Лекция 14 Приемы рациональных вычислений в начальных классах

Приемы рациональных вычислений имеют в основе хорошее знание свойств арифметических действий, знание порядка выполнения действий и умение изменять этот порядок в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения. К приемам рациональных вычислений можно также отнести приемы, облегчающие устное сложение и умножение: понимание закономерности изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов, а также приемы умножения на 10,100, 1 000, 5,15, 25, 50 и т. п.

Цель применения приемов рациональных вычислений — упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычислений форме.

Первыми приемами рациональных вычислений можно считать все свойства сложения, умножения и деления, с которыми дети знакомятся в процессе освоения вычислительной деятельности

Например:

34 + 118 + 16 - (34 + 16) + 118 - 50 + 118 = 168 - применили переместительное и сочетательное свойство сложения: слагаемые переставили местами для удобства вычислений, а затем заменили сумму двух соседних слагаемых ее значением.

156 + 44 + 97= 156 + (4 + 40) + 97=(156 + 4) + 40 + 97 = 160 + 40 + + 97 = 200 + 97 = 297 — применили разрядное разложение числа 44 и группировку слагаемых.

497 + 228 = 497 + (3 + 225) = (497 + 3) + 225 = 500 + 225 = 725 -применили замену слагаемого суммой удобных слагаемых и группировку слагаемых.

Знаменитый пример Гаусса: надо найти сумму первых 100 натуральных чисел.

1 + 2+ 3 + 4+ ... + 97 +98+ 99 +100»?

Применим парную группировку слагаемых: 1 + 99 = 100

2 + 98 = 100

3 + 97 = 100...

49 + 51 = 100

Таких сумм будет 49. Остается число 50 и число 100.4 900 + 100 + + 50 = 5 050.

К приемам рациональных вычислений можно отнести приемы, порожденные наблюдением за закономерностью изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Например:

Прибавление к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяет, поэтому

28 - 9 = (28 + 1) - (9 + 1) = 29 - 10 = 19

825 - 97 = (825 + 3) - (97 + 3) = 828 - 100 = 728

Зная эту закономерность, легко вычислять в уме примеры вида: 64-8; 132 - 29; 102 - 8 — которые при выполнении по общему принципу вычитания по частям являются очень трудоемкими.

Тот же прием можно использовать в виде «округление одного или нескольких слагаемых»:

Слагаемые заменяют ближайшими к ним «круглыми» числами, затем из суммы «круглых» чисел вычитают или прибавляют соответствующие дополнения.

187 + 58 = (190 + 60) - (3 + 2) = 250 - 5 = 245

282 + 79 = (280 + 80) + 2 - 1 = 361

Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания позволяет рационализировать вычисления не только в средних классах школы, но и в начальных классах.

Например:

7•3 + 7•4 = 7• (3 + 4) = 7•7 = 49

54 • 11 - 49 • 11 = 11 • (54 - 49) = 11 • (55 - 50) = 11 • 5 = 55

7 • 55 + 7 • 45 + 3 • 55 + 3 • 45 = 7 • (55 + 45) + 3 • (55 + 45) = = 7•100 + 3•100 = 100 • (7 + 3) = 100 • 10 = 1 000

Распределительное свойство деления относительно сложения и вычитания дает возможность рационализировать вычисления в такой же мере:

(320-64):8+ 16 = 320:8-64:8+ 16 = 40-8+16 = 32+ 16 = 48 В данном случае, фактически был нарушен канонический порядок действий (действия в скобках выполняется первым), но это нарушение позволялось правилом деления суммы (разности) на число. На последнем шаге практически можно было действовать проще, поскольку прибавление 16 — это прибавление двух восьмерок, и с учетом вычитания одной восьмерки, реально остается только одна восьмерка, т. е. сразу 40 + 8 = 48. Однако подобные перестановки ученику начальной школы не позволяет самое первое, выученное им правило: действия сложения и вычитания в выражениях без скобок выполняют по порядку слева направо.

В качестве рационализирующего приема можно рассматривать очевидную возможность не выполнять некоторые арифметические действия в исходном выражении.

Например: (101 010 - 37 564) + 37 564 = 101 010

К разности прибавляется вычитаемое, очевидно, что производить действия в скобках нет смысла. При этом не предполагается рассуждение вида «сумма чисел противоположных знаков, равных по модулю, равна нулю» — младшие школьники не знакомы с этим свойством и этими числами.

137 (53 812-34 946) 0 = 0

Анализ выражения показывает, что это произведение, в котором один из множителей равен нулю, следовательно все произведение равно нулю.

Более подробно рассмотрим приемы так называемого «быстрого умножения».

Приемы умножения на 10,100,1000 и другие разрядные единицы рассматривались в п. 11.

Прием умножения на 5:

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10, а затем результат разделить пополам.

Например:

38 • 5 = ?; 38 • 10 = 380; 380:2 = 190, значит, 38 • 5 = 190.

Прием умножения четных чисел на 5: Чтобы умножить число на 5, можно разделить его на 2 и результат умножить на 10.

Например:

84-5 = 84:2-10 = 42-10 = 420

62 482 - 5 = 62 482 : 2 • 10 = 31 241 • 10 = 312 410

Прием умножения на 15:

Чтобы умножить число на 15, нужно умножить его на 10, затем умножить его на 5, и результаты сложить.

Например:

65 • 15 = ? 65 • 10 - 650 65 • 5 = 65 10:2 = 650:2 = 325 650 + 325 = 975

Прием умножения на 25:

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100, и полученный результат разделить на 4.

Например:

12 • 25 = ? 12 • 100 = 1200 1200 : 4 = 300

В данном примере можно было действовать и другим способом:

12 • 25= 25 • 12 = 25 • 4 • 3 = 100 • 3 = 300

Сначала применяется перестановка множителей, затем второй множитель заменяется произведением двух чисел и применяется сочетательное свойство умножения.

Прием умножения на 125:

Чтобы умножить число на 125, можно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.

296 • 125 - 296 • 1000 : 8 = 296 000 : 8 = 37 000

Прием умножения на 75:

Чтобы умножить число на 75, можно разделить его на 4, умножить частное на 3, а результат умножить на 100.

268 • 75 = 268:4 • 3 • 100 = 67 • 3 • 100 = 20 100

Прием умножения четного числа на 55: Чтобы умножить четное число на 55, можно разделить его на 2, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.

398 • 55=398:2 • (100 +10) = 199 (100 +10) = 19 900 +1990 = 21890

Прием умножения двух одинаковых множителей, число единиц в которых равно 5:

Чтобы выполнить умножение, можно количество десятков умножить на последующее число и к полученному результату приписать 25.

35 • 35 = 1225 75 • 75 = 5625 45 • 45 = 2025

3-4 = 12 7-8 = 56 4-5 = 20

Прием умножения на 9 (99,999):

Чтобы умножить число на 9 (99, 999), можно умножить его на 10 (100, 1000) и из полученного результата вычесть само число.

24-9 = 24-10-9 = 240-9 = 231

52 • 99 = 52 • 100 - 52 = 5200 - 52 = 5148

Прием умножения двузначного числа на 99: Чтобы умножить двузначное число на 99, можно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.

63 • 99 = 6237 79 • 99 = 7821

Прием умножения двузначного числа на 11: Чтобы умножить двузначное число на 11, можно раздвинуть его числа и вставить между ними их сумму. Если сумма является двузначным числом, то единицы суммы вставляются между цифрами, а десятки прибавляются к первой цифре.

43 11 = 473 73 11 = 803

Прием умножения двузначного числа на 101: Чтобы умножить двузначное число на 101, можно справа к нему приписать само число.

57 101 = 5757 98-101 = 9898

Прием деления на 4 (8, 16)

Чтобы разделить число на 4 (8, 16), можно разделить его на 2 дважды (трижды, четырежды).

84:4 = 84:2:2 = 42:2 = 21

Прием деления на 5:

Чтобы разделить число на 5, можно умножить его на 2, а результат разделить на 10.

175:5 = 175-2:10 = 350:10 = 35

Прием деления на 25:

Чтобы разделить число на 25, можно число умножить на 4, а результат разделить на 10.

315 : 25 = 315 • 4 : 10 = 1260 : 10 = 126

Прием деления на 125:

Чтобы разделить число на 125, можно число умножить на 8, а результат разделить на 1000.

405 000 :125 = 405 000 • 8 :1000 = 3 240 000 : 1000 = 3240

Использование этих приемов позволяет производить устно достаточно сложные вычисления, требующие обычно применения письменных способов вычислений. Естественно, практически очень трудно выучить наизусть все эти приемы, но наиболее часто используемые со временем запоминаются. Для остальных приемов дети могут изготовить карточки — на каждый прием по карточке, использование таких «подсказок» поможет ребенку эффективно справляться со многими трудными случаями устного счета.

Глава 4

Изучение величин в начальной школе

Лекция 15. Основные величины, изучаемые в начальной школе

1. Понятие величины.

2. Длина.

3. Масса и емкость.

4. Площадь.

5. Время.

6. Скорость.

7. Действия с именованными числами.

1. Понятие величины

В математике под величиной понимают такие свойства предметов, которые поддаются количественной оценке. Количественная оценка величины называется измерением. Процесс измерения предполагает сравнение данной величины с некоторой мерой, принятой за единицу при измерении величин этого рода.

К величинам относят длину, массу, время, емкость (объем), площадь и др.

Все эти величины и единицы их измерения изучаются в начальной школе. Результатом процесса измерения величины является определенное численное значение, показывающее — сколько раз выбранная мера «уложилась» в измеряемую величину.

В начальной школе рассматриваются только такие величины, результат измерения которых выражается целым положительным числом (натуральным числом). В связи с этим, процесс знакомства ребенка с величинами и их мерами рассматривается в методике как способ расширения представлений ребенка о роли и возможностях натуральных чисел. В процессе измерения различных величин ребенок упражняется не только в действиях измерения, но и получает новое представление о неизвестной ему ранее роли натурального числа. Число — это мера величины, и сама идея числа была в большой мере порождена необходимостью количественной оценки процесса измерения величин.

При знакомстве с величинами можно выделить некоторые общие этапы, характеризующиеся общностью предметных действий ребенка, направленных на освоение понятия «величина».

На 1-ом этапе выделяются и распознаются свойства и качества предметов, поддающихся сравнению.

Сравнивать без измерения можно длины (на глаз, приложением и наложением), массы (прикидкой на руке), емкости (на глаз), площади (на глаз и наложением), время (ориентируясь на субъективное ощущение длительности или какие-то внешние признаки этого процесса: времена года различаются по сезонным признакам в природе, время суток — по движению солнца и т. п.).

На этом этапе важно подвести ребенка к пониманию того, что есть качества предметов субъективные (кислое — сладкое) или объективные, но не позволяющие провести точную оценку (оттенки цвета), а есть качества, которые позволяют провести точную оценку разницы (на сколько больше — меньше).

На 2-ом этапе для сравнения величин используется промежуточная мерка. Данный этап очень важен для формирования представления о самой идее измерения посредством промежуточных мер. Мера может быть произвольно выбрана ребенком из окружающей действительности для емкости — стакан, для длины — кусочек шнурка, для площади - тетрадь и т. п. (Удава можно измерять и в Мартышках, и в Попугаях.)

До изобретения общепринятой системы мер человечество активно пользовалось естественными мерами — шаг, ладонь, локоть и т. п. От естественных мер измерения произошли дюйм, фут, аршин, сажень, пуд и т. д. Полезно побуждать ребенка пройти этот этап истории развития измерений, используя естественные меры своего тела как промежуточные.

Только после этого можно переходить к знакомству с общепринятыми стандартными мерами и измерительными приборами (линейка, весы, палетка и т. д.). Это будет уже 3-й этап работы над знакомством с величинами.

Знакомство со стандартными мерами величин в школе связывают с этапами изучения нумерации, поскольку большинство стандартных мер ориентировано на десятичную систему счисления: 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г и т. п. Таким образом, деятельность измерения в школе очень быстро сменяется деятельностью преобразования численных значений результатов измерения. Школьник практически не занимается непосредственно измерениями и работой с величинами, он выполняет арифметические действия с заданными ему условиями задания или задачи численными значениями величин (складывает, вычитает, умножает, делит), а также занимается так называемым переводом значений величины, выраженной в одних наименованиях, в другие (переводит метры в сантиметры, тонны в центнеры и т. п.). Такая деятельность фактически формализует процесс работы с величинами на уровне численных преобразований. Для успешности этой деятельности нужно хорошо знать наизусть все таблицы соотношений величин и хорошо владеть приемами вычислений. Для многих школьников эта тема является трудной только по причине необходимости знать наизусть большие объемы численных соотношений мер величин.

Наиболее сложна в этом плане работа с величиной «время». Данная величина сопровождается наибольшим количеством чисто условных стандартных мер, которые не только надо запомнить (час, минута, день, сутки, неделя, месяц и т. п.), но и выучить их соотношения, которые заданы не в привычной десятичной системе счисления (сутки — 24 часа, час — 60 минут, неделя — 7 дней и т. п.).

В результате изучения величин учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

1) познакомиться с единицами каждой величины, получить наглядное представление о каждой единице, а также усвоить соотношения между всеми изученными единицами каждой из величин, т. е. знать таблицы единиц и уметь их применять при решении практических и учебных задач;

2) знать, с помощью каких инструментов и приборов измеряют каждую величину, иметь четкое представление о процессе измерения длины, массы, времени, научиться измерять и строить отрезки с помощью линейки.