1. Умножение в столбик

Используемые математические законы и правила

Вычисления произведения многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма ). Этот алгоритм построен на основе законов сложения и умножения натуральных чисел.

Правило умножения суммы на число:

(a + b + c) •d = a•d + b•d + c•d

При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных слагаемых. Умножение таким образом представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом умножения суммы на число.

Например:

125-3 = (100 + 20 + 5) -3 = 100 -3 + 20-3 + 5-3 = 300 + 60 +15 = 375 Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число. Правило умножения числа на сумму:

а • (b + с +р) = a • b + а•с + а•р

При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Это правило является основой приема умножения многозначного числа на многозначное. Первый множитель — это число, умножаемое на сумму. В качестве суммы в этом случае рассматривается второй множитель, представляемый в виде разрядной суммы. Умножение многозначного числа на многозначное выполняется в соответствии с правилом умножения числа на сумму.

Например:

123 • 212 = 123 • (200 + 10 + 2) = 123 • 200 + 123 • 10 + 123 • 2 = = 24 600 + 1 230 + 246 = 26 076

Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на многозначное число.

Приемы вычислений

Письменное умножение на однозначное число

Записать умножение столбиком можно подробно. Например:

327

^Х 8

56

+ 160

2400

2616

Но обычно используется краткая запись, поскольку главным достоинством письменных приемов умножения является краткость записи вычислений:

327

^х 8

2616

Сложность состоит в том, что достоинства этого приема на первых порах составляют главную проблему его усвоения, поскольку все опущенные в короткой записи промежуточные вычисления необходимо выполнять в уме (устно), запоминая при этом промежуточные результаты (сколько и каких единиц нужно прибавить к следующему разряду).

Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса умножения «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению умножения и сложения получаемых отдельных сумм:

1. Умножаю единицы: 7 • 8 = 56, 56 это 5 дес. и 6 ед.

2. 6 ед. пишу под единицами, а 5 дес. запоминаю и прибавляю их к десяткам после умножения десятков.

3. Умножаю десятки: 2 дес. -8=16 дес. К 16 дес. прибавляю 5 дес, которые были получены при умножении единиц:

16 дес. + 5 дес. = 21 дес. — это 2 сот. и 1 дес. Пишу 1 дес. под десятками, а 2 сот. запоминаю и прибавляю их к сотням после умножения сотен.

4. Умножаю сотни: 3 сот. • 8 = 24 сот. К 24 сот. прибавляю 2 сот., которые были получены при умножении десятков.

24 сот. + 2 сот. = 26 сот. — это 2 тыс. и 6 сот. Пишу 6 сот. под сотнями, 2 тыс. под тысячами. Читаю ответ: 2 616.

Для прочного усвоения письменных приемов умножения ребенок должен:

1. Запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом.

2. Запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево).

3. Овладеть технологией запоминания и добавления излишних разрядных единиц, получаемых при умножении однозначных чисел, в следующий по старшинству разряд.

Для облегчения (на первых уроках) письменного приема умножения можно:

1) производить подробную, а не сокращенную запись приема. В этом случае выполнять сложение можно по записям неполных произведений, а не в уме, запоминая излишние разрядные единицы (использование этого приема рекомендуется для детей, плохо считающих в уме);

2) производить запись промежуточных вычислений рядом с примером или на черновике — в этом случае все необходимые для запоминания и добавочного прибавления разрядные единицы будут зафиксированы, и ребенок не будет их «терять».

Например:

125

X 3 5ед.-3=15ед. 15 ед. =fl дес)+ 5 ед.

375 2 дес. -3 = 6 дёс. 6 дес. + 1 дес. =(7 дес.)

1 сот. -3 = 3 сот.

Такая запись часто кажется человеку, владеющему алгоритмом письменного умножения, излишней, слишком подробной. Даже учителя редко пользуются указанными приемами помощи ребенку. Однако следует обратить внимание на то, что взрослый человек (особенно тот, кто учился в «докалькуляторную эпоху») имеет очень большую практику употребления этого алгоритма и, естественно, он уже, как говорят педагоги, автоматизировался, т. е. взрослый человек часто не задумывается над процессом его применения. Ребенку, который только начинает этому учиться намного труднее, особенно, если он при этом не очень тверд в таблице умножения и сложении двузначных чисел в уме.

Письменное умножение на двузначное (и многозначное) число

опирается на правило умножения числа на сумму. Прием письменного умножения на двузначное число можно записать подробно:

329 • 24 = 329 - (20 + 4) - 329 • 20 + 329 • 4 = 6580 + 1316 = 7896 или кратко (в столбик):

329

^Х 24

1316

+658

7896

Число 1316 называют первым неполным произведением, число 6580 называют вторым неполным произведением. Последний нуль (в разряде единиц) в записи числа 6580 при вычислениях в столбик опускают, лишь подразумевая его, для скорости записи. При этом цифру 8 (количество десятков) записывают в разряде десятков (таким образом, второе неполное произведение записывается со сдвигом влево на одну позицию).

Аналогично производится вычисление и запись умножения на трехзначное число:

382

х729

3438

+764

2674

278478

В этом случае имеем три неполных произведения: 382 • 700 = 267 400 — результат умножения числа 382 на число единиц;

382 • 20 =7 640 — результат умножения числа 382 на число десятков;

382 -9 = 3 438 — результат умножения числа 382 на число сотен. Результат умножения 382 • 729 дает сумма этих неполных произведений.

Записи последних нулей в неполных произведениях при вычислениях в столбик опускаются для экономичности записи, однако они подразумеваются, что показано сдвигом влево на один разряд каждого следующего неполного произведения.

Технически, несмотря на экономичный способ записи, выполнение умножения многозначного числа на двузначное или трехзначное число — процесс сложный и трудоемкий, требующий не только знания способов записи и порядка выполнения действий при письменных вычислениях, но и прочного знания таблицы умножения (до автоматизма), а также умения производить сложение двузначных и однозначных чисел в уме.

Особые случаи

В качестве особых случаев рассматривают случаи умножения целых чисел (чисел с нулями) вида: 35 • 20; 532 • 300; 2540 • 400.

В основе умножения в этих случаях лежит правило умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения): а • (b • с) = (а • ) • с = {а • с) • b.

Например:

35 • 20 - 35 • (2 • 10) - (35 • 2) • 10 - 70 • 10 - 700 2 540 • 400 - 2 540 • (4 • 100) - (2 540 • 4) • 100 - 10160 • 100 - 1016 000 Письменное умножение чисел с нулями рассматривается отдельно в связи с тем, что при записи таких вычислений в столбик происходит нарушение общего правила записи чисел при письмен-ном умножении.

Записывают такие случаи следующим образом:

243 532 2 540

x20 ^Х300 ^х 400

4 860 159 600 1016 000

При этом уже не соблюдается установка: «записываем разряд под соответствующим разрядом». Записывают одну под другой значащие цифры множителей. Например, в последнем случае значащая цифра 4'(число сотен) второго множителя записывается под значащей цифрой 4 (число десятков) первого множителя. Далее умножение производится по принципу «многозначное число умножаем на однозначное», а результат домножается в уме на количество десятков и сотен в множителях. Технически это выглядит как дописывание к результату справа такого же количества нулей, как в обоих множителях.

Сложные случаи письменного умножения

К сложным случаям письменного умножения относят все случаи вычислений, в которых происходит либо нарушение способа записи (для краткости вычислений), либо нарушение порядка выполнения алгоритма.

В общем случае при записи умножения в столбик следует записывать разряд под соответствующим разрядом, а вычисления начинать с умножения первого множителя на единицы младшего разряда (разряда единиц), далее умножают первый множитель на число десятков второго множителя, далее — на число сотен и т. д. Таким образом находят неполные произведения, которые затем складывают, получая результат умножения.

В сложных случаях может происходить нарушение формы записи.

Например:

973 7050 340

x50 x7 x24

48650 49350 136

+68

8160

В первых трех случаях нарушение формы записи можно объяснить наличием нулей (незначащих цифр) в множителях, что позволяет на первом вычислительном этапе мысленно опускать их, домножая затем результат на нужное количество десятков.

В четвертом случае происходит нарушение порядка выполнения действий — после умножения первого множителя на число единиц второго множителя, сразу переходим к умножению первого множителя на число сотен, поскольку число десятков второго множителя обозначено цифрой 0. Подразумевается, что умножение первого множителя на 0 десятков дает нулевой результат во втором неполном произведении. Поэтому для экономичности записи его опускают, подразумевая его «по умолчанию». В связи с этим при умножении первого множителя на число сотен второе (фактически — третье) неполное произведение записывают со сдвигом влево на два разряда, поскольку первая справа значащая цифра этого неполного произведения будет цифрой сотен, поэтому ее следует записать в разряд сотен.

Для того чтобы ребенок понял смысл всех этих многочисленных действий «по умолчанию», при знакомстве с этими трудными случаями следует сначала производить полные записи и выполнять все, предписанные алгоритмом действия, а не просто указывать ребенку, что куда следует «сдвигать». Затем, сравнивая два вида записи (полный и сокращенный) нужно помочь ребенку понять, какие элементы и этапы полного алгоритма и полной записи можно опустить, и что при этом произойдет с формой записи. В этом случае ребенок будет выполнять трансформации формы записи и порядка выполнения действий при письменном умножении осознанно, что способствует пониманию вычислительного приема и формированию осознанной вычислительной деятельности школьника.