2. Сохранение и развитие математических способностей младшего школьника как методическая проблема

Проблема развития математических способностей детей — одна из наименее разработанных на сегодня методических проблем обучения математике в начальных классах. Крайняя разнородность взглядов на само понятие «математические способности» обусловливает отсутствие сколько-нибудь концептуально обоснованных методик, что в свою очередь порождает сложности в работе учителей. Возможно, именно поэтому не только среди родителей, но и среди большинства учителей распространено достаточно фатальное отношение к математике в жизни ребенка: математические способности либо даны, либо не даны, и тут уж ничего не поделаешь.

Безусловно, способности к тому или иному виду деятельности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. Однако на сегодня нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие тех или иных способностей. Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями, чему в истории немало примеров. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуются усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умение применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.

Мыслительная деятельность — основной вид деятельности математика, его орудие — карандаш и лист бумаги. Воплощение в жизнь результатов этой деятельности — один из мощнейших стимулов развития цивилизации сегодняшнего дня.

Математика является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) ребенка имеют решающее значение для его усвоения. За важными характеристиками поведения/за успешностью (или неспешностью) учебной деятельности часто скрываются те природные динамические особенности, о которых говорилось выше. Нередко они порождают и различия в знаниях — их глубине, прочности, обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся (наряду с ценностными ориентациями, убеждениями, навыками) к содержательной стороне психической жизни человека, обычно судят об одаренности детей.

Индивидуальность и одаренность — вещи взаимосвязанные. Все исследователи, занимавшиеся проблемой математических способностей, проблемой формирования и развития математического мышления (А.В. Брушлинский, А.Н. Колмогоров, В.А. Крутецкий, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, А.Я. Хинчин, Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Л.В. Виноградова, И.В. Дубровина, К.А. Рыбников и др.) при всей разнородности мнений отмечают прежде всего специфические особенности психики математически способного ребенка (а также профессионального математика), в частности гибкость мышления, т. е. не шаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения к другому, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и умение находить новые способы решения проблемы при измененных условиях. Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зависят от особой организованности памяти (свободных и связанных ассоциаций), воображения и восприятия.

Исследователи выделяют такое понятие, как глубина мышления, т. е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, умение видеть их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале¹, а также целенаправленность мышления, сочетающаяся с широтой мышления, т. е. способностью к формированию обобщенных способов действий, умением охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический анализ этих категорий показывает, что в их основе должна лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация и большой объем внимания человека.

Таким образом, индивидуально-типологические особенности личности каждого ученика в отдельности (темперамент, характер, задатки, соматическая организация личности в целом и т. д.) оказывают существенное или определяющее влияние на формирование и развитие математического стиля мышления ребенка, который, безусловно, является необходимым условием сохранения природного потенциала (задатков) ребенка в математике и его дальнейшего развития в ярко выраженные математические способности.

Безусловно, можно говорить о возможности формирования «лаконизма» речи и «скрупулезной точности символики», «четкой расчлененности хода аргументации» и «доведенного до предела доминирования логической схемы рассуждения»¹ — это формируемо с методической точки зрения, хотя и не является простой методической задачей. Но вряд ли возможна одинаковая успешность формирования у всех детей гибкости, широты и глубины мышления, формирование той совершенно специфической отвлеченной образности этого процесса, которую А.Н. Колмогоров называл способностью «мыслить такими образами, которые непонятны и невидимы для тех, кто видит лишь голые символы».

Опытные учителя-предметники хорошо знают, что математические способности — это «товар штучный», и если не заниматься таким ребенком индивидуально (именно индивидуально, а не в рамках кружка или факультатива), то способности могут и не развиться дальше. Именно поэтому мы часто наблюдаем, как выделяющийся своими способностями и возможностями первоклассник к третьему классу «выравнивается», а в пятом и вовсе перестает отличаться от других детей.

Исследования психологов показывают, что могут быть разные типы возрастного умственного развития.

«Ранний подъем» (в дошкольном или младшем школьном возрасте) обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что служит стартом для становления выдающихся умственных способностей. При этом факты показывают, что почти все ученые, проявившие себя до 20 лет, были математиками. Но может произойти и «выравнивание» со сверстниками. Мы полагаем, что такое «выравнивание» во многом обусловлено отсутствием грамотного и методически активного индивидуального подхода к ребенку в этот ранний период.

«Замедленный и растянутый подъем» (т. е. постепенное накопление интеллекта) не означает, что предпосылки больших или выдающихся способностей не выявятся в дальнейшем. Таким возможным «подъемом» является возраст 16—17 лет, когда фактором

«интеллектуального взрыва» служит социальная переориентация личности, направляющая ее активность в это русло. Такой «подъем» может произойти и в более зрелые годы.

Для учителя начальных классов наиболее актуальной является проблема «раннего подъема», приходящая на возраст 6— 9 лет. Не секрет, что один такой ярко-способный ребенок в классе, обладающий к тому же сильным типом нервной системы, способен «подавить» на уроке остальных детей. И в результате, вместо того, чтобы максимально стимулировать и развивать маленького вундеркинда, мы вынуждены начинать с того, что учим его молчать, ведь в классе 25 других, не таких сообразительных детей. Такое постоянное «притормаживание» и может привести к тому, что через 3—4 года ребенок «выравнивается» со сверстниками. А поскольку математические способности относятся к группе ранних способностей, то возможно именно математически способных детей мы теряем в процессе этого «притормаживания» и «выравнивания».

Психологические исследования показали, что хотя развитие учебных способностей и творческой одаренности у типологически различных детей протекает по-разному, равно высокой степени развития этих способностей могут достичь дети: с противоположными характеристиками нервной системы. В связи с этим учителю, возможно, полезнее ориентироваться не на типологические особенности нервной системы детей, а на некоторые общие особенности способных и талантливых детей, которые отмечают большинство исследователей этой проблемы.

Авторы выделяют разный набор общих особенностей способных детей в рамках тех видов деятельности, в которых эти способности исследовались (математика, музыка, живопись и т. п.). Мы полагаем, что учителю удобнее опираться на некоторые чисто процессуальные характеристики деятельности способных детей, которые, как показывает сопоставление ряда специальных психологических и педагогических исследований по этой теме, оказываются едиными для детей с различными видами способностей и одаренности. Исследователи отмечают, что большинству способных детей свойственны:

1. Повышенная склонность к умственным действиям и положительный эмоциональный отклик на любую новую умственную нагрузку.

Эти дети не знают, что такое скука, у них всегда есть занятие. Некоторые психологи вообще трактуют эту черту, как возрастной фактор одаренности.

2. Постоянная потребность в возобновлении и усложнении умственной нагрузки.

Это влечет за собой постоянное повышение уровня достижений. Если ребенка не нагружать, то он сам сделает это — он может абсолютно самостоятельно освоить шахматы, музыкальный инструмент, радиодело и т. д., изучать энциклопедии и справочники, читать специальную литературу, сочинять романы и т. д.

3. Стремление к самостоятельному выбору дел и планированию своей деятельности.

Этот ребенок имеет обо всем свое мнение, упорно отстаивает неограниченную инициативу своей деятельности, обладает высокой (почти всегда адекватной при этом) самооценкой и весьма настойчив в самоутверждении в выбранной области.

4. Совершенная саморегуляция.

Такой ребенок способен на полную мобилизацию сил для достижения цели; способен неоднократно возобновлять умственные усилия, стремясь добиться поставленной цели. Он имеет как бы «изначальную» установку на преодоление любых трудностей, а неудачи его только раззадоривают, заставляя с завидным упорством стремиться их одолеть.

5. Повышенная работоспособность.

Длительные интеллектуальные нагрузки не утомляют этого ребенка, наоборот, он чувствует себя хорошо именно в ситуации наличия проблемы, требующей решения. Чисто инстинктивно он умеет использовать все резервы своей психики и своего мозга, мобилизуя и переключая их в нужный момент.

Очевидно, что общие процессуальные характеристики деятельности способных детей, признаваемые психологами статистически значимыми, не присущи однозначно какому-то одному типу нервной системы человека. Поэтому педагогически и методически общая тактика и стратегия индивидуального подхода к способному ребенку, очевидно, должна строиться на таких психологических и дидактических принципах, которые обеспечивают учет указанных выше процессуальных характеристик деятельности этих детей.

С педагогической позиции способный ребенок в наибольшей степени нуждается в инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя. Инструктивный стиль, в противоположность императивному стилю, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений, в свою очередь, способствует развитию в детях независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями.

Столь же очевидно, что с дидактической точки зрения, способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной заданий учитель обычно старается выстроить, готовясь к уроку. Это те подготовительные и вводные задания и упражнения, которые используются учителем в ходе самого урока на различных этапах подготовки, знакомства и закрепления нового материала. При создании учебных материалов возникла мысль — представить ребенку всю систему целесообразных заданий в максимально подробном виде в специально разработанном индивидуальном задании. Иными словами речь идет не о карточке с 3—5 примерами или задачей, имеющей целью проверку усвоения материала (как это делается в соответствующих дидактических материалах), а о развернутом структурированном плане подготовки, знакомства и закрепления нового материала, представленном ребенку в полном виде. Такая система позволяет способному ребенку после небольшого периода адаптации к новой форме подачи материала работать практически автономно, т. е. в соответствии с приведенными выше процессуальными характеристиками деятельности способных детей.

Формой вещественного воплощения этого методического решения была выбрана система долгосрочных заданий.

Методика использования системы долгосрочных заданий рассматривалась Е. С. Рабунским при организации работы со старшеклассниками в процессе обучения немецкому языку в школе.

В ряде педагогических исследований рассматривалась возможность создания систем таких заданий по различным предметам для учеников старших классов как по усвоению нового материала, так и по устранению пробелов знаний. В ходе исследований отмечено, что абсолютное большинство учеников предпочитает и тот, и другой вид работы выполнять в форме «долгосрочных заданий» или «отсроченной работы». Такой вид организации учебной деятельности, традиционно рекомендуемый главным образом для трудоемких творческих работ (сочинений, рефератов и т. д.), оказался наиболее предпочтительным для большинства опрошенных школьников. Оказалось, что такая «отсроченная работа» удовлетворяет школьника больше, чем отдельные уроки и задания, так как основным критерием удовлетворенности ученика в любом возрасте выступает успешность в работе. Отсутствие резкого временного ограничения (как это бывает на уроке) и возможность свободного многократного возвращения к содержанию работы позволяет многим детям справиться с ней гораздо успешнее, что, в свою очередь, вызывает чувство удовлетворения у ребенка. Таким образом, задания, рассчитанные на длительную подготовку, можно рассматривать также как средство воспитания положительного отношения к предмету.

Многие годы считалось, что все сказанное выше относится только к ученикам старшего, в крайнем случае, среднего возраста, но не соответствует особенностям учебной деятельности учеников начальных классов. Анализ процессуальных характеристик деятельности способных детей младшего школьного возраста привел нас к противоположной мысли, а опыт работы с младшими школьниками на протяжении семи лет, опыт работы учителей, принявших участие в экспериментальной проверке данной методики, и студентов-дипломников, принявших участие в ее разработке и апробации, показал высокую эффективность предлагаемой системы при работе со способными детьми младшего школьного возраста.

Первоначально для разработки системы заданий (в дальнейшем будем именовать их «листы» в связи с формой их графического оформления, удобной для работы с ребенком) были отобраны темы, связанные с формированием вычислительных навыков, которые традиционно рассматриваются учителями и методистами как темы, требующие неусыпного руководства учителя на этапе знакомства и постоянного контроля на этапе закрепления. При этом учителя хорошо знают, что часть детей легко и быстро усваивает эти приемы, а часть детей плохо справляется с ними и в 5—6 классе.

В ходе экспериментальной работы было разработано большое количество листов на печатной основе, объединенных в блоки, охватывающие целую тему. Каждый блок содержит 12—20 листов. Лист представляет собой большую систему заданий (до 50 заданий) методически и графически организованных таким образом, чтобы по мере их выполнения ребенок мог самостоятельно подойти к пониманию сути и способа выполнения нового вычислительного приема, а затем закрепить новый способ деятельности. Лист (или система листов, т. е. тематический блок) представляет собой «долгосрочное задание», сроки выполнения которого индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ребенка, работающего по этой системе. Такой лист можно предлагать ребенку на уроке или вместо домашнего задания, срок выполнения учитель либо устанавливает ученику индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более продуктивен) самому установить для себя срок (это путь формирования самодисциплины, так как самостоятельное планирование деятельности в связи с самостоятельно определенными целями и сроками — это основа самовоспитания человека).

Тактику работы с листами-заданиями учитель определяет для ребенка индивидуально. На первых порах их можно предлагать ученику в качестве домашнего задания (вместо обычного задания), индивидуально договариваясь о сроках его выполнения (2—4 дня). По мере освоения ребенком этой системы работы можно перейти к предваряющему или параллельному способу работы, т. е. давать ребенку лист до знакомства с темой (накануне урока) или на самом уроке для самостоятельного освоения материала.

Внимательное и доброжелательное наблюдение за учеником в процессе деятельности, «договорной стиль» отношений (пусть ребенок сам решит, когда он хочет получить этот лист), возможно даже освобождение от других уроков в этот или следующий день для концентрации на задании, консультативная помощь ребенку без отсрочки (на один вопрос всегда можно ответить сразу, даже проходя мимо ребенка на уроке) — все это поможет учителю в полной мере сделать процесс обучения способного ребенка индивидуализированным без больших затрат времени.

Работа с листами-заданиями требует обеспечения ребенка готовым листом, в котором он работает как на печатной основе. Не следует заставлять детей переписывать их с листа. Ребенок работает карандашом прямо па листе, записывая ответы или дописывая действия. Такая организация средства обучения вызывает у ребенка положительные эмоции — ему нравится работать на печатной основе. Избавленный от необходимости утомительного переписывания, ребенок работает с гораздо большей производительностью. Практика показывает, что хотя листы содержат до 50 заданий (обычная норма домашнего задания 6—10 примеров), дети с удовольствием работают с ними, многие дети просят новый лист каждый день. Иными словами, они перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз, но при этом испытывают положительные эмоции и работают по собственному желанию.

В ходе эксперимента системы таких листов были разработаны по всем «алгоритмизируемым» тема №1 программы по математике для начальных классов: «Устные и письменные вычислительные приемы», «Нумерация», «Величины», «Дроби», «Уравнения».

Охарактеризуем методические принципы построения рассматриваемой системы:

1. Принцип соответствия программе по математике для начальных классов.

Содержательно листы соответствуют стабильной (типовой) программе по математике для начальных классов. Таким образом, реализовать концепцию индивидуализации обучения математике способного ребенка в соответствии с процессуальными особенностями его учебной деятельности мы полагаем возможным при работе по любому учебнику, соответствующему типовой программе.

2. Принцип дозированности.

В одном листе вводится только один прием; или одно понятие; или раскрывается одна, но существенная для данного понятия связь. Это, с одной стороны, помогает ребенку четко осознать цель работы, а, с другой стороны, помогает учителю легко отслеживать качество усвоения этого приема или понятия.

3. Принцип постепенного нарастания уровня сложности. Структурно лист представляет собой подробное методическое

решение задачи, введения или знакомства и закрепления того или иного приема, понятия, связей этого понятия с другими понятиями. Задания подобраны, выстроены и сгруппированы (т. е. имеет значение и порядок их размещения на листе) таким образом, чтобы ребенок мог «двигаться» по листу самостоятельно, отталкиваясь от уже знакомых ему простейших способов действий и постепенно осваивать новый способ действий, конструкция которого на первых шагах полностью раскрыта в более мелких действиях, являющихся основой данного приема. По мере продвижения по листу, эти мелкие действия постепенно компонуются в более крупные блоки. Это позволяет ребенку самому освоиться с приемом в целом виде, что является логическим завершением всей методической конструкции.

4. Принцип доступности.

Систематическое использование «листов-заданий» позволяет организовать продвижение ребенка в освоении материала в удобном для него индивидуальном темпе, который ребенок может регулировать для себя самостоятельно.

5. Принцип перспективности.

Задания, рассчитанные на длительную (отсроченную) подготовку, безусловно, требуют перспективного планирования. Умение же организовать свой труд, спланировав его на определенный срок, является, вне всякого сомнения, важнейшим учебным умением.

6. Принцип индивидуализации проверки и оценки знаний учащихся. Принцип реализуется не на основе дифференциации уровня

сложности заданий, а основе единства требований к уровню знаний, умений и навыков. Индивидуализированные сроки и способы выполнения заданий позволяют предъявлять всем детям задания одного уровня сложности, соответствующего программным требованиям к норме. Безусловно, это не означает, что сильным, умным, талантливым детям не надо предъявлять более высокого уровня требований. Для детей с повышенным уровнем способностей листы-задания на определенном этапе позволяют подключить к работе более насыщенный с интеллектуальной точки зрения материал, который в свою очередь является пропедевтическим для знакомства со следующими математическими понятиями более высокого уровня сложности.

Листы-задания содержат также и материал более высокого уровня сложности, чем требуется для усвоения стандартной «нормы», однако для выполнения всех заданий достаточно того уровня знаний и умений, которым ребенок владеет на данном этапе. Необходимы лишь гибкость и вариативность в их применении, а специальная система их формирования «закладывается» в листы уже с первых дней 1 класса.

Иная тактика и стратегия «дозирования» материалов позволяет использовать такие листы в обучении математике детей казалось бы абсолютно противоположных по своим типичным характеристикам нервной системы: детям замедленного типа, медленно думающим, но интеллектуально сильным детям, и «быстрым» детям, легко схватывающим, но «скользящим по поверхности», о которых учитель часто с сожалением говорит: способный, но не работает. Как первые, так и вторые являются наиболее «теряемыми» в учебном процессе начальной школы. Как первым, так и вторым система работы с листами позволяет работать в нужном им темпе, что является одним из важнейших условий успешности для них.

Наиболее способным детям такие листы с первых же шагов предлагались прямо на уроке. Высокий уровень саморегуляции позволял многим из них успевать работать и с листом, и на уроке, при этом дети не ощущали «переработки». Для таких детей было снято ограничение темпа изучения материала. Ребенку раскрывалась и «стратегическая перспектива»: количество листов на месяц, на четверть, на полугодие, необходимость проверки усвоения в присутствии учителя (количество контрольных срезов). При этом обычные домашние задания отсутствовали, дети были свободны в выборе посещения и непосещения уроков по пройденным и сданным темам, имели возможность в освободившееся время заниматься с учителем углублением и расширением знаний по предмету в индивидуальном режиме. Следует отметить, что не все дети, выбранные вначале как способные, захотели работать в таком режиме. Мы полагаем, что это говорит о достаточно адекватной самооценке этих детей, с одной стороны, а с другой стороны о том, что не все способные дети чувствуют тягу именно к математике, что совершенно естественно.

Практика показала, что при такой организации обучения уже через 2—3 месяца в классе выделяется группа способных детей, легко и стремительно уходящая вперед. Их нельзя «тормозить», но на определенном этапе детям следует систематически давать задания повышенной сложности, формируя из них будущих участников математических олимпиад.

Рассмотренное методическое решение проблемы обучения способных к математике детей в начальной школе в условиях обучения целого класса помогает учителю начальных классов организовать работу с такими детьми, и понять, что проблема работы со способным ребенком — это все та же проблема индивидуализации обучения ребенка в условиях классно-урочной системы и госстандарта в системе образования.

Психологи единодушны в том, что способности и одаренность, как одна из сторон индивидуальности, накладывают своеобразный отпечаток на все стороны жизни и деятельности человека.

Массовая школа, часто игнорируя индивидуальность ученика, не дает ему и возможностей для ее развития, для укрепления способностей и творческого потенциала. Как говорят психологи, таланты произрастают из индивидуальности личности, а система воспитания «среднего ребенка» (соответствующего стандартным требованиям) фактически ведет к стиранию индивидуальных особенностей.

Таким образом, индивидуальные особенности каждого одаренного ребенка, это не только его особенности, но и, возможно, источник его одаренности. А индивидуализация обучения такого ребенка — это не только способ его развития, но и основа его сохранения в статусе «способный, одаренный».