Отношение эквивалентности

Выделим теперь класс отношений, играющих особую роль в разбиении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными одновременно. К ним относятся отношения ра­венства чисел и геометрических фигур, подобия фигур, отноше­ние быть ровесником.

Эти и другие подобные им, т. е. обладающие такими же свойст­вами, отношения принадлежат важному классу отношений эквива­лентности, находящих широкое применение и использование, в том числе в курсе математики общеобразовательной школы.

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отноше­ние, установленное в некотором множестве А, называется отно­шением эквивалентности.

Если между элементами некоторого множества введено или ус­тановлено отношение эквивалентности, то этим самым порождает­ся разбиение данного множества на классы таким образом, что любые два элемента, принадлежащие одному классу разбиения, на­ходятся в данном отношении (иначе: эквивалентны по этому отно­шению), любые же два элемента, принадлежащие различным клас­сам, не находятся в этом отношении (иначе: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы обычно называют разбиением множества на классы эквивалентности.

Разбиение множества блоков (или фигур) на классы эквива­лентности можно смоделировать с помощью следующей игры с тремя обручами.

В множестве всех блоков введем отношение иметь один цвет (или быть одного цвета). Нетрудно убедиться в том, что это

множества всех блоков на классы эквивалентности по отношению быть одного цвета (области (1), (2), (3), (4) оказываются пустыми, так как нет трехцветного или двухцветного блока, область (8) пуста, так как блоков другого цвета, кроме красного, синего или желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия (1)—(3) правильного разбиения (см. 2.1): 1) ни один из классов (красных, синих, желтых) блоков не пуст; 2) эти классы попарно не пересекаются; 3) их объединение равно множеству Мвсех блоков.

Таким же путем, т. е. с помощью отношения быть одного цвета, формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем все красные предметы.

Аналогично формируется и представление об определенной форме предметов. С помощью отношения иметь одну форму мы

получаем разбиение всех блоков (или фигур) на четыре класса эк­вивалентности такое, что любые два блока (или две фигуры), при­надлежащие одному классу, обладают одной и той же формой, любые же два блока (или две фигуры) различных классов облада­ют различной формой. Сама форма выступает здесь как класс эк­вивалентности. Так, впоследствии, например, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других геометрических фигурах как на плоскости, так и в про­странстве.

Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения эквивалентности являются базой для формирования новых поня­тий и для классифицирующей деятельности, с другой — что рас­смотренные выше (2.1) дидактические игры с обручами обучают этой деятельности.