§ 3. Математические доказательства

3.1. Говоря «математическое доказательство», мы имеем в виду доказательство математических предложений, или, точнее, доказа­тельство предложений в рамках какой-нибудь математической тео­рии. Дальше будем пользоваться термином «доказательство» в смысле «математическое доказательство».

Исходя из такого понимания этого термина, мы различаем содер­жательные (неформальные) и формальные доказательства, применяющиеся соответственно в содержательных (неформальных) или полуформальных и в формальных математических теориях.

В школьном обучении некоторые начальные фрагменты математических теорий (арифметики, алгебры, геометрии, анализа) излагаются содержательно (неформально). Поэтому и доказательства в школь-ной математике строятся как содержательные доказательства, в ко­торых используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются.

Вопрос о том, как мы доказываем, как доказываемое предложение получается из уже известных истинных предложений данной теории, остается в установившейся практике обучения по существу не разъяс­ненным. Часто встречающийся ответ («С помощью рассуждения»), очевидно, ничего не разъясняет (понятие доказательства «разъяс­няется» с помощью понятия рассуждения, которое само нуждается в разъяснении). Обучение же дедуктивному доказательству без разъ­яснения применяемой в нем логики (правил вывода) подобно обуче­нию кладке кирпичной стены без всякого упоминания о растворе. Вот почему в результате такого обучения доказательству учащиеся часто строят «доказательства», которые разваливаются так же, как стены, сложенные из кирпича, не скрепленного раствором.

Вопрос о разъяснении в процессе обучения математике простей­ших применяемых неявно в доказательствах правил вывода (схем дедуктивных рассуждений) давно является предметом дискуссии в нашей и зарубежной методической литературе. Речь идет не о том, чтобы в школьном обучении применялись доказательства в полной логической форме с выявленной логикой. Такие доказательства (се­мантические аналоги формальных доказательств) очень громоздки и непригодны для практики доказательства. Речь идет лишь о том, чтобы показать учащимся на отдельных конкретных примерах, что те до­казательства, которые мы обычно строим, являются свернутыми, сокращенными формами доказательства, которые можно преобразо­вать в полные логические формы выявлением используемых неявно правил вывода (следования). Ясно, что этот вопрос может не выделять­ся в качестве специальной темы программы, так как он относится не к содержанию, а к методам обучения математике. Методы обучения доказательству, включающие раскрытие логики доказательств, спо­собствуют интенсификации влияния обучения на развитие логики мышления учащихся. Они могут осуществляться по крайней мере на факультативных занятиях или в классах с углубленным изучением математики. Учитель должен уметь развертывать доказательства в полную логическую форму еще и потому, что эта форма поможет ему сравнивать различные содержательные, свернутые доказатель­ства с целью оценки их сложности, поможет ему сформулировать мето­дически целесообразные вопросы для выяснения понимания учащими­ся способа и хода доказательства.

Простейшие правила вывода могут быть выявлены и разъяснены с помощью логического анализа конкретных доказательств с целью выяснения, как доказываемое предложение выводится (следует) из других (посылок).

Приведем в качестве примера логический анализ двух различных доказательств предложения «Диагонали прямоугольника равны».

Предварительно отметим, что различные доказательства одной и той же теоремы могут отличаться как математическими посылками

(т. е. используемыми в них истинными предло­жениями данной теории — аксиомами, опреде­лениями, ранее доказанными теоремами), так и логикой (используемыми в них правилами вывода, которые в содержательных доказатель­ствах, разумеется, не фиксируются).

Математические посылки характеризуют способ доказательства, который, очевидно, за­висит от принятой системы изложения теории.

Мы рассмотрим два способа доказательства названной выше теоремы: с помощью осевой симметрии и с помощью равных треугольников.

Прежде всего сформулируем доказываемое предложение в виде импликации: «Если четырехугольник — прямоугольник, то его диа­гонали равны» или «Если ABCD — прямоугольник, то |АС|=|BD|» (рис. 11).

Сначала приведем два содержательных доказательства в сверну­той форме, как они обычно излагаются в школьных учебниках.

Доказательство I. Точки D и В симметричны точкам А и С относительно оси MN (рис. 11). (Это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы «Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника является его осью симметрии».) Значит, отрезки АС и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому |АС|= |DB|.

Доказательство II. BAD=CDA, так как они пря­моугольные (A=D= 90°), |AB|=|CD| как противоположные стороны прямоугольника, и |AD|— общая сторона. Следовательно, |АС|=|BD|»

С помощью логического анализа доказательства I мы выявим и разъясним некоторые правила вывода, а затем, используя эти же правила, представим в полную логическую форму и доказательство II.

Логический анализ доказательства I. С целью анализа доказательства I выделим участвующие в нем предло­жения, опуская при этом фигурирующие в тексте доказательства слова «значит», «поэтому» и разбивая сложные предложения на эле­ментарные.

Очевидно, можно записать доказательство I в виде последователь­ности из четырех предложений:

1 «S_MN(A)=D».

2. «S_MN(C)=B».

3. «S_MN([AC]) = [DB]».

4. |АС|= |DB||».

Однако эта последовательность предложений еще не является полной записью доказательства. В ней не видно, на основе каких Дедуктивных рассуждений (правил вывода) предложение 4 полу­чается из предшествующих ему.

Выясним какими предложениями необходимо его дополнить, чтобы получить полную (развернутую) запись доказательства. Рассмотрим по порядку каждое из предложений 1—4.

В силу чего истинно предложение 1?

По-видимому, в силу ранее доказанной теоремы, так как мы про­вели MN как серединный перпендикуляр отрезка АВ.

А как установить истинность предложения 2?

Из предложения 1 по теореме о серединном перпендикуляре к стороне прямоугольника следует,

а из этого предложения следует предложение 2.

Предложение 3 следует из предложений 1 и 2 по свойству осевой симметрии, а предложение 4 следует из предложения 3 по определе­нию равенства отрезков.

Но когда мы говорим «следует», подразумевается применение некоторого правила следования (вывода), которое в обычной прак­тике доказательства, разумеется, не фиксируется.

Попробуем сейчас записать дополненную последовательность предложений и справа, там, где мы показываем, на каком основании предложение входит в доказательство (анализ доказательства), по­ставим знак вопроса вместо пока неизвестного нам правила вывода, применение которого представляется необходимым для получения данного предложения как следствия каких-то предшествующих ему.

Займемся теперь снятием вопросительных знаков. Хотя их много, но обозначают они не обязательно различные правила вывода. Мы убедимся без особого труда, что для снятия всех этих знаков вопроса достаточно лишь двух правил вывода.

Обозначим элементарное предложение 1 через Р, а элементарное предложение 3 через Q. Тогда первые три предложения нашей после­довательности запишутся так:

1. «Р».

2. «Если Р, то Q».

3. «Q».

И чтобы предложение 3 следовало из предложений 1 и 2, необ­ходимо правило вывода, которое независимо от содержания предло­жений «Р» и «Q» допускает следование из предложений вида «Р» и «Если Р, то Q», предложения «Q».

Если же теперь через Р обозначить предложение 3, а через Q — предложение 5, то это последнее предложение получится из 3 и 4 по этому же правилу.

Очевидно, что по этому же правилу получается предложение 7 из предложений 5 и 6, и предложение 10 из предложений 8 и 9 (в по­следнем случае Р обозначает сложное предложение «S_MN(A)=D и S_MN(C)=B») и предложение 12 из предложений 10 и 11.

Для получения же предложения 8 из предложений 3 и 7 необхо­димо правило, позволяющее из двух предложений «Р» и «Q» получить как следствие предложение «Р и Q».

Итак, мы выяснили, что логика приведенного доказательства представлена двумя правилами вывода:

Но как убедиться в том, что эти правила вывода (схемы дедуктивных рассуждений) допустимы, т. е. что никогда при истинных посыл­ках (они записаны над чертой), рассуждая по этим схемам, мы не можем получить ложных заключений (заключения записаны под чертой)?

Для разъяснения этого вопроса достаточно знать, в какой зави­симости находятся истинностные значения предложений «Если Р, то Q» и «Р и Q» от истинностных значений составляющих предложе­ний «Р» и «Q», т. е. точный смысл логических операторов «если..., то» и «и»: предложение «Если Р, то Q» обычно считают ложным тогда и только тогда, когда «Р» истинно, a «Q» ложно, предложение же «Р и Q» считается истинным тогда и только тогда, когда «Р» и «Q» оба ис­тинны.

Поэтому, если обе посылки правила (1) («Р» и «Если Р, то Q») истинны, заключение «Q» не может быть ложным, иначе при «Р» ис­тинном и «Q» ложном посылка «Если Р, то Q» оказалась бы ложной.

Аналогично, если обе посылки правила (2) («Р» и «Q») истинны, заключение «Р и Q» не может быть ложным, иначе одна из посылок, «Р» или «Q», оказалась бы ложной.

Правило (1) называется правилом заключения (ПЗ), правило (2) — введением конъюнкции (ВК).

Теперь мы можем снять все знаки вопроса. Получим следующую полную запись доказательства I:

Это же доказательство можно построить с помощью несколько иной логики, кроме ПЗ и ВК, используя и правило силлогизма (ПС):

Какое же новое правило вывода обозначено пока знаком вопроса? Нетрудно заметить, что в обоих случаях применения этого пока неизвестного правила нам нужно, чтобы из двух посылок вида

«Если Р, то Q» и «Если Q, то R»

можно было вывести заключение

«Если Р, то R»,

т. е. в приведенной выше полной записи доказательства возникает необходимость в применении правила вывода:

называемого правилом силлогизма (ПС).

Доказать, что такое правило вывода допустимо, можно способом «от противного».

Допустим, что из посылок «Если Р, то Q», и «Если Q, то R» не сле­дует заключение «Если Р, то R», т. е. возможен случай, когда обе посылки истинны, а заключение ложно. Но предложение «Если Р, то R» ложно только в одном случае, когда «Р» = И и «R» = Л. В этом случае, так как «R» = Л, а «Если Q, то R» должно быть истин­ным, то «Q» = Л; так как «Если Р, то Q» истинно, то и «Р» = Л. Итак, мы получили противоречие («Р» = И, «Я» = Л). Значит, наше предположение, что заключение «Если Р, то R» не следует из посылок «Если Р, то Q» и «Если Q, то R», неверно и правило силлогизма обо­сновано. Это означает, что всякое рассуждение, построенное по этому правилу (по этой схеме), правильно, т. е. не может привести от истин­ных посылок к ложному заключению.

С помощью уже имеющихся у нас правил вывода (ПЗ, ВК, ПС) можно записать и полную форму доказательства II:

Как видим, два различных способа доказательства (I и II) свой­ства диагоналей прямоугольника в развернутой полной, форме имеют примерно одинаковую длину доказательства.

3.2. Мы показали одну из возможных методик выявления и разъ­яснения простейших схем дедуктивных рассуждений (правил вывода) с помощью логического анализа доказательств.

Логический анализ проводится по трехступенчатой схеме: 1) свер­нутое содержательное доказательство записывается в виде последовательности предложений (в этой записи обычно отсутствуют первые посылки рассуждений, из которых складывается доказательство, т. е. следствия из определений, аксиомы, р. д. т., условия доказывае­мой теоремы, которые подразумеваются); 2) полученная последова­тельность предложений дополняется не высказанными явно посыл­ками; 3) выясняется, какие правила вывода нужны, чтобы можно было утверждать, что доказываемое предложение доказано.

Таким же способом можно разъяснить и другие широко применяе­мые (в неявном виде) правила вывода:

И некоторые другие.

ПК и СА широко применяются в косвенных доказательствах (о которых пойдет речь дальше). В правиле сведения к абсурду «Г» обо­значает некоторый список посылок, который, в частности, может оказаться и пустым, а «» — следование.

Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний.

В этом убеждает большое число ошибочных рассуждений, допу­скаемых учащимися в результате обучения, пренебрегающего этим условием. Необходимо учить не только правильно строить дедуктив­ные рассуждения, но и распознавать неправильно построенные. Это имеет не менее важное образовательное и воспитательное значение.

Например, ученик следующим образом «доказал», что числа 14 и 15 взаимно простые:

Логический анализ этого рассуждения позволяет представить его в виде цепочки из двух рассуждений, т. е. такой последовательности из двух рассуждений, что заключение первого является посылкой во втором:

II. «Если14 и 15 — взаимно простые числа, то НОД (14, 15)= 1,

Рассуждение I правильно. Оно построено по правилу конкретиза­ции:

(в посылке этого рассуждения подразумеваются кванторы общности по переменным а и Ь).

Рассуждение же II, построенное по схеме:

Легко показать, что так рассуждать нельзя (при «Л» = Л и «В» = И обе посылки истинны, а заключение ложно).

С помощью таких «рассуждений» (т. е. рассуждений, построенных по такой схеме) можно доказать что угодно, в том числе, что произволь­ный четырехугольник — параллелограмм («Если ABCD — парал­лелограмм, то ABCD — четырехугольник; ABCD — четырехуголь­ник; следовательно, ABCD — параллелограмм»), что произвольное дерево — береза («Если это — береза, то это — дерево; это — де­рево; следовательно, это — береза») и что в аудитории сидят мед­веди («Если в аудитории сидят медведи, то в аудитории сидят живые существа; в аудиторий сидят живые существа; следовательно, в ауди­тории сидят медведи») и т. д.

3.3. В математике и в обучении математике часто используются различные варианты косвенного доказательства (известного из школь­ного курса под не совсем удачным названием доказательства способом «от противного»).

Рассмотрим логические основы косвенного доказательства.

Косвенное доказательство некоторой теоремы Т состоит в том, что исходят из отрицания Т, называемого допущением косвенного дока­зательства (ДКД), и выводят из него ложное заключение примене­нием (чаще всего неявно) правила сведения к абсурду (СА).

Отрицание «Т» доказываемого предложения «Т» присоединяется к посылкам и устанавливается (с помощью доказательства) следова­ние

«Г, => , где Г => А».

По свойствам следования (так как Г => А) имеем также

«Г, =>

Но из «Г, => и «Г, => (по правилу СА) получаем «Г=>», или «Г=>Т», т. е «Т» — теорема (теорема доказана). Часто косвенное Доказательство доводят до получения противоречия, т. е. конъюнкции вида «Л и Л», при этом доказательство завершается утвержде­нием «полученное противоречие доказывает теорему».

Выясним точный смысл этих слов (что значит «противоречие до--казывает теорему»).

Установлено следование

и так как заключениеложно, то по крайней мере одна из посылок ложна (если все посылки истинны, заключение не может быть ложным). Но все посылки из «Г» истинны. Следовательно, ложна посылка «Т», а значит, «Т» истинно, т. е. теорема доказана.

Так как в школьном обучении доказываемое предложение очень часто представляется в виде импликации, «Т»: «Если Л, то В», то ДКД в таком случае будет: «Неверно, что если Л, то В», или равно­сильное предложение

Из посылок Г, Л и В нужно вывести противоречие, или получить в качестве следствия предложение, являющееся отрицанием известного истинного предложения.

Приведем пример анализа косвенного доказательства.

Пусть а, Ь, с — различные прямые на плоскости и требуется до­казать предложение «Т»:

Из ДКД (по правилу удаления конъюнкции — УК) получаем:

По определению параллельных прямых получаем:

Из (4) и (5) по ПЗ получаем:

Из (3) и (6) по ВК:

Но по аксиоме параллельных (принадлежащей множеству посылок Г) неверно, что

Итак, мы установили следование

т. е. из наших допущений вывели противоречие «(7) и (8)», которое и доказывает теорему.

Одна из наиболее простых форм косвенного доказательства осно­вана на использовании контрапозиции, т. е. вместо того чтобы до­казать теорему «Если А, то В» доказывают равносильное предложе­ние «Если , то ». Например, вместо того чтобы доказать предло­жение «Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых а и b секущей, равны, то прямые а и b параллельны», доказы­вают равносильное предложение (контрапозицию): «Если прямые а и b (на плоскости) не параллельны, то накрест лежащие углы, об­разованные при пересечении этих прямых секущей, не равны».

Имеется ряд специальных форм косвенного доказательства. Рас­смотрим часто встречающуюся в практике доказательства форму, из­вестную под названием доказательства методом исключения.

Допустим, что нам нужно доказать предложение «Если Р, то Q₁», т. е. установить, что «Г, Р Q₁».

Наряду с заключением «Q₁» рассматриваются все остальные воз­можности («Q₂», «Q₃».. «Q_n»).т.е. такие, что

т. е. является аксиомой, определением, ранее доказанной теоремой или следствием из них. Затем доказывают, что каждая из остальных возможностей «Q₂», ..., «Q_n» ведет к противоречию и, таким образом, получают ₂ и ₃ и ..., и _n или равносильное предложение «Неверно, что Q₂ или Q₃ или ... или Q_n».

Из «Q₁ или Q₂ или Q₃ или ... или Q_n» и «Неверно, что Q₂ или Q₃ или ... или Q_n»,

применяя правило удаления дизъюнкции (УД из «A или В» и «» следует «A»), получаем «Q₁».

В качестве иллюстрации проведем логический анализ доказатель­ства методом исключения теоремы: «Если любая плоскость, пересе­кающая прямую а, пересекает и прямую Ь, то эти прямые парал­лельны».

Требуется установить следование:

Обозначает предложение «Плоскость пересекает прямую а»). Исходим из предложения

Принадлежащего Г(обозначает отношение скрещивания прямых).

Допущение (достаточно провести произвольную плоскость а через Ь, отличную от плоскости, определяемой пересекающимися прямыми а, Ь) или, так как

получаем:

«Если Q₂, то Р» и «Р» по ПО (правилу отрицания: из «Если А, то В» и следует ) получаем:

Аналогично допущениеприводит к

(4)

(достаточно через b и какую-нибудь точку прямой а провести пло­скость).

Получаем из

(5)

Из (3) и (5) по ВК получаем Q₂ и Q₃, или равносильное предложе­ние неверно, что Q₂ или Q₃:

неверно, что а х b или а Ь.

Из (1) и (6) по УД получаем:

(6)

3.4. Метод математической индукции — специальный метод дока­зательства, применяемый к предложениям типа

(1)

(т. е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу) или

(2)

(любому натуральному числу, большему некоторого натурального числа k).

Так как непосредственная проверка наличия свойства «Р» у лю­бого натурального числа или у любого натурального числа, больше­го k, невозможна ввиду бесконечности множества N, то поступают следующим образом: устанавливают наличие этого свойства у числа 1, т. е. истинность предложения «P(1)», и доказывают, что из допуще­ния о наличии его у некоторого х следует наличие этого свойства и у непосредственно следующего числа х + 1. После этого заключают об истинности предложения (1) или (2), т. е. что свойством «Р» обла­дает любое натуральное число или любое натуральное число х > k.

Как видим, в этом рассуждении использовано правило вывода:

называемое правилом индукции.

Основой этого правила служит аксиома математической индукции, одна из аксиом, характеризующих структуру натурального ряда: «Если число 1 обладает свойством Р и для некоторого х из того, что число х обладает этим свойством, следует, что и непосредственно следующее за ним натуральное число х + 1 обладает им, то всякое натуральное число обладает свойством Р» (или: «Если число k обла­дает свойством Р и для произвольного х > k из того, что число x обладает этим свойством, следует, что и непосредственно следующее за ним натуральное число х + 1 обладает им, то всякое натуральное число, большее k, обладает свойством P»).

Проиллюстрируем метод математической индукции на простом (школьном) примере.

Пусть необходимо доказать предложение

Таким образом,

Подставив 1 вместо х в (1), получаем 1 =, т. е. «Р (1)»- истинное высказывание.

Пусть теперь (1) верно для произвольного х. Докажем, что (1) верно и для х + 1, т. е. что

Действительно,

Таким образом, мы доказали, чтопо правилу индукции заключаем об истинности предложения (1) для всякого

Общая схема доказательства методом математической индукции может быть представлена следующим образом:

1. «Р (1)» —устанавливается проверкой.

2. «Р (х) Р (х + 1)» — доказывается.

3. «Vx N Р (х)» — следует из (1) и (2) по правилу индукции.

3.5. В практике школьного обучения математике наиболее часто используется прямое доказательство. Мы указали выше (3.1), что в практике всегда применяют содержательные доказательства в свер­нутом виде. Мы также показали два примера обычных свернутых доказательств (теоремы о диагоналях прямоугольника), логическим анализом которых мы постепенно перешли к логически полным (раз­вернутым) доказательствам (этой теоремы). Далее (3.3) мы уточнили понятие косвенного доказательства.

Таким образом, уточненное (логически полное, содержательное) доказательство отличается от формального доказательства лишь ис­толкованием используемой логики. В первом случае используемые правила вывода интерпретируются как правила следования (уста­навливаемые на базе отношения семантического следования с при­менением истинностных значений). Во втором правила вывода никак не интерпретируются и устанавливаются на базе логических ак­сиом и исходных правил.

Сопоставим теперь логически полное доказательство с применяе­мым в практике свернутым доказательством для выявления основных различий между ними.

Так же как переход от свернутого доказательства к логически полному неоднозначен (последнее может строиться с использованием различных правил вывода), обратный переход (от логически полного к свернутому доказательству) является неоднозначным. Исходя из определенного логически полного доказательства некоторой теоремы, можно строить различные свернутые доказательства этой теоремы (т. е. полное доказательство можно по-разному свертывать). Этим (свернутым) доказательствам, отличающимся числом пропущенных шагов, иногда приписывают различные уровни строгости. Можно говорить, по-видимому, и о наиболее высоком, допустимом для дан­ного этапа обучения уровне (исходя из возможностей учащихся). Как видим, понятие уровня строгости доказательства носит в какой-то мере прагматический характер, отражая отношение между до­казательством и тем, кто его ищет, строит, усваивает. Если доказа­тельство находится ниже некоторого «граничного снизу» уровня стро­гости, оно по существу перестает быть доказательством и только такое «доказательство» можно назвать «нестрогим». Таким образом, нестро­гое доказательство это не доказательство. Вопрос же об уровнях стро­гости доказательств, адекватных различным этапам обучения, есть важная психолого-педагогическая задача. Дело в том, что даже не­большое повышение этого уровня (разумеется, без достижения какой-то абсолютной логической полноты и строгости, недостижимой в применяемых доказательствах) приводит к значительному услож­нению доказательства, делая его непонятным для учащихся.

Не отрицая методических достоинств известных учебников А. П. Киселева, нельзя не отметить, что один из их существенных недостатков состоял в том, что уровень строгости доказательств в этих учебниках был примерно одинаков в VI и IX классах, был порою слишком высок и недоступен для шестиклассников и слишком низок для девятиклассников.

Многолетней практикой установлено, а психологией обосновано, что уровень строгости доказательств должен быть адекватен возраст­ным возможностям учащихся. Школьный учебник и методика преподавания должны разрабатываться с учетом этого психологического фактора. Нельзя ожидать результата процесса до того, как сформи­рован сам этот процесс. Процесс доказательства — сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным структурам. Этому должны соответствовать и постепенное усложнение структуры доказательства, постепенное повышение его уровня строгости. Таковы закономерности мышления, обусловливаю­щие и закономерности обучения.

3.6. Мы говорили выше (3.1—3.4) о доказательстве как о готовой конструкции. Однако обучение доказательству — педагогическая про­блема, включающая не только анализ готовых доказательств. Это прежде всего проблема обучения поиску доказательства и его корректному построению. Задача состоит не в том, чтобы учащиеся заучили отдельные готовые доказательства (изложенные в учебнике и объясненные учителем на уроке), а в том, чтобы научить их доказывать. Если иметь в виду, что доказывать означает рассуждать, то нетрудно оценить значение этой задачи, ее решение в процессе обучения математике.

Учитывая роль доказательств в математике (один известный ма­тематик говорил, что «доказательство в математике не все, но без него в ней нет ничего») и в усвоении математических знаний, методы обу­чения доказательству уместно отнести к методам обучения математике (гл. IV).

Задача «доказать предложение: ...» принадлежит одному из важ­нейших классов нестандартных задач, а вопрос о поиске доказатель­ства — частный случай общего вопроса поиска решения задач. Мето­дическое решение этого вопроса — существенный элемент методики развития творческого мышления учащихся. Этот вопрос рассматри­вается в следующей главе.