10 + 2 = 12 (д.), поскольку результат первого действия есть начало для выполнения второго действия..

Использование приема моделирования уже на этапе подготовки к введению задачи и в процессе обучения решению простых задач приводит к тому, что в дальнейшем ребенок будет использовать моделирование как обобщенный способ действия в процессе решения математической задачи любого типа. Тем самым снимется необходимость в выработке особых подходов к задачам разного типа, в том числе простым и составным. Обученный моделированию

как основному приему решения задач, понимая процесс решения как перевод модели одного вида в модель другого вида, при котором структурные связи остаются неизменными, а изменяется только способ описания модели, ученик легко использует этот прием при решении задач разных типов.