§ 1. Учебник математики

1.1. Назначение учебника математики. Учебник математики — книга, излагающая основы научных знаний по математике в соответ­ствии с целями обучения, определенными программой и требованиями дидактики.

Применительно к уровню образовательной подготовки учащихся в учебнике фиксируются объем и система знаний, подлежащих изу­чению.

Содержание и построение учебника определяются задачами пре­подавания математики в средней школе и спецификой предмета.

В связи с этим учебник математики должен:

а) содействовать формированию диалектико-материалистического мировоззрения, развитию логического мышления;

б) давать систематическое, научно обоснованное, доступное для учащихся данного возраста изложение основных теоретических сведе­ний по математике;

в) включать достаточное количество разнообразных задач и упраж­нений, расположенных в целесообразной с методической точки зрения последовательности.

В силу своего назначения в системе средств обучения учебник является ядром, вокруг которого группируются все другие учебные средства.

Своим содержанием и методическим аппаратом он оказывает решающее влияние на мышление учащихся, на развитие памяти, интере­са, на выработку умения самостоятельно работать с учебником.

Анализ предъявляемых к учебнику по математике требований при­водит к выводу о том, что эта книга не имеет одного определенного адресата.

Прежде всего она предназначена ученику, так как содержание текста, подбор примеров, язык, уровень формализации и т. д. рассчи­таны непосредственно на ученика соответствующего возраста. Вместе с тем в учебнике легко обнаружить и такой материал, который не является необходимым для ученика в условиях классно-урочной си­стемы обучения, однако он необходим учителю для организации учеб­ного процесса. Этот материал позволяет учителю увидеть методиче­ский замысел автора и эффективно реализовать его. Таким образом, вторым адресатом учебника является учитель. Кроме того, учебник используется и другими лицами, такими, как представители админи­страции школы, родители, однако основными потребителями учебника являются ученик и учитель.

Различные учебники по математике отвечают различным требова­ниям и, как правило, в большей или меньшей мере удовлетворяют за­просам главных адресатов (ученика и учителя).

Например, структура учебника «Геометрия, 6—10» А. В. Погорелова в большей мере отвечает потребностям ученика, пользующегося этой книгой после объяснения учителя. В этом состоит одна из его ме­тодических особенностей¹. Названный учебник отличают компактность изложения, систематический показ способов решения основных задач, выделение основного материала, отсутствие мелких деталей. Вполне понятно, что такая структура учебника предполагает полную самосто­ятельность учителя по организации усвоения материала учащимися.

Примером учебника, наиболее полно отвечающего потребностям учителя, может быть названа книга В. Л. Гончарова «Начальная ал­гебра», в которой при изложении каждого вопроса объяснительный текст разбивается на небольшие смысловые порции, к каждой из кото­рых примыкает соответствующая группа упражнений. Изложение ма­териала дается в такой форме, которая полностью соответствует его подаче на уроке. В ряде случаев теоретическим сведениям предпосы­лаются упражнения, вводные задачи, вспомогательные вопросы. Си­стема упражнений обеспечивает процесс формирования математиче­ских понятий, выработку умений и навыков, овладение математиче­ским языком, развитие логического мышления. Все это в значительной степени помогает учителю организовать учебный процесс на уроке.

Такая структура учебника не очень удобна для ученика. Этот учеб­ник трудно читать дома. Он мало пригоден для повторения материала, и в частности при подготовке к экзаменам, так как в нем сложно вы­делить главное, найти необходимые разъяснения и основные задачи. Поскольку основная часть работы ученика с учебником падает на домашнюю работу, ему удобнее иметь дело с материалом, представлен­ным в некотором обобщенном виде, более сжато, а именно в таком виде, в каком он должен попасть в память ученика на длительное время.

Итак, можно сказать, что учебник — это средство для усвоения основ наук, предназначенное для учеников. Одновременно это резюме изложения научных сведений учителем.

1.2. Структура учебника математики. Учебник по математике для средней школы строится на основе определенных логических принци­пов, однако он учитывает возрастные особенности учащихся, опреде­ленный для данного возраста уровень строгости изложения, поставлен­ные цели обучения и т. д.

Например, содержание школьного учебника по математике для младших классов, как правило, опирается на ближайшее окружение учащихся, знакомое им из собственного опыта.

Однако по мере расширения познаваемой среды она становится недоступной непосредственному восприятию ребенка. Поэтому не­обходимыми становятся описания и словесные объяснения, дающие готовые знания, излагаемый материал все в большей мере строится в логической последовательности, в результате чего наступает переход от систематичности, обусловленной средой, к логической систематич­ности.

Именно по такому принципу вводится, например, геометрический материал в курсе математики младших классов средней школы.

С опорой на ближайшее окружение учащихся в I—V классах, при постепенном усложнении изучаемых объектов, в VI классе начинается изложение систематического курса геометрии.

В учебниках по математике при наличии одинакового содержания, вводимого поочередно на низших и высших уровнях обучения, исполь­зуется концентрическая или циклическая систематичность. Каждый из этих уровней составляет определенный цикл. Такое своеобразное повторение материала на более высоких уров­нях облегчает его запоминание и понимание, а также овладение все более сложными функциями мышления. Функции, приобретенные на низших циклах, подготавливают к выполнению функций, необходи­мых на высших циклах. Благодаря этому циклическое построение со­держания составляет основу выделения уровней его трудности. При­мерами циклического построения содержания могут быть тождествен­ные преобразования, уравнения, неравенства и т. д.

Использование различных видов систематичности позволяет свя­зать воедино три ступени познания, определенные материалистиче­ской теорией познания: уровень непосредственного наблюдения воз­можен в построении, обусловленном средой, уровень абстрактного мышления — в логическом построении, уровень проверки и исполь­зования знаний — в целевом построении. Но так как все ступени по­знания не оторваны друг от друга, а существуют во взаимосвязи, то и различные построения содержания взаимосвязаны между собой в процессе обучения. Через различные способы их использования учеб­ник может воздействовать на соответствующее этим взаимосвязям по­строение урока. Ясно, что содержание, взятое из окружающей среды, играет в кур­се математики хотя и важную, но все же вспомогательную роль.

Поэтому в средних и старших классах роль систематичности, обус­ловленной средой, все время уменьшается. Это главным образом объяс­няется расширением познаваемой среды и все меньшей ее доступностью для непосредственного наблюдения. Кроме этого, возрастающее по классам обучения количество информации приводит ко все большему использованию абстракций и обобщений, т. е. изложение становится более формализованным.

1.3. Мотивация излагаемого материала. При изучении материала учебника с учащимися, пожалуй, самой трудной является про­блема создания соответствующей мотивации учения, т. е. потребностей, интересов, стимулов, обеспечивающих активность познавательной деятельности учащихся, ибо одного лишь указания на необходимость того или иного знания (для будущей деятельности) совершенно недо­статочно для появления активного познавательного интереса. Устой­чивым и длительным является лишь тот интерес к предмету, который создается проблемной ситуацией. Представляется более целесообраз­ным, если темы в учебниках начинаются с создания характерных про­блемных ситуаций и представления средств для их разрешения, а не с определения понятий и заучивания правил, излагаемых индуктив­ным или дедуктивным способом. При этом характер проблемных си­туаций определяется содержанием теоретического материала и воз­растными особенностями учащихся.

1.4. Роль и место репродуктивных заданий в учебнике математики. Известно, что ценность учебника по математике во многом определя­ется содержащейся в нем практической частью, так как система зада­ний — необходимый компонент аппарата организации усвоения материала учебника. В настоящее время в педагогической науке убеди­тельно доказано, что в систему заданий нужно включать и репродук­тивные, и творческие задания.

Система заданий в учебнике должна охватывать все элементы его содержания.

Репродуктивный элемент формирует такое качество знаний, как оперативность, т. е. способность применять знания в различных ситуа­циях.

В качестве примера учебника, наиболее полно отвечающего совре­менным требованиям педагогической науки при построении системы репродуктивных заданий, можно привести учебник А. В. Погорелова «Геометрия, 6—10». В конце каждого параграфа в нем помещены во­просы для повторения и упражнения.

Эти вопросы и упражнения практически охватывают все понятия параграфа, дают целую логическую картину в усвоении материала всего раздела. Кроме того, в тексты многих параграфов включены об­разцы решения задач наиболее важных и трудных типов.

К репродуктивным заданиям мы относим вопросы, упражнения, задачи, во­просы-задания, при ответе на которые ученик выполняет репродуктивную познава­тельную деятельность.

В примерах и решениях задач логично и умело даны пояснения к формированию научных понятий.

Мы остановились на характеристике и оценке репродуктивных за­даний не только потому, что эти задания составляют прочный фунда­мент для формирования знаний и умений и их применимости в практике, но и потому, что они являются основой для успешного вы­полнения системы творческих заданий, играющих главным образом развивающую роль в обучении учащихся.

1.5. Функции наглядности в учебнике математики. Вопрос о на­глядности, об иллюстрациях в учебнике математики принципиально важен, но мало исследован. Совершенно очевидно, что не все виды применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. Было показано, например, что на про­цесс решения математической задачи существенное влияние оказывают схема и предметно-аналитическая картинка, в которой отражены коли­чественные отношения между данными и искомыми. Использование схем и других условных обозначений важно потому, что они дают воз­можность выделить объективные отношения и закономерности, т. е. моделировать содержание изучаемого явления.

Так или иначе прибегая к наглядности, мы всегда исходим из ана­лиза методических функций наглядности, представленной в учебни­ке математики. Можно условно выделить следующие из этих функций.

а) Познавательная функция наглядности, методической целью которой является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постепенно от простого к слож­ному , при этом мысль учащегося направляется по кратчайшим и наи­более доступным путям к целостному восприятию объекта. Заметим, что следование познавательной функции не повторяет процесса науч­ного познания — ценность этой функции состоит в предоставлении учащимся кратчайшего и доступного пути осмысления изучаемого материала1.

Именно так, например, поступают иногда авторы учебников, ког­да при исследовании функции на монотонность (или экстремум) пред­варяют теоретическому обоснованию рисунок, на котором связывается возрастание (убывание) или локальный максимум (минимум) функции с углами наклона касательных в соответствующих точках и да­лее со знаками производных в этих точках.

б) Функция управления деятельностью учащегося. При реали­зации функции управления средства и приемы наглядности участ­вуют в ориентировочных, контрольных и коммуникационных дей­ствиях.

Ориентировочным действием может служить, например, построе­ние чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимся чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или в выяснении тех свойств, которые дол­жен сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащегося, которая соответству­ет исследованию полученных им результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

в) Интерпретационная функция наглядности. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью разных знаков и моделей.

Например, окружность можно задать с помощью пары (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, с помощью рисунка или чертежа. Однако в одних случаях удобно воспользоваться ее ана­литическим выражением, в других — геометрической моделью. Рас­смотрение каждой из этих моделей, которая в определенных условиях может служить средством наглядности, является ее интерпретацией. Чем значимей объект, тем желательней дать большее количество ин­терпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

г) Можно говорить об эстетической функции наглядности, а также об опосредованных методических функциях наглядности, таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащегося, функ­ция запоминания при повторении учащимися учебного материала, функция использования прикладной направленности и др.

Используя различные функции наглядности, учебник способству­ет наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внима­ние легко и своевременно переключается со средств наглядности на полученную с их помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий уча­щихся от предмета их деятельности.

1.6. Методы работы с учебником математики. Учебник и учебные пособия занимают видное место и в процессе обучения, и в процессе усвоения учеником программного материала, в его классной и домаш­ней работе. Хорошо организованная и систематически проводимая работа по учебнику и учебным пособиям является одним из решающих условий усвоения учащимися знаний и навыков по математике.

Между тем умение читать учебник математики и математическую книгу необходимо не только для изучения математики в школе. Умею­щий читать математический учебник быстрее овладеет методами само­стоятельного изучения математики, физики, химии, биологии, техники.

Чтению учебников математики надо специально обучать.

Содержание и формы работы с учебником математики определяются возрастом учащихся, уровнем их математической подготовки и общего развития, содержанием учебника, уже имеющимися умениями работы с математической книгой.

Можно рекомендовать следующие формы постепенно усложняющей­ся работы с учебником математики в IV—VIII классах:

1) Чтение правил, определений, формулировок теорем после объяс­нения учителя.

2) Чтение других текстов после их объяснения учителем.

3) Разбор примеров учебника после их объяснения учителем.

4) Чтение вслух учебника учителем с выделением главного и суще­ственного.

5) Чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы.

6) Чтение пункта учебника и ответы на вопросы учителя (или учебника).

7) Чтение текста учебника, самостоятельное составление плана и ответ учащихся по составленному плану.

Необходимо обучать пользоваться не только текстом и иллюстра­циями учебника, но и его оглавлением, записями и таблицами, поме­щенными на форзацах, аннотацией, предметным указателем. Правиль­ное пользование этим вспомогательным аппаратом учебника значи­тельно ускоряет поиски нужного материала в учебнике.

Помещенные в учебнике рисунки предназначены оказать помощь при чтении текста учебника, при рассмотрении конкретных примеров, при решении задач.