Виды геометрических фигур

Будем рассматривать далее лишь те виды простейших геомет­рических фигур, с которыми приходится иметь дело в процессе обучения дошкольников.

Все геометрические фигуры делятся на плоские и пространст­венные. Так, например, квадрат, круг — плоские фигуры; куб, шар — пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под линией будем иметь в виду плоскую линию — линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть под­множество точек плоскости.

Прямую линию, или просто прямую, можно выделить среди других линий с помощью ее характеристических свойств, т. е.

таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие дру­гие линии.

На илл. 8 между деревом и домом проложено несколько тро­пинок. На геометрическом языке это означает: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия кратчайшего расстояния.

Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых — только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна прямая.

Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. Например, пря­мая — незамкнутая линия, окружность — замкнутая.

По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны». Например, если дом и дерево находятся по одну сторону от речки, можно дойти от дома до дерева или обратно, не проходя через мост. Если же они нахо­дятся по разным сторонам от реки, то дойти от дома до сада или обратно, не проходя через мост, нельзя.

На геометрическом языке эта ситуация описывается следу­ющим образом. Две точки А и В находятся по одну сторону от прямой /, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает прямую / (илл. 9).

Первые представления о внутри и вне закрепляются в играх с обручами, когда дети встречаются со все усложняющимися ситуа­циями: определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с классификацией блоков или фигур в играх с обруча­ми, необходимо выяснить, распознают ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу.

Переведем теперь эти ситуации на язык геометрии.

Интуитивно ясно, что всякая окружность разбивает множест­во всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (илл. 10). Если две точки А и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; если две точки, например С и D, принадлежат различным областям, то со­единяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К).

Илл. 10

Одна из этих областей называется внутренней, другая — внеш­ней. Каким же геометрическим свойством можно охарактеризо­вать внутреннюю или внешнюю область?

Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, обла­дает следующим свойством: можно найти в этой области две точ­ки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно принимается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характеризуется свойством, представляющим собой отрицание ха­рактеристического свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области (или, иначе, прямая, проходящая через любые две точки этой области, обязательно пересекает линию /)-

Выше мы пользовались понятием отрезок и связывали его не­изменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяющий точки А и В» и т. п. Что же такое отрезок? Иногда говорят «часть прямой». Это можно понимать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество?

Иногда пользуются отношением между, применимым к трем точкам. Это отношение соответствует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой между двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по прямой от А к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представления под­сказывают и некоторые свойства отношения между: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и А; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если Слежит между А и В, то уже А не лежит между Си В, а также В не лежит между А и С.

Имеются две различные трактовки понятия отрезка (по суще­ству это два различных понятия). По одной из них отрезку АВ при­надлежат сами точки А я В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А и В не счи­таются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему называ­ются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат ему).

Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически более целесообразной.

Так как через две точки А и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с кон­цами А я В.

Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной линии.

Если А\,А₂, At,, .., A„-j, А_п — точки, никакие последовательные три из которых не лежат на одной прямой, то линия, состоящая из отрезков/41Л2>^2^3> ..,А_п_]А„, называется ломаной линией, эти отрез­ки называются звеньями ломаной, а точки А\, А₂, A3,.., А_п_], А„ — ее вершинами; точки А\ я А_п называются также концами ломаной Если концы ломаной совпадают, то ломаная называется замк­нутой, в противном случае — незамкнутой (строгие определения замкнутой и незамкнутой кривой линии в элементарной геомет­рии не даются).

На илл. 11, А изображена замкнутая ломаная линия, на илл. 11, 2> — незамкнутая.

Как и всякая замкнутая линия, замкнутая ломаная линия раз­бивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области — внутреннюю и внешнюю.

Среди ломаных линий выделяют простые (без самопересече­ний) ломаные линии, т. е. такие, которые сами себя не пересекают.

Изображенные на илл. 11 ломаные линии простые. На илл. 12 изображены непростые, сами себя пересекающие ломаные линии.

Перейдем теперь к рассмотрению многоугольников. Имеются два основных подхода, по существу определяющих различные понятия: согласно одному из них, под многоугольником понимают простую замкнутую ломаную линию, согласно второму — простую замкнутую ломаную вместе с ее внутренней областью или объеди­нение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области.

Согласно первой трактовке, модель многоугольника, напри­мер, можно изготовить из проволоки, по второй — вырезать из бу­маги. Какая же из двух трактовок более целесообразна с дидакти­ческой точки зрения? (С логической точки зрения обе трактовки корректны и имеют право на существование.) Для маленьких детей более естественным является называть квадратом, треугольником и т. д. именно ту фигуру, которую они закрасили и вырезали, т. е. ло­маную вместе с ее внутренней областью. Поэтому представляется, что и для школы вторая трактовка является более целесообразной.

Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шести­угольники и т.д. Наблюдая различные многоугольники, можно обнаружить наличие или отсутствие свойства, называемого выпук­лостью.

На илл. 13 изображены многоугольники, обладающие (в случа­ях/1, Б, Г, Е) и не обладающие (в случаях В, Д, Ж) этим свойством.

Как же геометрически описать это интуитивно ясное свойст­во? Любой из многоугольников в случаях Л, Б, Г, Е расположен по одну сторону от прямой, проведенной через каждую его сторону, т. е., если продолжить любую сторону, полученная прямая не пере­сечет многоугольник (с этой целью на рисунке стороны этих многоугольников продолжены пунктиром). В каждом из много­угольников в случаях В, Д, Ж существует хотя бы одна такая сто­рона, продолжение которой пересекает многоугольник. Первые называются выпуклыми, вторые — невыпуклыми.

Треугольник, квадрат, прямоугольник — выпуклые четырех­угольники. Пятиконечная звездочка — невыпуклый десятиуголь­ник.

Стороны и вершины многоугольника, т. е. замкнутая лома­ная, образуют границу многоугольника. Это интуитивно ясное понятие. Например, интуитивное представление о границе фи­гуры готовит детей к географическому понятию границы.

Чем же отличается граничная точка, т. е. точка, принадлежа­щая границе, от внутренней точки многоугольника (и вообще фи­гуры)? Как это различие описать геометрически?

С этой целью введем понятие окрестности точки. Под окрест­ностью точки А будем понимать круг любого радиуса с центром в точке А. Теперь, пользуясь этим весьма наглядным понятием, опи­шем различие между внутренней и граничной точками многоуголь­ника.

Для любой внутренней точки А, как бы близка она ни была к границе, всегда можно найти окрестность, все точки которой внутренние (илл. 14).

Для граничной точки В нет такой окрестности, т. е., какую бы окрестность точки В ни взяли, внутри ее найдутся как внутренние, так и внешние точки. Такими же свойствами обладают внутрен­ние и граничные точки на географической карте, представляющей собой некоторую геометрическую фигуру.

Например, на географической карте России для любой внут­ренней точки можно найти окрестность, внутри которой все точки принадлежат территории России. Для любой точки на гра­нице России такой окрестности нет, т. е. в любой окрестности такой точки найдутся как точки, принадлежащие России, так и точки, принадлежащие соседнему государству.

Среди форм используемых нами блоков (или фигур) кроме тре­угольника, квадрата, прямоугольника имеется и круг. Кроме того, многие предметы, с которыми встречаются дети (тарелки, блюдца, колеса велосипеда и др.), имеют круглую форму. Считаем нецеле­сообразным для дошкольников вводить термин окружность.

В элементарной геометрии круг определяется как множество (или геометрическое место) всех точек плоскости, удаленных от некоторой точки, называемой центром, на расстояние, не превы­шающее R (R — радиус круга); окружность определяется анало­гично как множество всех точек плоскости, удаленных от точки, называемой центром, на одно и то же расстояние R.

Заметим, что если в этих формулировках слово «плоскость» за­менить словом «пространство», то получатся определения шара и сферы, соответственно, пространственных аналогов круга и окруж­ности.

Круг, окружность, шар и сферу можно определить и генетиче­ски, т. е. описанием процесса образования этих фигур. Этот про­цесс легко смоделировать: если отрезок зафиксировать в одном конце и вращать его около этого конца, то он опишет круг, а второй его конец — окружность. Если полукруг вращать около диаметра, то он опишет шар, а ограничивающая его полуокружность — сферу.

Дошкольники знакомятся также с одним из простейших многогранников, каким является куб.

Куб — пространственный аналог квадрата. Он ограничен шес­тью квадратами. Его можно сконструировать (склеить) из плоской фигуры — выкройки, изображенной на илл. 15

Ознакомление детей с описанными выше простейшими гео­метрическими фигурами является пропедевтической основой для дальнейшего формирования и развития у них геометрических, в том числе пространственных, представлений.