§ 3. Внеклассная и внешкольная работа по математике

Математические школы и факультативные занятия по математике призваны углублять математические знания школьников, уже опре­деливших основной круг своих учебных интересов. Однако в IV—VI и даже в VII—VIII классах интересы учащихся редко бывают настолько четкими и устойчивыми, чтобы они сами могли назвать их с полной определенностью. Учитывая, что потребность в специалистах, вла­деющих математикой, сейчас очень велика, необходимо формировать соответствующий интерес еще в школе.

На уроках математики имеется немало возможностей заинтере­совать школьников содержанием этой науки. Вместе с тем основная цель уроков все же состоит в обучении определенному комплексу процедур математического характера; занимательность изложения подчинена этой цели; развитие способностей учащихся происходит в рамках изучения обязательного материала.

Дополнительные возможности для развития способностей учащих­ся и привития им интереса к математике и ее приложениям предо­ставляют различные внеклассные и внешкольные формы занятий по математике. Они могут быть нацелены на развитие определенных сторон мышления и черт характера учащихся, иногда не преследуя в качестве основной цели расширения или углубления фактических знаний по математике. Такое расширение происходит как бы само собой, как результат возникшего интереса к предмету, воспитанной в ходе занятий настойчивости и как следствие обнаружившейся лег­кости математики.

Нередко участие во внеклассной работе по математике может явиться первым этапом углубленного изучения математики и приве­сти к выбору факультатива по математике, к поступлению в математи­ческий класс и т. д.

Ниже будет дана краткая характеристика тех форм внеклассной и внешкольной работы по математике, которые направлены в первую очередь на общее развитие учащихся. Поэтому вне рассмотрения останутся такие возможные формы работы, как, например, подготов­ка к вступительным экзаменам в вузы.

3.1. Виды и формы внеклассной и внешкольной работы. Существу­ют разнообразные формы внеклассной и внешкольной работы по ма­тематике, они весьма подробно освещены в многочисленной педаго­гической и методической литературе. Их можно систематизировать следующим образом: 1) внеклассная работа; 2) внешкольная работа; 3) заочная работа. Остановимся на их краткой характеристике.

1) Внеклассная работа. Она проводится учителем со своими уче­никами. Может быть использована одна или несколько конкретных форм: математический кружок; неделя или месячник математики; математические вечера, утренники; различные соревнования, игры, викторины, конкурсы, командные соревнования; школьные олимпиады по математике; школьная и классная математическая печать; клубы веселых математиков; математические экскурсии и киноэкскурсии; внеклассное чтение научно-популярной математической литературы; школьные научные конференции; подготовка учащимися докладов, рефератов и сочинений по математике, ее истории и приложениям; изготовление математических моделей; летние задания по матема­тике и др.

Указанные формы работы часто пересекаются, и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы в основном по какой-либо одной из них. Например, при проведении математиче­ского вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д.

Одной из распространенных форм внеклассной работы является математический кружок. Вопросы организации, содержания и ме­тодики его работы достаточно полно освещены в методической лите­ратуре. В ней можно найти рекомендации по построению занятий, перечень тематики и библиографию источников, домашние и творче­ские задания для участников кружка и т. д.

В работе математических кружков можно выделить два направ­ления. Первое в основном ориентировано на развитие мышления и формирование первоначального интереса к математике, второе — на углубление знаний по математике и параллельно с этим на даль­нейшую работу по развитию мышления. Первое направление являет­ся ведущим в начале работы кружка (IV—VI классы), второе — на последующих этапах (VII—VIII классы).

В работе математического кружка большое значение имеет зани­мательность материала и систематичность его изложения. Занима­тельность повышает интерес к предмету и способствует осмыслению важной идеи: математика окружает нас, она есть везде. Систематич­ность изложения материала может быть направлена на Общее умствен­ное развитие учащихся.

Каждая из форм внеклассной работы обладает своими особенно ценными качествами. Математические соревнования, например, при­влекательны тем, что участвовать в них стремятся почти все ученики. Это учитель может использовать как для повышения интереса к ма­тематике, так и для организации коллективной умственной деятель­ности учеников. Последнее мы считаем особенно существенным, по­скольку в изучении математики потребность в объединении усилий нескольких равноправных участников встречается нечасто.

При проведении соревнований участники разбиваются на команды, ведущие борьбу за скорейшее и более качественное выполнение зада­ния. Примеры заданий, ориентированных на коллективность выпол­нения:

Пример 1. Предъявляется модель, составленная из нескольких частей, например разборный кубик или геометрическая фигура. Затем обеим командам дается по комплекту деталей, из которых они должны эту модель как можно быстрее собрать. Как правило, выигры­вает та команда, участники которой смогут лучше соорганизоваться, эффективно объединят свои усилия. Перед началом соревнований учи­тель должен обратить внимание ребят на этот момент.

Пример 2. Учитель или заранее подготовленный ученик по­казывает фокус с угадыванием задуманного числа в пределах от 0 до 15. Достаточно сказать, в каких из четырех таблиц оно находится, и ведущий сразу называет его.

Для угадывания числа надо сложить первые числа из названных таблиц. Отгадка фокуса — в свойствах двоичной системы счисления. Полное обоснование сущности этого «фокуса» ученики IV—V классов, естественно, дать не смогут; здесь можно будет только отметить наиболее энергичную команду. Подводя итоги состязания, учитель может отметить, что для объяснения фокуса приходится использовать глубокие теоретические сведения о записи чисел; в связи с этим целе­сообразна небольшая беседа по истории этого вопроса.

Полезной формой внеклассной работы является также стенная математическая печать. Важно, чтобы она была действенной, т. е. содержащиеся в ней материалы использовались активно. Хорошо, когда часть материалов в газете представляет учебный интерес для всего класса (например, приводятся примерные варианты ближайшей проверочной работы); другая часть основывается на недавно прой­денном в классе материале, углубляя его в определенном отношении (например, приводятся сведения из истории или приложений), и, наконец, имеются занимательные задачи и задачи повышенной труд­ности; по которым систематически проводятся конкурсы решений.

Важное место во внеклассной работе по математике может занять изготовление учащимися различных моделей и наглядных пособий. Этот вид работы имеет большое воспитательное значение, кроме того, в процессе изготовления этих пособий учащиеся могут связать изуче­ние математики с выработкой трудовых навыков. Желательно, чтобы подготовленные модели и пособия использовались в учебном процессе.

Для учителя будет полезной книга Е. А. Дышинского «Игротека математического кружка», в которой приведены описания нескольких самодельных игр на математической основе.

Разнообразную информацию о внеклассной работе, освещение пере­дового опыта и некоторые материалы для ее проведения учитель может найти в соответствующих разделах журнала «Математика в школе».

2) Внешкольная работа. Формы внешкольной работы по мате­матике также весьма разнообразны: математические кружки при вузах и Домах пионеров; общества юных математиков; юношеские математи­ческие школы (ЮМШ), вечерние математические школы (ВМШ), лет­ние математические школы и лагеря; математические олимпиады — районные, городские, областные, республиканские, всесоюзные; рай­онные и городские научные конференции школьников, слеты юных математиков и др.

Внешкольная работа проводится, как правило, преподавателями и студентами вузов, сотрудниками управлений народного образования и отдельными энтузиастами. Она рассчитана в основном на ребят, уже увлеченных математикой. Задания, предлагаемые на внешколь­ных занятиях, обычно достаточно трудны и нередко посвящены поня­тиям и методам, выходящим за пределы школьного курса. Например, популярными темами внешкольных занятий являются углубленное изучение делимости целых чисел, принцип Дирихле, теория треуголь­ника. Нередко на занятиях рассматриваются и сложные, глубокие понятия современной математики, такие, как понятие алгоритма (в одной из своих строгих форм, например машины Тьюринга).

Далеко не каждый ученик, успешно справляющийся со школьным курсом, может быстро, сходу разобраться в таком материале. Поэтому застенчивым или чрезмерно самолюбивым ребятам приходится нелег­ко. Не всегда у них хватает решимости задать вопрос, попросить необходимой помощи. Учителю следует иметь это в виду и соответ­ствующим образом подготавливать тех учеников, которым он будет советовать посещать такие занятия.

В связи с тем что внешкольная работа ориентирована на ребят, проявивших свой интерес к математике, основная ее направленность несколько отличается от направленности внеклассной работы. Наряду с задачей развития мышления на материале математики здесь суще­ственно учитываются и задачи развития математических способностей и углубления знаний по математике. Как правило, внешкольная рабо­та по математике рассчитана на учащихся VI—X классов.

Одной из самых популярных форм внешкольной работы являются математические олимпиады. Вопросы их организации и проведения достаточно обстоятельно освещены в пособии для учителей [41]. В районных турах принимают участие ученики, успешно прошедшие школьные олимпиады, однако в целях повышения массовости допу­скаются все желающие. Как правило, ребята приносят с олимпиад условия предлагавшихся задач и обсуждают их в классе. Хорошо, если учитель примет участие в этом обсуждении. Возможно, не всегда он сможет найти путь к решению— некоторые из олимпиадных задач трудны для математика любого ранга, но можно высказать соображе­ния о решениях, предложенных ребятами. Полезно выпустить газету с задачами олимпиады и их решениями.

Ученики, специально готовившиеся к олимпиаде, выступят на ней успешнее. Имеются сборники олимпиадных задач, по которым можно организовать такую подготовку на кружковых или индиви­дуальных занятиях.

3) Заочная работа. Заочная работа со школьниками по матема­тике в настоящее время не является столь массовой, как внеклассная

и внешкольная. Формы ее проведения также менее разнообразны: за­очные математические школы; заочные олимпиады; конкурсы по ре­шению задач. Конкурсы по решению задач повышенной трудности систематически проводятся журналами «Математика в школе», «Квант», республиканскими научно-методическими журналами; по занима­тельной и популярной математике — некоторыми детскими и научно-популярными журналами («Пионер», «Мурзилка», «Наука и жизнь» и др.); проводятся также телевизионные конкурсы.

В заочной работе предусматривается обратная связь с ее участ­никами — их ответы рецензируются и рассылаются обратно. В заоч­ных математических школах имеется целая система заданий, рассчи­танных на систематическое выполнение. Школьники могут участво­вать в заочной работе без каких-либо контактов со своим учителем математики. Вместе с тем учитель может найти в материалах для заочной работы немало полезного для повышения интереса учащихся к математике и для ведения внеклассной работы.

Это касается прежде всего задачного материала, собранного на страницах соответствующих рубрик журналов. Нередко задачи, предлагаемые в одном номере журнала, посвящены развертыванию какой-либо темы (например, симметрии, алгоритмов, классификации; последняя тема особенно характерна для раздела «Психологический практикум» в журнале «Наука и жизнь»), тогда соответствующий ма­териал можно положить в основу занятия кружка.

Учитель может поощрять учеников к ведению индивидуальной работы по математике, обращая их внимание на появляющиеся в до­ступных им изданиях интересные задачи, статьи.

3.2. Некоторые типы заданий для развития мышления. Развитие мышления учащихся — одна из ведущих целей внеклассной работы по математике. Систему внеклассной работы, особенно в IV—V клас­сах, следует строить с учетом активизации мышления школьников. Ряд приемов мыслительной деятельности удобно развивать на мате­риале математики (классификация, нахождение и исполнение алгорит­мов, поиск закономерности и т. д., см [11]).

Каждый такой прием может стать идейной основой одного или нескольких занятий, а система таких приемов — стержнем всей дея­тельности кружка. Подобную организацию кружковых занятий мож­но найти в [24], много полезного содержат книги Д. Пойа «Матема­тика и правдоподобные рассуждения» и «Математическое открытие». В условиях кружковой работы приемы, о которых мы говорим, по­являются в развитии, выделении из сложной, занимательной ситуа­ции, где с первого взгляда нет никаких оснований для применения математики. В таких ситуациях можно показать прикладной аспект этой науки.

В определенной мере то, о чем здесь говорилось, имеет отноше­ние и к внешкольной работе. Однако здесь, как правило, есть основа­ния предполагать большую заинтересованность ребят математикой и сформированность их интересов.

Приведем примеры заданий, направленных на активизацию мысли­тельных действий и связанных с ними математических понятий.

Пример 1. Нахождение одного или нескольких признаков, ко­торыми одна группа предметов отличается от другой. Этот тип заданий характерен для одной из новых областей кибернетики — теории рас­познавания образов. Он связан с операцией классификации. Вот одно из многочисленных конкретных заданий, развивающих навыки клас­сификации: указать, каким свойством левая группа картинок отлича­ется от правой (рис. 82).

После разбора одной или нескольких занимательных задач можно привести некоторые сведения о классификации при изучении матема­тики в школе (классификация треугольников, дробей и т. д.). Если тема «Классификация» включается в программу занятий кружка в VII или VIII классе, можно использовать и достаточно серьезные тео­ретические сведения, например о связи классификации с понятием отношения, о классификации целых чисел по свойству делимости на фиксированное число (арифметика остатков) и др.

Пример 2. Построение объекта по исходным данным и описа­нию допустимых действий. Этот тип заданий связан с понятием алго­ритма. Он реализуется во многих математических играх, например «Крестики и нолики», игра «15», «Кубик Рубика». Типичный пример — игра «Ханойская башня» (см. [25], с. 70—71). Это сложная задача, в процессе ее решения полезно предложить ребятам сделать соответ­ствующую модель и поиграть с ней (удобно использовать для этого детские разборные пирамидки).

Вот еще пример, относящийся к такому же типу, но более простой: «Шесть пятаков лежат гербами вверх. Разрешается за один раз любые пять из них перевернуть. Можно ли за несколько раз перевернуть все пятаки гербами вниз?»

Для решения удобно использовать соглашение: будем пятак, ле­жащий гербом вверх, изображать «+», а гербом вниз «—». Тогда зада­ча сводится к такой: от последовательности + + + + + + перейти к - - - - - -, если разрешается выполнять следующее действие: из шести знаков пять заменять противоположными (т. е. поменять ме­стами «+» и «—»).

Эта задача допускает развертывание в небольшой цикл, в процессе исследования которого анализируется зависимость решения от коли­чества данных монет. Общая задача формулируется так: «Дано k пятаков. За один ход переворачиваются (k — 1) из них. Вначале они лежат все гербами вверх. Можно ли за несколько ходов перевернуть все пятаки гербами вниз?»

Оказывается, что для четного числа пятаков это всегда возможно, для нечетного — невозможно. Действительно, легко показать, что чет­ность количества знаков «+» в первом случае при каждом ходе меня­ется, а во втором — нет (после каждого хода остается нечетное число «+», его никогда нельзя сделать равным нулю, что соответствовало бы расположению всех пятаков гербами вниз).

В этом решении используется метод, характерный для решения задач, б которых требуется доказать невозможность определенного положения: ищется свойство, которое не меняется в процессе пре­образований, и показывается, что оно различно для данного положе­ния и того, которое требуется получить. Такое свойство называется инвариантом. Метод поиска инварианта—один из самых важных в математике; он может быть освоен на задачах, связанных с построе­нием алгоритмов, точнее, с доказательством несуществования неко­торого алгоритма. Однако эту тему, по-видимому, следует отложить до VII—VIII классов; во внеклассной работе с учениками IV—V классов следует ограничиться задачами, приводящими к нахождению алго­ритма.

Пример 3. Конструирование объекта с требуемыми свойствами.

При решении задач часто приходится производить действия, свя­занные с (мысленным) построением тех объектов, по отношению к ко­торым и формулируется ответ; таким образом, построение объектов здесь промежуточный этап решения задачи. Часто такие задачи воз­никают на материале комбинаторики.

Приведем один пример такого типа: «Три поросенка хотят построить дом. Они еще не решили, будет ли в нем печка или камин, чем покрыть дом — соломой или черепицей — и какую в доме сделать дверь — дубовую или из простой фанеры. Сколько разных домиков они могут построить?»

Для решения удобнее всего представить себе процесс построения реального домика, точнее, последовательность указанных в задаче операций. Затем можно графически представить этот процесс в виде дерева логических возможностей, из которого ответ (в данном случае) получается простым подсчетом.

Цель этой задачи, конечно, не в том, чтобы получить ответ, а в том, чтобы его проанализировать с точки зрения организации данных в процессе решения. Результаты анализа следует закрепить на задачах с аналогичным идей­ным содержанием.

Пример 4. Анализ структуры данных. Задания этого типа на­правлены на развитие у учеников способности к систематизации и упорядочению тех сведений, которые даются в условии. Подобные задания можно предла­гать на самом разнообразном материале. Иногда они используются при введении но­вого понятия. Например, рассмотрим следую­щий вопрос: «Какой квадратик на рисунке надо закрасить, чтобы изображенная фигура оказалась состоящей из двух одинаковых час­тей?» (рис. 83).

В результате обсуждения и уточнения ответов учеников можно прийти к выявле­нию тех представлений, которые лежат в ос­нове понятия осевой симметрии.

Во внеклассной работе новые понятия вво­дятся редко (по крайней мере в IV и V клас­сах, где работа в рассматриваемом здесь на­правлении особенно важна), систематизация данных проводится обычно с привлечением уже знакомых детям понятий. Здесь, как мы уже отмечали, работа в направлении разви­тия мышления (и, в частности, развития на­выков и приемов систематизации данных) служит важной целью сама по себе, безотно­сительно к математическому содержанию предлагаемых для исследования заданий. По­этому и задачи, направленные на развитие навыков систематизации, следует предлагать самые различные. Например, на одном и том же занятии кружка в V классе можно пред­ложить такие задачи:

1) Угадать закон образования членов последовательности: а) 1; 12; 123; 1234; 12 345; б) 2; 5; 8; 11; 14.

2) Внутри треугольника поставлена точ­ка, а потом он перенесен в другое место. По­могите найти положение отмеченной точки (рис. 84).

3) Кубик, на гранях которого нанесены цифры, склеен из разверт­ки, показанной на рисунке 85. Часть граней не видна. Укажите, ка­кие числа нанесены на каждую из них.

Перечисленными примерами, конечно, не исчерпываются типы заданий, нацеленные в первую очередь на развитие мыслительной дея­тельности. Мы не касались, например, такой темы, как «Развитие логического мышления». Разнообразные занимательные задачи, посвя­щенные ей, можно найти в книге Бизама Г. и Герцега Я- «Игра и логика». В статье [11] сделана попытка систематизировать задачи, связанные с развитием мышления на материале математики.

При проведении внеклассной работы имеются возможности разви­тия зрительного восприятия детей. При этом можно использовать такие приемы работы, которые в условиях работы на уроке не могут найти ши­рокого применения. Например, на внеклассных занятиях поучительно рассмотреть с ребятами примеры оптических иллюзий и «невозможных» пространственных фигур. Обширный материал по этому вопросу имеется в книге Я. И. Перельмана «Занима­тельная геометрия», можно пореко­мендовать также книгу Дж. Грегори «Глаз и мозг».

Приведем один из многих приме­ров «невозможных» изображений; оно входит в состав эмблемы «Клуба лю­бознательных» газеты «Комсомоль­ская правда» (рис. 86).

При использовании в работе кружка материалов такого рода не­обходимо разъяснять ребятам, что в обычных условиях зрению вполне можно доверять, но что его следует также и тренировать, поскольку оно доставляет человеку наибольшую часть информации о внешнем мире. Примеры на оптические иллюзии не самоцель; их показ должен производиться в общем потоке заданий, направленных на развитие зрительного восприятия; основная масса заданий здесь может отно­ситься к таким темам, как «Выделение или подсчет фигур на маскирую­щем фоне», «Особенности связи предмета и его изображения» и т. д.