2.2. Отношения Бинарные отношения

Под бинарным отношением понимают отношение между двумя предметами. Дальше, говоря «отношение», мы будем иметь в виду именно бинарное отношение. Выясним, что интуитивно понима­ют под отношением и как это понятие можно описать математи­чески.

Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:

• между числами: равно, не равно, меньше, больше, не меньше, не больше, делит, делится на;

• между точками прямой: предшествует, следует за;

• между прямыми: параллельны, пересекаются, перпендикулярны, скрещиваются;

• между прямой и плоскостью: параллельны, пересекаются, пер­пендикулярны;

• между плоскостями: параллельны, пересекаются, перпендику­лярны;

• между геометрическими фигурами: равно, подобно и др.

Это, разумеется, далеко не полный перечень встречающихся в школьной математике отношений.

Примеры бинарных отношений встречаются не только в ма­тематике, но и всюду в жизни, вокруг нас. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, дедушкой, матерью, ба­бушкой, братом, сестрой, другом, ровесником; старше, моложе, выше, ниже и др.) выступают как бинарные отношения. Отноше­ния между событиями во времени (раньше, позже, одновременно), между предметами по их расположению в пространстве (выше, ниже, левее, правее, севернее, южнее и др.) также выступают как бинарные отношения.

Всегда, когда речь идет о некотором отношении, имеются в виду два множества А я В; при этом некоторые элементы множе­ства А находятся в данном отношении с некоторыми элементами множества В или того же множества А.

Таким образом, всякое отношение между элементами мно­жеств А и В (или между элементами множества А) порождает мно­жество пар, первые компоненты которых принадлежат А, вто­рые — В (или тоже А), т. е. порождает подмножество АхВ (или АхА), причем такое, что элементы каждой пары и только они на­ходятся в данном отношении.

Всякое отношение между элементами двух множеств А и В полностью характеризуется тремя множествами: А и В, между эле­ментами которых установлено отношение, и некоторым множест­вом пар Р — подмножеством АхВ, т. е. декартовым произведением. Один из путей определения математического понятия отношения и состоит в отождествлении этого понятия с указанной тройкой множеств.

Отношением между элементами непустых множеств А и В на­зывается тройка множеств р=(Р, А, В), где P<zAxB.

Множество пар Р называется графиком отношения р.

Об элементах пары (х, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру».

Таким образом, записи «(х, у)е Р» или «хру» равносильны.

Если В—А, то р=(Р, А, А) называется отношением между эле­ментами множества А.