2.5. Величины и их измерение

Что такое величина

Величина — одно из основных математических понятий, воз­никшее в древности и подвергшееся в процессе длительного раз­вития ряду обобщений.

Общее понятие величины является непосредственным обоб­щением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы, скорости и т. п. Каждый конкретный род величин связан с определенным способом сравнения соответствующих свойств объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при по­мощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого не покрывая целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравне­ния площадей плоских фигур, объемов пространственных тел.

Для сравнения двух предметов по массе их взвешивают. Если чаши весов уравновешиваются, то предметы имеют одинаковую массу, если же чаши не уравновешены, то предмет, находящийся на той чаше, которая перетягивает, имеет большую массу, второй предмет — меньшую.

Понятия длины, площади, объема, массы могут быть обобще­ны на любой род величин: в системе всех однородных величин, т. е. всех длин, всех площадей, всех объемов, всех масс и т. д., ус­танавливается отношение порядка. Две величины а и Ь одного и того же рода или совпадают (а=Ь), или первая меньше второй (а<Ь), или вторая меньше первой (Ь<а).

Однородные величины можно также складывать. Например, если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС (илл. 16, А).

Если плоская фигура состоит из двух частей, не имеющих дру­гих общих точек, кроме граничных, то площадь S всей фигуры равна сумме площадей S1+S2 этих частей (илл. 16, Б).

Если предмет состоит из двух частей, то его масса т равна сумме m\+ni2 масс т\ыгп2 этих частей.

Так раскрывается смысл операции сложения для каждого рода величин (длин, площадей, объемов, масс и т.д.).

Исходя из смысла отношения меньше (<) и операции сложе­ния однородных величин (+), можно убедиться в том, что любая система однородных величин (В, <, +) обладает перечисленными ниже свойствами.

1. Отношение < является, как и между числами, антирефлек­сивным, т. е. -i(o<a) для любого ае В; асимметричным (для любых а, аеВ, если а<Ь, то -*Ь<а) и транзитивным (для любых а, Ь, се В, если а<Ь и Ь<с, то а<с), т. е. является отношением строгого поряд­ка. Причем для любых а, Ь, се В, если а*Ь, то а<Ь или Ь<а, т. е. система однородных величин В упорядочена этим отношением.

2. Если а<Ь, то существует величина се В такая, что а+с=Ь. Величина с называется разностью между величинами b и а и обо­значается «b—а», т. е. а+с=Ь равносильно с—Ъ—а. Например, если взять два отрезка, АВ длины а и CD длины Ъ, причем а<Ь, и отло­жить на отрезке CD отрезок СВ[, равный АВ, то образовавшийся отрезок B\D будет иметь длину c—b-а (илл. 17).

3) Сложение величин, как и сложение чисел, обладает свойст­вом переместительности (коммутативности): a+b=b+a для любых я, be В.

Например, безразлично — присоединить к отрезку АВ длины а отрезок ВС длины b или наоборот — мы все равно получим в результате один и тот же отрезок.

4) Сложение величин обладает свойством сочетательности (ассоциативности):

a+(b+c)=(a+b)+c для любых а, Ь, се В.

Например, если присоединить к отрезку АВ длины а отрезок BD длины Ь+с так, чтобы точка В лежала между точками А и D (илл. 18), то получим отрезок AD длины а+ф+с); если к отрезку АС длины а+b присоединить отрезок CD длины с, то получим от­резок AD, длина которого выражается через (а+Ь)+с; но так как мы получили один и тот же отрезок AD, то a+(b+c)=(a+b)+c. По­этому можно писать без скобок а+Ь+с.

Илл. 18

5) Для любых a, be В, а+Ь>а (свойство монотонности сложе­ния). Например, если точка Я лежит между точками А и С (илл. 18), то длина отрезка АС (а+b) больше длины отрезка АВ (а), или вообще «величина части меньше величины целого».