§ 4. Организация повторения

4.1. В процессе обучения математике важное место отводится орга­низации повторения изученного материала. Необходимость повторе­ния обусловлена задачами обучения, требующими прочного и созна­тельного овладения им.

Указывая на важность процесса повторения учебного материала, современные исследователи показали значительную роль при этом таких дидактических приемов, как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующих интенсивному протеканию про­цесса запоминания. При этом вырабатываются гибкость, подвижность ума, обобщенность знаний.

В процессе повторения память у учащихся развивается. Эмоцио­нальная память, опирающаяся на наглядно-образные процессы, по­степенно уступает памяти с логическими процессами мышления, ко­торая основана на умении устанавливать связи между известными и неизвестными компонентами, сопоставлять абстрактный материал, классифицировать его, обосновывать свои высказывания.

Повторение учебного материала по математике осуществляется во всей системе учебного процесса: цри изложении учителем новых поня­тий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоя­тельных работ различных видов, при проверке знаний учащихся и т. д.

Необходимость повторения изученного ранее материала вызвана самой структурой программы учебного курса математики. Так, про­граммой предусмотрено расширение основных понятий о числе, о ве­личине и ее измерении, о функциональной зависимости, геометриче­ских преобразованиях и др.

Каждое из математических понятий напоминает граненый само­цветный камень. Например, ученики знакомятся с числами натураль­ного ряда, затем постепенно понятие о числе расширяется, появляются числа дробные, отрицательные, иррациональные.

В связи с этим особо важное значение для организации успешного обучения учащихся математике имеет систематическое повторение ра­нее изученного, связанного с данным уроком, с материалом предше­ствующих лет, т. е. систематическое возвращение к ранее изученному.

Введение новых чисел вызывает необходимость выполнения дей­ствий над ними. Выполнение же действий над дробными числами связано с повторением правил выполнения действий над натуральными числами и т. д.

Изучению действия вычитания отрицательных чисел предшествует повторение определения вычитания положительных чисел: «Вычесть из числа а число b- значит найти такое число с, которое в сумме с числом b дает а».

Вначале это определение повторяют на числовых примерах, а потом формулируют в общем виде.

При повторении учащиеся вспоминают, что смысл определения вычитания заключается в нахождении слагаемого, если даны сумма и другое слагаемое.

Такое повторение подготавливает к пониманию действия вычита­ния отрицательных чисел. Далее сообщается ученикам, что вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что вычитание положитель­ных чисел, т. е. по заданной сумме и одному из слагаемых находят второе слагаемое.

Рассмотрим сумму:

16 + 8 = 24

Чтобы найти слагаемое 16, надо из суммы 24 вычесть второе сла­гаемое 8.

24 — 8 = 16

Но этот же результат можно получить, если к 24 прибавить —8, число, противоположное 8, т. е.

1) 24 + (-8) - 16

Рассмотрим еще несколько примеров:

2) —18 4- (—8) = —26

3) —18 + (—3) ==—21

4) —15 + (—20) = —35

Нахождение одного из слагаемых в примерах 2—4 сопровожда­ется рассуждением, аналогичным при решении примера 1. И после разбора этих примеров ученики под руководством учителя приходят к выводу и формулируют правило вычитания для двух любых чисел.

Как видим на данном примере, повторение определения вычита­ния положительных чисел находится в непосредственной взаимосвязи с изучением нового материала, вычитанием отрицательных чисел.

При решении уравнений в IV—V классах новым способом необхо­димо повторить сведения из начальной школы о нахождении неизвест­ных компонентов. При этом учащимся можно предложить решить сле­дующие примеры:

На уроках математики формируется понятие числового значения величины, изучаются свойства величин и чисел. При рассмотрении этих вопросов полезно повторить с учащимися свойства величин и чисел, изученные ранее. Таким образом, повторение на этапе подго­товки к изучению нового материала необходимо для установления связей нового материала с ранее изученным, неизвестного с известным. Такое повторение способствует систематизации материала, бо­лее глубокому пониманию его, формированию прочных знаний-

4.2. Повторение при подготовке учащихся к выполнению различ­ных упражнений, практических и лабораторных работ, решении при­меров и задач способствует выработке прочных навыков.

Навыки формируются целенаправленно и осознанно. Первона­чально ученик опирается на какое-либо правило, а затем выполняет соответствующее действие без особого напряжения. К. Д. Ушинский писал, что математическое действие должно быть вполне осознано учеником, но затем путем упражнения оно должно превратиться в «полусознательный» навык, чтобы ученик, решая какую-нибудь зада­чу, «не тратил сознания и воли» на припоминание арифметических действий.

В процессе обучения математике важное место отводится формиро­ванию вычислительных навыков, навыков измерения, построения, применения знаний при решении различного вида упражнений, прак­тических и лабораторных работ, в практике, в жизни.

Наряду с повторением, предваряющим объяснение нового матери­ала, решение задачи, выполнение практической работы, проводится повторение при закреплении нового материала урока. Такое повторе­ние объединяется с закреплением и направлено на обобщение изучен­ного, выделение главного. Так, выполнению упражнений на закреп­ление понятия «вектор» предшествует повторение этого понятия.

Повторительные упражнения для самостоятельной работы на эта­пе закрепления могут по своей форме быть программированными. Приведем пример программированных заданий по теме «Векторы» в курсе геометрии:

Задание.

Сколько различных векторов изображено на каждой фигуре (рис. 47, а, б, в)?

При обсуждении результатов выполнения самостоятельных работ еще раз обращается внимание на существенные признаки понятия «вектор».

При закреплении понятия «симметричные фигуры» учащимся пред­лагаются упражнения, выполнению которых предшествует повторе­ние основных признаков, свойств понятия.

Задание.

1. Укажите фигуры (рис. 48), обладающие общим свойством. Ка­кое это свойство? Какие фигуры не обладают этим свойством? Ответ поясните.

2. Нарисуйте фигуру, имеющую: а) две, б) три оси симметрии.

3. Приведите пример фигуры, имеющей бесконечное множество осей симметрии.

При подведении итогов выполнения самостоятельной работы на уроке учащиеся еще раз повторяют существенные признаки симме­тричных фигур, их свойства, что способствует закреплению этого по­нятия.

Таким образом, в этом случае повторение материала проводится на этапе закрепления.

Для формирования прочных знаний, умения применять эти зна­ния при решении задач и примеров, закреплении вычислительных на­выков значительное место отводится организации текущего повторе­ния, не связанного с изучаемым на уроке материалом.

Так, в V классе на одном из уроков по теме «Решение уравнений» проводится устная самостоятельная работа.

Как видим, задания а) и б) не связаны непосредственно с изучае­мым на уроке материалом, но они важны для закрепления вычисли­тельных навыков.

Выполнение учащимися тренировочных упражнений с действиями над десятичными дробями и повторение правил умножения, деления десятичных дробей способствуют закреплению имеющихся знаний, выработке прочных навыков.

Для каждого вида повторения учитель математики составляет к началу учебного года план повторения, отобрав для этого теоретиче­ский материал и соответствующие примеры и задачи.

При подготовке к уроку учитель планирует повторение материала по теме прошлого урока, по изученной теме или разделу программы.

Повторение в конце темы или курса носит обзорный характер и способствует систематизации знаний по теме, курсу.

В заключение изучения материала по теме может быть проведена обзорная повторительная работа.

Так, обзорное повторение по темам: «Равные дроби», «Сложение и вычитание дробей» — может быть проведено по заранее подго­товленным вопросам, а результаты повторения темы могут быть подведены после проведения следующей обзорной контрольной работы:

1. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите примеры.

2. Приведите дробик знаменателю 63.

3. Сократите дроби:

4. Приведите примеры простых чисел.

5. Разложите на простые множители каждое из чисел: 24, 49, 60.

6. Начертите фигуру, имеющую ось симметрии.

7. Приведите примеры наименьшего общего кратного двух чисел.

8. Найдите наименьшее общее кратное чисел 48 и 72.

9. Приведите дробик наименьшему общему знаменателю.

10. Сравните числа: а)

. 11. Выполните действия: а)

12. Решите уравнение:

13. Выполните действия:

14. Упростите выражение:

Следующий этап повторения учебного материала носит характер подготовки к выполнению работы над ошибками. С целью организованного повторения учебного материала в нача­ле года опытные учителя проводят контрольные работы уже в сен­тябре.

Такие контрольные работы но своему содержанию могут совпадать с контрольными работами по математике, проведенными с этими школьниками в конце предшествующего учебного года. Результаты проведения работы позволяют учителю спланировать вопросы для текущего повторения материала в самом начале учебного года.

Учителя отмечают особо важную роль повторения материала в начале года. Например, на первых уроках стереометрии в IX классе повторение опорных знаний из планиметрии способствует усвоению новых знаний.

Таким образом, на всех этапах организации процесса обучения математике повторение играет важную роль. Никакой творческий опыт не может осуществляться без опоры на прежний опыт.

Повторение учебного материала является одним из путей развития творческой активности учащихся. Систематическое повторение содей­ствует значительному улучшению качества математической подго­товки и является действенным средством борьбы с формализмом в знаниях учащихся.