§ 4. Общие методы обучения решению математических задач

4.1. Анализ и синтез при решении задач. Анализ и синтез находят широкое применение при решении математических задач. Напомним, что анализ — это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез — метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи (см. гл. IV).

Анализ и синтез находят применение практически при решении каждого вида задач, каждой задачи.

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

Задача 1. Шар касается всех трех боко­вых граней треугольной пирамиды в точках пересечения их биссектрис. Докажите, что пирамида правильная.

Анализ. Чтобы доказать, что пирами­да правильная, достаточно доказать, что в основании ее правильный треугольник ( рис. 33), а боковые грани — равнобедрен­ные равные треугольники. Для доказательства первого предложения достаточно установить, что АС = АВ = ВС, а это в свою очередь необходимое условие того, что

Чтобы доказать эти отношения, достаточно воспользоваться признаком равенства треугольников по сторо­не (боковому ребру пирамиды) и двум прилежащим к ней углам (поло­винам углов, прилежащих к этим ребрам, так как шар касается гра­ней в точках пересечения их биссектрис). Иначе говоря, достаточно до­казать, что

Последнее верно, так как (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности). Анализ выполнен. Если строго установить достаточность каждого из после­дующих предложений для предшествующего ему, доказательство можно считать выполненным. В приведенном же виде анализ лишь намечает путь доказательства.

Синтез. Пусть— точки пересечения биссектрис соответственно Имеем: плоскость (SDE) пересекает заданный шар по некоторому кругу. Аналогично плоскость пересекает этот шар по другому кругу.

Отрезки касательных, проведенные из общей точки к окружности, равны.

По трем сторонам (см. 1), SC — общая сторона этих треугольников.

Углы в равных треугольниках, лежащие против их равных сторон, равны.

Из отношений 3: биссектрисы соответственно

По стороне SC и прилежащим к ней углам (см. 4).

В равных треугольниках против равных углов (см. 4) лежат равные стороны.

Аналогично, из предложения (или следует, что ВС = АВ (или АС = АВ) и AS = CS (или BS = CS). По свойству транзитивности отношения равенства АС = ВС = АВ и правильный (по определению); AS — BS — CS, т. е. боковые грани пирами­ды — равные равнобедренные треугольники. Таким образом, пира­мида правильная, что и требовалось доказать.

2) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь названы математические задачи, в которых входная информация содержи не только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи).

При решении текстовых задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.

Задача 2. Большая комната имеет длинум и ширину

4 м, а меньшая — длину 4 м и ширинуНа сколько площадь одной из них больше площади другой?

Анализ. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо вычислить разность площадей комнат, а для этого надо знать площадь каждой комнаты. Площадь же комнаты равна произведению ее длины и ши­рины. План задачи: найти площадь каждой из комнат и из большей вычесть меньшую.

Синтез. 1-й способ. 1) Какова площадь большей комнаты?

2) Какова площадь меньшей комнаты?

3) На сколько площадь первой комнаты больше площади второй комнаты?

2-й способ. Площадь большей комнаты площадь меньшей их разность (составили выражение, затем вычислили его значение).

Очевидно, 2-й способ синтетического решения более удобен, так как применение распределительного закона умножения (по отноше­нию к сложению) значительно упрощает вычисления. . При решении текстовых задач алгебры (это обычно задачи на со­ставление уравнений, их систем, неравенств и их систем, систем уравнений и неравенств) применением только анализа или только синтеза практически обойтись не удается. Дело в том, что при со­ставлении уравнения (системы уравнений, неравенства и т. д.) чаще всего идут от искомых (введенное переменное) к данным, т. е. приме­няют анализ. Решение уравнения (системы уравнений и др.) выпол­няется методом синтеза.

3 а д а ч а 3. Теплоход прошел за 15 ч движения против течения такое же расстояние, какое он проходит за 13 ч движения по течению реки. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 70 км/ч.

Анализ. Для вычисления скорости течения реки достаточно знать собственную скорость теплохода (70 км/ч) и скорость движения его по течению или против течения реки. Если скорость течения реки v км/ч, то скорость движения по течению (70 + v) км/ч, а против те­чения (70 — v) км/ч. Выразив с учетом времени движения пройден Ное теплоходом расстояние, составим уравнение, т. е. придем к дан­ным задачи —равенству расстояний, пройденных при движении по течению и против него.

Аналогично применяются анализ и синтез при решении тексто­вых задач начал анализа (к ним можно отнести текстовые задачи на отыскание наибольших и наименьших значений, на составление и решение дифференциальных уравнений и др.).

3 а д а ч а 4. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от бли­жайшей точки шоссе. С буровой надо отправить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в 15 rм от упомянутой точки шоссе (считаем шоссе прямой линией). Если курьер на велосипеде проез­жал по полю со скоростью 8 км/ч, а по шоссе — 10 км/ч, то к какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь насе­ленного пункта?

Анализ. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно соста­вить функцию, характеризующую движения курьера в зависимости от того, к какой точке шоссе он поедет. Это время движения — сумма времени движения курьера по полю и по шоссе. Каждое из слагае­мых есть отношение расстояния, которое проезжает курьер (по полю ВА и отдельно по шоссе АН), и соответствую­щей скорости движения (рис. 34). Удобней вы­брать в качестве основной переменной расстоя­ние МА ~ х (если обозначить АН = х, то менее удобно для иссле­дования, чем Выражая через х и заданные постоянные другие переменные за­дачи, составляем функцию для исследования:

Синтез. При нашем выборе переменной имеем:Найдем производную функции и ее стационарные точки (Выкладки опущены.) Для отыскания наименьшего значения достаточно вычислить и сравнитьf (0).

Следовательно, курьер должен подъехать к точке л, расположен­ной в 12 км от точки М и в 3 км от точки Н — пункта назначения. 3) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии.

Анализ и синтез применяются и при решении задач на построение в геометрии, иначе, конструктивных задач геометрии. Как известно, решение этих задач выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство, исследование. Название первой части — анализ говорит само за себя: это действительно метод анализа, веду­щий от искомых («предположим, что искомая фигура построена») к данным, точнее, к их использованию в построении. При анализе намечается план построения, которое выполняется синтетическим путем. При доказательстве возможно использование как анализа, так и синтеза, но чаще применяется последний. Исследование пред­полагает преимущественное применение метода анализа.

Задача 5. Даны прямая симметричные относительно нее точкии точка В. С помощью одной линейки постройте точку , симметричную точке В относительно прямой

Анализ. Предположим, что задача решена и искомая точка построена (рис. 35), т. е. По условию

Чтобы построить точкудостаточно построить две прямые, пере­сечением которых она является. Эти прямые можно выбрать так:

Чтобыпостроить эти прямые, достаточно найти точки пересечения АВ и (это точкаи (точка). Теперь

План построения составлен, все построения возможно выполнить одной линейкой.

Построение (синтез).С помощью линейки строими АВ, находим точки строим и — точка их пересечения.

Доказательство (синтез).поэтому

(как точки пересечения двух пар симметричных относительно а пря­мых).

Исследование (анализ). Мы исходим из того, что прямые АВ иимеют единственную общую точку. Каким может быть еще распо­ложение прямых АВ и Это пря­мые одной плоскости, поэтому они

или имеют только одну общую точку, или па­раллельны. Во втором случае предложенное вы­ше построение выполнить нельзя, так как Решение задачи сводится к предыдущему случаю, стоит лишь взять произ­вольную точку Строится при данных а затем решается задача для точек как и в первом случае.

Допустим и тот вариант, когда точка В ле­жит на оси симметрииРешение тривиально,

Задача 6. Через данную прямуюпроведите плоскость, па­раллельную другой данной прямой

Анализ. Для построения плоскости такой, чтобы идостаточно, чтобы эта плоскость проходила через прямую, параллельную прямойНо эта же плоскость должна проходить и через данную прямуют. е. достаточно построить

Построение. На прямой(рис. 36) выбираем произволь­ную точку А, в плоскостистроим прямую Плоскостьи должна быть искомой.

Доказательство.поэтомуНо

Исследование. Построение зависит от взаимного располо­жения прямых а и b в пространстве. Возможны три случая.

1) Прямые а и b скрещивающиесяИз приведенного выше построения следует единственность решения. Действительно, какова бы ни быласуществует единственная прямая с такая, что

Все множество таких прямых образует единствен­ную плоскость, которая обладает свойствами

2) Любая плоскость, содержащая а, будет удовлетворять условию задачи.

3) Задача имеет единственное решение:

4.2. Другие общие методы решения задач. Рассмотренные в пре­дыдущих пунктах анализ и синтез являются самыми общими мето­дами решения задач. Ниже излагаются также общие методы решения задач, которые имеют более ограниченное применение.

Один из них — метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление всех логических возможностей и отбор из них таких, которые удовлетворяют условию задачи. Если логических воз­можностей, соответствующих условию задачи, — конечное число, то может оказаться возможным перебрать все их и в ходе этого пере­бора выделить вполне удовлетворяющие условию. С помощью этого приема решаются, в частности, некоторые элементарные задачи тео­ретико-числового содержания.

Пример 1. Найдите все четырехзначные числа, удовлетво­ряющие двум условиям: сумма цифр числа равна 11, само число де­лится на 11.

Решение. Пусть искомое число Можно составить систему уравнений:

Второе уравнение, этой системы выражает делимость искомого числа на 11. Суммируя уравнения системы, получим уравнение 2 (а + с) = = 11 (k + 1), в котором Действительно, разность

в левой части второго уравнения не может быть меньше —11 и боль­ше 11 (сумма цифр равна 11). Применяем метод исчерпывающих проб:

что противоречит условию (число четырехзначное, чего не может быть: левая часть делится, а правая — не делится на 2. k = 1 2(а+ с)₂₂ а + с = 11, b = 0, d = 0, значения и с на­ходятся опять методом исчерпывающих проб и могут быть представ­лены в таблице

Методом исчерпывающих проб с большим успехом можно поль­зоваться и для решения многих логических задач. Развитием указан­ного приема служат некоторые методы решения в целых или рацио­нальных числах неопределенных уравнений, и в частности хорошо известный метод рассеивания.

Второй метод — это метод сведения. Суть его состоит в том, что данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся таким образом цепочки преобразований мо­жет быть состояние, простое рассмотрение которого дает требуемый результат. Если, например, нужно решить уравнение, то обычно со­ставляют такую конечную последовательность уравнений, эквива­лентных данному, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Точно так же поступают при решении систем уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Решение задач на доказательство очень часто представляет собой цепочки тож­дественных преобразований, тянущиеся от левой части доказываемых тождеств к правой, или наоборот, или от левой и правой частей к од­ному и тому же выражению. Конечно, указанное сведение нужно понимать и как выведение, как конечную последовательность, веду­щую от искомых к данным. Этот метод наиболее часто применяется в тех случаях, в которых заданное отношение обладает свойством транзитивности. Таковы отношения эквивалентности (равенства, уравнения, тождества, логическая равносильность, параллельность) и порядка (строгие и нестрогие неравенства, включение множеств, логическое следование).

Пример 2. Докажите, что

Решение. Преобразуем левую часть неравенства:

По свойству транзитивности тождеств и неравенств—2а++ 3 > 0, что и требовалось доказать.

Прием «сведения» лежит в основе решения геометрических задач на построение. В каждой задаче этого вида содержится требование: исходя из данных фигур (или данных их элементов), с помощью ука­занных конструктивных элементов построить фигуру, удовлетворяю­щую определенным условиям. Это означает, что требуемое построение должно быть сведено к так называемым элементарным построениям, выполняемым реальными инструментами.

Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым задачам.

Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее дока­занным теоремам и ранее введенным аксиомам и определениям дан­ной научной области. Доказать — это значит свести новую теорему (задачу) в конечном счете к аксиомам.

Третий метод решения задач имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы нера­венств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фи­гуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы и т. д.

Математическое моделирование находит применение при решении многих текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является ее алгебраической (аналити­ческой) моделью. Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и искомыми тоже является геомет­рической моделью задачи. Но нередко решению задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов, заданных в задаче, и др.).

Пример 3. Если каждому ученику в классе раздать по 2 кон­феты, то 17 конфет останется. Если же раздать по 3 конфеты, то двум ученикам конфет не достанется. Сколько имеется конфет и сколько учеников в классе?

Эту задачу можно решать, составляя систему двух линейных уравнений (начиная с VI класса). Но эту же задачу могут решить ученики начальной школы, если составить ее предметную модель (рис. 37).

На модели видно: чтобы первые ученики, имеющие по 2 конфеты, по­лучили по 3 конфеты, надо раздать 17 оставшихся конфет и еще 4 кон­феты (двум ученикам конфет не хва­тило), т. е. раздать дополнительно 21 конфету. Следовательно, в классе 23 ученика, а конфет было 21 • 3 = 63. Особую роль в курсе математики средней школы играет графическое моделирование: математическими мо­делями служат диаграммы, графики функций, графические интерпрета­ции уравнений, неравенств, графы и т. д. Графическая модель очень час­то позволяет найти путь решения за­дачи.

Пример 4. Артели косцов на­до было скосить два луга, один вдвое более другого. Половину дня вся артель косила большой луг. После полудня половина артели осталась на большом лугу и к вечеру докоси­ла его до конца. Вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом, проработавшим целый день. Сколько было косцов в артели? Предпо­лагается, что полдень делит рабочий день на две равные части, а производительность всех косцов одинакова.

Решение. Обозначим число косцов х. Условие задачи изобра­жено на диаграмме (рис. 38). С помощью этой диаграммы легко со­ставляется уравнение 0,5x + 2 = 0,5 • 1,5х, откуда х = 8. (В ли­тературе эта задача встречается под названием «задача Л. Н. Тол­стого».)

Большое практическое значение имеют методы нахождения при­ближенных значений искомых величин.

Все графические приемы решения задач на вычисление дают при­ближенные решения. Но приближенные решения могут получаться и с помощью численных методов (например, при решении квадратных уравнений по формулам их корней).

В геометрии используются приближенные методы построения. Примерами их служат спрямление окружности, построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление угла на равные части и т. д.

Таковы основные приемы решения задач по курсу математики средней школы. Остается подчеркнуть, что в практике решения задач они часто комбинируются.

Одна из основных целей решения задач в школьном курсе мате­матики и состоит в том, чтобы обеспечить действенное усвоение каж­дым учеником основных методов и приемов решения учебных матема­тических задач.

4.3. Общие советы учителя ученику при решении задач. Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учи­теля — помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Однако помощь учителя не должна быть чрезмер­ной. Если учитель много будет помогать ученику, на долю послед­него ничего не останется или останется слишком мало работы по при­обретению опыта решения задач. Так ученик не научится решать задачи. Если же помощь учителя будет мала, ученик также может не научиться решать задачи.

Учитель должен помогать ученику путем советов, как решать задачу, или вопросов, отвечая на которые ученик успешнее решит задачу. Иногда учитель разыгрывает решение задачи, сам задавая вопросы и сам же отвечая на них. Ученики подражают ему в этом, постепенно приучаясь решать задачи. Но такой вариант обучения требует большей затраты времени и не всегда приводит к хорошим результатам. Можно сказать, что механическое подражание не метод обучения решению задач. Нужны вопросы и советы учителя учени­ку, вызывающие и развивающие мыслительную деятельность школь­ников, помогающие развивать творческий подход к решению задач.

Такие вопросы и советы должны обладать общностью для различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную задачу в отдельности. В то же время вопросы и советы должны быть естественны и просты, должны иметь своим источником простой здравый смысл. Они долж­ны оказывать ученику действенную, но не назойливую помощь.

Но одних вопросов и советов учителя ученику недостаточно для обучения решению задач. Нельзя забывать, что «умение решать за­дачи есть искусство, приобретаемое практикой» [17].

Вопросы и советы ученику условно можно подразделить на четыре группы. Это подразделение вопросов, вообще говоря, не является категоричным. Может оказаться, что вопросы, рекомендуемые для первого этапа, окажут помощь и на втором этапе, а рекомендуемые для второго этапа — на третьем и т. п. Дело в том, что этапы реше­ния задачи не могут быть строго изолированы один от другого, между ними существует определенная связь, в их единстве заключается процесс решения задачи.

Далее формулируются и поясняются вопросы и советы учителя ученику, предлагаемые на каждом этапе решения задачи.

1) Вопросы и советы для усвоения содержания задачи (1-й этап).

Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предше­ствовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала сле­дует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство — посылки и заключения.

Пример 1. Выведите формулу для вычисления длины диаго­нали прямоугольного параллелепипеда по известным длинам его ребер.

Выделим данные и искомые. В задаче даны прямоугольный параллелепипед и длины его ребер. Искомой является формула для вычисления длины его диагонали.

Пример 2. Упростить выражение

«Понять задачу» в этом примере можно, лишь выяснив данный порядок операций (прежде выполняются операции в скобках, потом преобразуется произведение второй дроби и результата в скобках). Полезно до выполнения преобразований устанавливать особенности данного выражения.

в) Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать уче­ник).

г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозна­чены, надо ввести подходящие обозначения. В примере 1 надо обо­значить измерения параллелепипеда: пусть а — длина, Ь — ширина, с — высота параллелепипеда. При решении текстовых задач алгебры и начал анализа вводят обозначения искомых или других перемен­ных, принятых за искомые.

д) Уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания за­дания, полезно попытаться ответить на вопрос: «Возможно ли удов­летворить условию?» Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать. В примере 1 ясно, что задача имеет смысл, так как дан прямоугольный параллелепипед, значит, одно­значно определена и его диагональ, стало быть, можно найти способ вычисления длины диагонали. В примере 2 неясно сразу, возможно ли упростить это выражение, т. е. получим ли после преобразований выражение, имеющее более простой вид.

Отвечая на вопрос: «Возможно ли удовлетворить условию?», по­лезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно вы­ясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

2) Составление плана решения задачи (2-й этап). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти га­рантирует правильное ее решение. Но составление плана может ока­заться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необхо­димо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогаю­щие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, «открыть» идею ее решения:

а) Известна ли решающему какая-либо родственная за­дача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затрудни­тельным. Так, в примере 1, рассмотренном выше, родственной зада­чей является задача о диагонали прямоугольника.

Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.

б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой мож­но свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Так, в примере 1 задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника (рис. 39).

в) Может оказаться, что родственная за­дача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо извест­ной. План же сразу составить не удается.

Стоит воспользоваться советом: «Попытайтесь сформулировать зада­чу иначе». Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.

Пример 3. Докажите, что для любых натуральных значений n выражениеимеет четное числовое значение.

Если формулировка задачи не подсказывает путь решения, можно переформулировать задачу: «Докажите, что выражение можно раз­ложить на множители, из которых хотя бы один (при натуральных числовых значенияхделится на два».

При переформулировании задачи пользуются либо определения­ми данных в ней математических понятий (заменяют термины их оп­ределениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность учащегося переформули­ровать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачи.

Некоторые авторы относят к переформулировке задачи и перевод ее на язык математики, т. е. язык алгебры, геометрии или анализа. Это, скорее, формализация задачи, «математизация» ее. К такому приему и приходится часто прибегать при решении многих текстовых задач.

г) Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: «Все ли данные задачи использованы?» Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

д) При составлении плана задачи иногда бывает полезно следо­вать совету: «Попытайтесь преобразовать искомые или данные». Часто преобразование искомых или данных способствует более бы­строму составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные — так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.

е) Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: «Попробуйте решить лишь часть зада­чи», т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.

Пример 4. В данный треугольник впи­шите квадрат так, чтобы две вершины его ле­жали по одной на двух сторонах треугольника, а две другие вершины квадрата лежали на третьей стороне треугольника.

Попробуем удовлетворить сначала части условий задачи: построим треугольник и впишем в него квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треуголь­ника, а третья— на другой (рис. 40).

Таких квадратов можно построить бесконечно много. Очевидно, что все эти квадраты будут гомотетичны с центром гомотетии в вер­шине А треугольника (в выбранном нами варианте). Следовательно, четвертая вершина должна лежать на пересечении прямой, проходя­щей через точку А и вершину построенного квадрата, и стороны ВС данного треугольника. План решения задачи очевиден.

Совет: «Попробуйте решить лишь часть задачи» — можно расши­рить, развить до совета: «Расчлените задачу на более простые задачи». Так поступают при решении текстовых задач арифметическим спосо­бом (при решении задач «по вопросам» ответ на каждый поставленный вопрос решает фактически одну простую задачу), при решении не­которых конструктивных задач геометрии, задач на составление си­стем уравнений и неравенств (для составления каждого уравнения или неравенства фактически решают одну из более простых задач, на которые расчленяется данная задача).

ж) Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: «Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?» Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель — воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Предполагаемый вариант рас­суждений — явное применение полной индукции. Итак, совет: «Рас­смотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для ка­кого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения».

Пример 5. Докажите, что сумма расстояний от любой внут­ренней точки М правильного треугольника до его сторон постоянна.

На рисунке 41 приведена схема рассуждений по индукции. Про­стейший частный случай, при котором задача решается тривиально, тот, когда точка М является вершиной треугольника: расстояния от двух сторон равны 0 (рис. 41, а). Более общий случай — точка М лежит на одной из сторон (рис. 41, б). Проведя получаем вспомогательный равносторонний в котором М — вершина.

Решение ясно из чертежа. И последний случай — точка М — произ­вольная точка внутри (рис. 41, б). Проведя через точку М сводим задачу к предыдущему случаю. План решения очевиден.

3) Реализация плана решения задачи (3-й этап). План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решаю­щий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:

а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

б) При реализации плана поможет и совет: «Замените термины и символы их определениями». Так, термин «параллелограмм» заменя­ется его определением: «Четырехугольник, у которого- противополож­ные стороны попарно параллельны», термин «предел числовой после­довательности» для доказательства, например, того предложения, что предел суммы двух последовательностей, имеющих пределы, равен сумме пределов этих последовательностей, можно заменить, и вполне успешно, его определением.

в) При решении некоторых задач помогает совет: «Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов».

Пример 6. Докажите, что в параллелограмме противополож­ные углы равны.

При решении можно исходить из определения параллелограмма (второй совет), а можно воспользоваться одним из его свойств, на­пример параллельностью и равенством двух противоположных сторон (третий совет).

4) Анализ и проверка правильности решения задачи (4-й этап). Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение резуль­тата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не оз­начает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящ­ный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису [3], задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) без­ошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. По­этому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи.

Итак, два совета: «Проверьте результат», «Проверьте ход решения».

Проверка результата может производиться различными способами.

Проверяя правильность хода решения,, мы тем самым убеждаемся и в

правильности результата. Значит, надо выполнить совет: «Проверьте все узловые пункты решения», еще раз убедитесь в истинности про­веденных рассуждений.

Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: «Нельзя ли тот же результат получить иначе?» Иными словами, стоит последовать совету: «Решите задачу другим способом». Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.

Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи, но, разумеется, не могут служить рецептом для реше­ния любой задачи. Эти советы, многие из которых сформулировал Д. Пойа [17], правильно ориентируют решающего задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают вероят­ность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же рецепта для решения любых задач попросту не сущест­вует.

5) От общих советов к частным. Начинать надо с общих вопросов, с общих советов, т. е. именно с тех, которые были приведены выше. Может оказаться, что. общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к част­ным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи.

Задавая более частные дополнительные вопросы, нужно учиты­вать следующее: вопросы должны быть такими, чтобы они направ­ляли мысль ученика в нужную сторону, заставляя его активно мыс­лить над решением задачи. Разумеется, предлагая вопросы ученикам, надо предоставить время на обдумывание ответов на эти вопросы.

6) Пример применения рекомендуемых советов и вопросов при решении задачи. Задач а. Три пункта А, В, С соединены прямо­линейными дорогами. К отрезку дороги АВ примыкает квадратное поле со стороной, длина которой равна половине длины АВ, к отрезку дороги ВС примыкает квадратное поле, длина стороны которого рав­на ВС, а к отрезку дороги АС примыкает прямоугольный участок леса длиной, равной АС, и шириной 4 км. Площадь леса на 20 км2 больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.

Усвоение содержания задачи. 1) Ознакомившись с задачей, начинаем работу над усвоением ее содержания.

2)Выделим данные: даны пункты А, В, С, поля площадью и лес площадью 4АС. Известно, что площадь леса на 20 больше суммы площадей полей.

Искомой является площадь леса, точнее, его длина АС.

3) Полезно выполнить чертеж (рис. 42). 4) Введем обозначения АВ=х, ВС = у, АС = z.

Последнее можно считать окон­чанием работы над усвоением со­держания задачи и началом состав­ления плана решения задачи.

Составление плана решения задачи. Мы уже установили часть связей между данными и искомыми. Теперь эту связь можно записать в виде уравнения

Если подобные задачи ранее не решались (нет возможности следовать первому совету), надо попытаться свести задачу к решенным ранее (выполнить второй совет). Но память не может быстро подсказать задачу, к которой можно было бы свести данную. Остается одно: попробовать свести решение задачи к решению уравнения (1).

При первом взгляде уравнение (1) кажется неопределенным (дей­ствительно, в нем 3 переменных), а задача — не имеющей решения. Однако не стоит спешить с выводами. Последуем четвертому совету и зададим себе вопрос: «Все ли данные задачи использованы?» Иными словами: «Не содержит ли условие задачи неявно заданных связей между искомыми и данными?»

Внимательное исследование условия («Распознать... объекты, ко­торые помогут решению задачи») позволяет установить еще связи между данными и искомыми: х, у, z — длины сторон треугольника ABC, они удовлетворяют аксиоме треугольника. Поэтому

Внимательное и вдумчивое рассмотрение этого неравенства по­зволяет «распознать» скрытые в нем квадраты двучленов. Итак, план решения составлен.

Реализация плана. Перенесем все переменные в одну (правую) часть неравенства, получим неположительный многочлен. Но

Так как сумма квадратов не может быть отрицательной, то получаем эквивалентное системе (2) уравнениеОтсюдаи или х — 8 и у — 2. Но тогда z = 10 из уравнения (1), а площадь леса 4 •10= = 40

Проверка решения.

1) Подстановкой в уравнение (1) устанавливается, что найденные зна­чения х, у, z являются его решением.

2) Можно вычислить площади заданных в условии квадратных полей и сравнить их с площадью леса:4AС = 20 = Последнее соответствует условию задачи.

3) Остается установить геометрический смысл результата. По­скольку х, у, z — длины сторон треугольника и х + у = z, то этот треугольник вырождается в отрезок прямой, т. е. точки (пункты) А, В, С-"лежат на одной прямой. Геометрическая иллюстрация усло­вия задачи в отличие от рисунка 42 должна быть следующей (рис. 43).

Начиная решать задачу, мы не могли выполнить такой чертеж, так как истинную связь переменных х, у, г выявили в процессе реше­ния задачи.